2018高中数学（文）黄金100题系列第15题+指数函数

第15题指数函数
I．题源探究·黄金母题
【例1】对于函数：
（1）探索函数的单调性；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？
【解析】（1）在上是增函数．
证明：任取，且，
＝＝－＝．
因为，所以．
又因为，所以，即，所以，即，
所以函数在上是增函数．
（2）假设存在实数使为奇函数，则＋＝0，即，所以＝，
即存在实数使为奇函数．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修一83页B组第34题
【母题评析】本题以指数型函数为载体，考查函数的奇偶性与单调性问题．此类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一，达到考查运算能力、分析与探究问题的能力、逆向思维能力的目的．
【思路方法】考察指数型函数与对数型函数的奇偶性单调性通常有两种常规方法解决：一是利用定义来解决；二是利用函数单调性与奇偶性间的运算性质解决．已知性质求相关的参数问题通常要建立方程来解决．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考北京卷文理】已知函数，则（）
A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是增函数
【答案】B
【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选B．
【例2】【2017高考山东卷】若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质，下列函数中具有M性质的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由A，令，，则在R上单调递增，具有M性质，故选A．
【例3】【2017高考新课标III】设函数则满足的x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意得：当时恒成立，即；当时恒成立，即；当时，即；综上x的取值范围是．
【命题意图】本类题考查指数函数的奇偶性与单调性的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查指数运算构成的指数型函数奇偶性、指数函数单调性的应用、指数函数的图象、在实际生活中的应用．
【难点中心】（1）处理含有参数的指数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用指数函数的图象时，常常涉及不太规范的指数型函数的图象，其作法可能较难；（3）解决指数不等式问题的方法就是化为同底的指数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与指数相关的函数模型，也是相对较难．
III．理论基础·解题原理
考点一　指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且∈*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作．
当是奇数时，，当是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
（1）；
（2）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．实数指数幂的运算性质
①；
②；
③ ．
考点二　指数函数的定义
一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域为．
考点三　指数函数图象与性质
图象特征
函数性质
向、轴正负方向无限延伸
函数的定义域为
图象关于原点和轴不对称
非奇非偶函数
函数图象都在轴上方
函数的值域为
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，
图象逐渐上升
自左向右看，
图象逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1
在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；
函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
考点四　指数函数的实际应用
主要以指数型函数的应用，因此建立此模型时注意确定参数及底数是解题的关键．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；
2．在解答题中常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等．
【技能方法】
1．分数指数幂与根式的关系
根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
2．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；当时，若，则．
【易错指导】
1．忽视隐含条件，如化简；
2．平方开方转换时不等价，如化简：；
3．混用运算性质，如化简：；
4．对指数函数的定义理解不透彻，如已知函数为指数函数，则是多少？
5．忽视对底数的讨论而致错，如求函数的定义域；
6．忽视换元后新元的取值范围，如求函数的值域；
7．忽视复合指数型函数的单调性的复合性，如求的单调区间．
V．举一反三·触类旁通
考向1指数型函数的定义域
【例1】【2018北京海淀模拟】函数的定义域为_________．
【答案】
【解析】要使原式有意义需满足，即，故函数的定义域为．
【方法点拨】通常根据表达式中含有的分式、对数式、根式建立不等式组后，再利用指数函数的单调性解不等式即可．
【跟踪练习】
1．【2018浙江宁波模拟】若指数函数的图象过点，则_________；不等式的解集为___________．
【答案】，
【名师点睛】因为指数函数的解析式中只含有一个参数，因此只须一个条件发即可求解，如知指数函数的图象经过一个点．
2．【2017吉林实验中学二模】若函数的定义域和值域都是，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，则在单调递减，则，解得，此时，；若，则在单调递增，则（无解）；故选D．
考向2 指数的运算法则的应用
【例2】（1）计算
（2）已知，求值：．
【答案】（1）；（2）6
【解析】（1）．
（2）．
【技巧点拨】应用指数的运算法则进行计算注意两点：（1）如果题目中的式子既有根式又有分数指数幂，则先化为分类指数幂以便用法则运算；（2）如果题目中给出的是分数指数幂，先看是否符合运算法则的条件，如符合用法则直接运算，如不符合应创设条件去求．
【例3】已知函数，则（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】C
【技巧点拨】含有省略号“…”的代数式的求值问题，通常要根据条件寻求规律：（1）看前后两项相加是否为同一常数；（2）分析相邻几项之和是否为同一常数，或为规律变化的数．
【跟踪练习】
1．【2017江西临川实验学校一模】已知实数满足，，则等于（）
A．8 B．4 C．2 D．
【答案】A
【解析】本题考査指数函数和对数函数．，所以，得，则．故选A．
2．【2017河北曲周县第一中学一模】已知，，有如下四个结论：
①，②，③满足，④
则正确结论的序号是（）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①③
【答案】B
【解析】，，不妨令，，满足条件；则，，①正确，②错误；又，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④，故选B．
点睛：本题考查了用特殊值判断数值大小的应用问题，是基础题根据题意，用特殊值代入计算，即可判断命题是否正确；高考数学选择题中常用的方法有1、特例法，其包括特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等；2、筛选排除法；3、代入验算法；4、图解法；5、极限法等．
考向3 　指数型函数的奇偶性
【例4】【2017江西百校联盟2月联考】已知是定义在上的偶函数，当时，，若，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【例5】【2017宁夏银川二模】已知是定义在R上的偶函数，且对恒成立，当时，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为对恒成立，所以函数是周期为2的周期函数．因为是定义在上的偶函数，所以，故选B．
点睛：如果定义域在R上函数满足，那么是函数的一个周期，可推广为：如果义域在R上函数满足或，那么是函数的一个周期．
【跟踪练习】
1．【208山东滨州模拟】若函数为奇函数，则的解集为（　　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
【答案】D
【解析】由于函数为上奇函数，所以，所以．由于为增函数，而为减函数，所以是减函数，又因为，由可得，从而，故选D．
【思路点晴】解决本题的基本思路及切入点是：首先根据函数是上的奇函数求出的值，进而确定的表达式，其次再确定函数的单调性，进而将不等式进行等价转化，并从中求得不等式的解集，最终使问题得到解决．
2．【2015高考山东卷】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为 （ ）
A．　　B．　C．　D．
【答案】C
3．【2015高考天津卷】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则，的大小关系为 （ ）
A．　　B．　　　C．　　 D．
【答案】B
【解析】因为为偶函数，所以由，得，所以，解得，所以，，．又在为增函数，所以，故选B．
考向4 　指数函数的图象过定点
【例6】【2018吉林松原模拟】函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为( )
A．4 B．5 C．7 D．
【答案】D
【解析】由题可知，代入直线得：，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故选择D．
【例7】【2018江西新余一中二模】函数的图像恒过定点，若点在直线上，且为正数，则的最小值为__________．
【答案】4
【易错点晴】本题主要考查指数函数的性质以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）．
【跟踪练习】
1．【2017吉林实验中学二模】当，且时，函数必过定点____________．
【答案】
【解析】令，得，即函数必过定点．
2．【2017河北保定一模】函数的图象恒过定点A，若点在直线上，则的最大值为__________
【答案】
【解析】函数，时恒过定点，点在直线上，即，根据基本不等式:，当且仅当取等号，故填．
考向5 求指数复合型函数的单调性（单调区间）
【例8】函数的增区间为___________．减区间为___________．
【答案】；．
【解析】令，则是关于上的减函数，而在上是减函数，在上是增函数，∴函数的递增区间是，递减区间是．
【规律总结】本题指数复合型函数的单调性问题，因此解答遵循单调性的复合规律，即复合函数的单调性就根据外层函数和内层函数的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
【跟踪练习】
1．函数的单调递增区间是．
【答案】
2．求函数的值域为；其在上单调递增，在上单调递减．
【答案】；；
【解析】．令，则当，即时取最小值；当，即时取最大值，故函数的值域为．
在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
考向6 指数函数单调性的应用
【例9】【2017天津河西区二模】已知，当时，有，则必有（）
A．，， B．，，C．D．
【答案】D
点睛：求解本题的思路是运用推理的思维模式先确定必有一个是负数和一个正数，否则都与题设是矛盾的，进而借助绝对值的定义，先将绝对值符号脱去，进而将不等式进行化简，从而使得问题获解．
【例10】【2016全国Ⅲ】已知，，，则（　　　）
A．　　　B　　　C．　　　　D．
【答案】A
【解析】，，．因为函数在上为增函数，所以．又函数在上为增函数，所以，则，故选A．
【技巧点拨】本题实质上是联用指数函数与幂函数的单调性比较数的大小，一般利用指数函数的单调性时注意统一底数，而利用幂函数的单调性时注意统一指数．
【例11】【2016高考天津卷】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（　　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以，则由，知．又在区间上单调递增，所以，即，所以，解得，故选C．
【名师点睛】指数函数单调性的应用主要体现在两个方面：（1）根据指数函数的性质由自变量大小导出函数值的大小，如本题；（2）根据指数函数的性质由函数值的大小导出自变量的大小．
【跟踪练习】
1．【2015高考江苏】不等式的解集为________．
【答案】
【解析】因为函数在上为增函数，则由，得，解得，所以不等式的解集为．
【技巧点拨】利用指数函数的单调性解不等式关键是统一底数，因此须注意到常见的“3与，9、27、…”，“2与，4，8，…”等的关系．
2．已知是定义域为的偶函数，且时，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
考向7 指数函数的最值（值域）
【例12】【2018山东寿光现代中学开学考试】已知函数的定义域和值域都是，则__________．
【答案】4
【解析】当时，函数单调递增，所以函数过点(-1，-1)和点(0，0)，所以无解；当时，函数单调递减，所以函数过点(-1，0)和点(0，-1)，所以，解得．所以
【例13】【2018辽宁抚顺模拟】当，不等式恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】显然，所以原不等式即为，，易知函数是减函数，因此当时，，所以，即．
【名师点睛】不等式恒成立求参数取值范围，经常采用分离参数法，象本题一样化不等式为，只要求出的最大值，只要解不等式即得结论，其中的最值一般利用函数的单调性求得．
【跟踪练习】
1．【2015高考山东卷14】已知函数的定义域和值域都是，则___________．
【答案】
【易错警示】由于底数的范围不确定，因此解答时注意分与两种情况进行讨论．
2．已知函数（是常数，且）在区间上有最大值，最小值为．试求的值．
【答案】或．
【解析】令．∵，∴．
当时，，∴．依题意得 ；
当时，，∴ 依题意得．
综上知，或
【方法点晴】本题是含有参数且与指数有关的复合函数问题，欲求其在某区间上的最值，需先确定它在该区间上的单调性，从而求出最值，步骤：（1）求复合函数的定义域，（2）弄清函数是由哪些基本函数复合而成，（3）分层逐一求解函数的单调性，（4）求出复合函数的单调区间（注意同增异减），（5）根据复合函数的单调性列出方程（组）求其最值．
考向8 指数函数的图象的识别
【例14】【2018山西45校第一次联考】函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、二次函数的图象与性质，属于中档题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除．
【例15】【2017广东揭阳4月模考】函数的大致图象是
ABCD
【答案】B
【解析】由可排除D，由，，可排A，C，故选B．
【例16】【2017江西鹰潭二模】定义运算：，则函数的图象大致为（）
A B CD
【答案】A
【解析】由题意，得，所以函数的图象为选项A；故选A．
【跟踪练习】
1．【2018浙江嘉兴模拟】若函数的图象如图所示，则（　　　）
A．，　　B．，　　C．，　　D．，
【答案】D
【技巧点拨】识别指数型函数的图象主要考虑三点：（1）图象的走向，即判断其单调性确定图象与底数的关系；（2）由指数函数所过定点确定指数型函数所过的定点位置；（3）由指数函数的渐近线线轴确定指数型函数的渐近线位置．
2．【2017河南天一大联考】已知是大于0的常数，把函数和的图象画在同一坐标系中，选项中不可能出现的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】时，，A项，根据图象可知，函数单调递减且恒过，而对勾函数的极小值点大于对应的指数函数值，故A正确，D错误；B项，根据图象可知，正确；C项，根据图象可知，正确；故选D．
考向9 指数函数的图象的应用
【例17】【2018安徽阜阳临泉一中二模】若点分别是函数与的图像上的点，且线段的中点恰好为原点，则称为两函数的一对“孪生点”，若，，则这两个函数的“孪生点”共有（）
A．对 B．对 C．对 D．对
【答案】B
点睛：本题涉及新概念的题型，属于创新题，有一定的难度．解决此类问题时，要紧扣给出的定义、法则以及运算，然后结合数形结合的思想即可得到答案．
【例18】【2017江西南昌一模】已知是定义在上的奇函数，且时，，则函数（为自然对数的底数）的零点个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当时，函数求导可得，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时函数有极大值为，根据奇函数的对称性，作出其函数图像如图，由函数图像可知与有两个不同交点，则有两个零点．故本题选．
点睛:本题主要考查函数的奇偶性，单调性，指数函数的图像与性质，及数形结合的数学思想方法．函数的零点问题，方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图像的交点个数问题来解决．要能熟练掌握几种基本函数图像，如二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数等．掌握平移变换，伸缩变换，对称变换，翻折变换，周期变换等常用的方法技巧来快速处理图像．能利用函数的相关性质作出函数的草图．
【例19】函数的零点个数为（　　　）
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
【答案】C
【思维点拨】图象法是解决函数零点问题常用方法，通常情况是将函数的零点转化为方程的根，再转化为两个新函数的交点个数问题
【例20】【2017安徽合肥一模】已知函数，．方程有六个不同的实数解，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则方程可化为，作出函数的图像如图，结合图像可以看出：方程在区间内各有一个解时，方程有六个实数根，所以问题转化为函数在区间内各有一个零点，由此可得不等式组，在平面直角坐标系中，画出其表示的区域如图，结合图像可以看出：当动直线经过点时，分别取得最小值和最大值，即，应选答案D．
【例21】【2018高考全真模拟卷】已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨令，函数f（x）图象与函数的图象如图，
【跟踪练习】
1．【2018广东茂名五大联盟学校9月份联考】若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
2．【2017黑龙江哈尔滨三中二模】已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设问题可化为函数的反函数的图像与在区间上有解的问题．即方程在区间上有解，由此可得，即，所以，应填答案．
3．【2017河南息县一中第七次适应性考试】已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，若函数与函数在区间上同时单调递增或同时单调递减，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即，当两个函数区间上同时单调递增时，与的图象如图1所示，易知，解得，当两个函数单调递减时与的图象如图2所示，此时关于轴对称的函数不可能在上为减函数，综上所述，，故选A．
【思路点睛】本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想，以及函数的单调性，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度．
4．【2017吉林实验中学二模】已知是方程的根，是方程的根，则的值为
A．2016 B．2017 C．2018 D．1009
【答案】C
点睛：在处理函数问题时，往往要注意其图象的对称性，如本题中的指数函数和对数函数互为反函数，其图象关于直线对称，也是解决本题的关键．
考向10 指数函数的实际应用
【例22】有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合．用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数．
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
（2）分析时，湖水的污染程度如何．
【答案】（1）；（2）湖水污染越来越严重．
【解析】（1）设，因为为常数，，
即，则＝．
（2）设，则＝＝
因为，即，所以，，
所以函数在上为增函数，易知湖水污染越来越严重．
【名师点睛】此类题型一般表现为题目条件给出了与需要解决问题相关的函数表达式．对于已经给出的函数模型问题，只需通过题目给出的数据信息，套用现成的公式进行推理与代入相关数据计算，因此必须准确理解题意，联系函数相关知识和数学方法解决问题．
【跟踪练习】
【2016高考四川卷】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　　）
（参考数据：lg 1．12≈0．05，lg 1．3≈0．11，lg2≈0．30）
A．2018年　　 B．2019年C．2020年　　 D．2021年
【答案】B