2018高中数学（文）黄金100题系列第10题+函数的最值与值域

第10题 函数的最值与值域
I．题源探究·黄金母题
【例1】已知函数，求函数的最大值和最小值．
【答案】
【解析】设是上的任意两个实数，且，则
由，得，
所以，即，
故在区间上是增函数．因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是．
精彩解读
【试题来源】人教版A版必修一第31页例4改编
【母题评析】本题利用对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式．
【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等．
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017浙江卷5】若函数f(x)=x2+ ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M – m
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
【答案】B
【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．
【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上，且对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．
【例2】【2017浙江卷17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】，分类讨论：
①当时，，
函数的最大值，舍去；
②当时，，此时命题成立；
③当时，，则：
或：，解得：或
综上可得，实数的取值范围是．
【考点】基本不等式、函数最值
【名师点睛】本题利用基本不等式，由，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当；②；③，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论．
【例3】【2017北京卷】已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】 ，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值；因此取值范围为
【考点】二次函数
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了象本题的方法，转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，当，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单．
【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数最值（值域）的求解，类型多，解法灵活．
【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇．
【难点中心】求函数最值（值域）通性通法：
（1）观察法；
（2）利用常见函数的最值（值域）；
（3）分离常数法；
（4）单调性法；
（5）换元法；
（6）配方法；
（7）基本不等式法；
（8）判别式法；
（9）有界性法；
（10）图象法；
（11）导数法．
III．理论基础·解题原理
一、函数的最值的基本概念
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，
则为函数的最大值．
(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，
则为函数的最小值．
二、函数最值的有关结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇．
【技能方法】
解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性．研究函数的单调性时，可灵活采用定义法、复合法、图象法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图象，最后利用数形结合思想，达到求最值、比较大小、解不等式的目的．
【易错指导】
（1）灵活选择最优方法求函数值域（最值）；
（2）求函数的值域不但要重视对应法则的作用而且要特别注意定义域对值域的制约作用；
（3）使用基本不等式容易忽视“一正、二定、三相等”；
（4）配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；
（5）用换元法解题时，应注意换元前后的等价性；
（6）使用单调性法要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；
（7）导数法求函数在上的最大值和最小值3步骤
①求函数在内的极值； ②求函数在区间端点的函数值；
③将函数的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
V．举一反三·触类旁通
考向1 观察法
解题模板：第一步，观察函数中的特殊函数；
第二步，利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域．
【例1】求函数的值域．
【解析】由函数，则： 定义域为： 得：
， 值域为：．
【跟踪练习】
1．求函数的值域．
【解析】∵2x＞0，∴0≤8﹣2x＜8．∴0≤＜2．故函数的值域是．
2．【2017西安八校联考】设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2．6]＝2，[－2．6]＝－3．设g(x)＝(a>0且a≠1)，那么函数f(x)＝＋的值域为(　　)
A．{－1，0，1} B．{0，1} C．{1，－1} D．{－1，0}
【答案】D
3．【2017河北唐山一中模拟】若函数在区间上的值域为，则的值是________．
【答案】
则，即，在区间上的值域为，当
取得最大值时，也取得最大值，取得最小值时，也取得最小值，函数的图象关于原点对称，函数在区间上的最大值和最小值互为相反数，即，即，故答案为．
考向2 分离常数法
解题模板：第一步，观察函数类型，型如；
第二步，对函数变形成形式；
第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域．
【例2】求函数的值域．
【跟踪训练】
求函数的值域．
考向3 单调性法
解题模板：第一步，求出函数的单调性；
第二步，利用函数的单调性求出函数的值域．
【例3】求函数的值域．
【例4】求函数的值域．
【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域．（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数．（3）本题都是增函数，利用到了复合函数的单调性．
【例5】函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．1－e B．－1 C．－e D．0
【答案B
【例6】【2017山东烟台市高三摸底考试】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0．若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．
【答案】－2．
【例7】【2017贵州省贵阳市一中高三月考】已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在 上的值域是，求a的值．
【答案】（1）略；（2）a＝．
【解析】(1)证明：任取x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，
∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)由(1)可知f(x)在上为增函数，∴f ＝－2＝，f(2)＝－＝2，解得a＝．
【跟踪练习】
1．【2017株洲高三摸底考试】定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当aA．－1 B．1 C．6 D．12
【答案】C
2．【2017滨州质检】对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
【答案】1
【解析】依题意，h(x)＝当02时，h(x)＝3－x是减函数，则h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1．
3．求函数的值域．
4．【2017北京市高三入学定位考试】已知函数
（1）当时，求使成立的的值；
（2）当，求函数在上的最大值；
【答案】（1）；（2）
考向4 配方法
解题模板：第一步，将二次函数配方成；
第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域．
【例8】求函数的值域．
【例9】【2017山东省枣庄八中高三月考】函数f(x)＝log2·的最小值为______．
【答案】－
【跟踪练习】
1．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x．，当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
【答案】[0，2]．
【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2]．
2．【2017辽宁鞍山一中高二下期中考试】函数的值域为 ．
【答案】
【解析】由题意得，函数的定义域为，所以，所以．
考向5 换元法
解题模板：第一步，观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；
第二步，另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域．
【例10】求函数的值域．
【解析】令，原函数化为，其开口向下，并且对称轴是，故当时取得最大值为，没有最小值，故值域为．
【例11】求函数的值域．
【点评】本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域．
【例12】【2017江苏省苏州市高三摸底考试】已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是(　　)
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线对称
C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
【答案】C
【解析】由题意知f(x)＝2cos2x·sinx＝2(1－sin2x)·sinx．令t＝sinx，t∈[－1，1]，则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3．令g′(t)＝2－6t2＝0，得．当t＝±1时，函数值为0；当时，函数值为；当时，函数值为．∴g(t)max＝，即f(x)的最大值为．
【跟踪练习】
1．求函数的值域．
2．【2017浙江省宁波市高三入学考试】求函数y＝x－的值域．
【答案】{y|y≤}．
【解析】令＝t，则t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是{y|y≤}．
3．求函数，的值域．
4．若求函数的值域．
考向6 反函数法
解题模板：第一步，求已知函数的反函数；
第二步，求反函数的定义域；
第三步，利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域
【例13】设为，的反函数，则的最大值为 ．
【答案】
【跟踪练习】
求函数的值域．
考向7 基本不等式法
解题模板：第一步，观察函数解析式的形式，型如或的函数；
第二步，对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域．
【例14】已知函数，求的值域．
【解析】，，所以的值域为．
【例】已知，求函数 的最小值．
【例15】【2017浙江省金华、丽水、衢州市十二校联考】设，若定义域为的函数，满足，则的最大值为__________．
【答案】．
【名师点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘．
【例16】【2017河北省武安一中高三月考】求函数的值域．
【答案】(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
【解析】函数定义域为{x|x∈R，x＞0，且x≠1}．
当x＞1时，log3x＞0，于是y＝log3x＋－1≥；
当0＜x＜1时，log3x＜0，于是y＝log3x＋－1＝≤－2－1＝－3．
故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
【跟踪练习】
1．【2017河北省冀州中学高三摸底考试】下列函数中，最小值为4的是（ ）
A． B． C． D．
解析：A中函数无最小值，B中函数最小值为，C中，最小值为4，D中函数无最小值，选C．
2．【2017贵州省贵阳市一中高三摸底考试】设函数f(x)＝xα＋1(α∈Q)的定义域为[－b，－a]∪[a，b]，其中0A．－5 B．9 C．－5或9 D．以上都不对
【答案】C
【解析】由α∈Q，可设α＝，由于函数的定义域中有负数，因此，p一定是奇数．若q是偶数，则函数f(x)为偶函数，此时，f(x)在[－b，－a]上的最大值为6，最小值为3，得最大值与最小值的和是9．若q是奇数，则函数f(x)－1为奇函数，由于f(x)在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，因此，f(x)－1在[a，b]上的最大值为5，最小值为2．那么f(x)－1在[－b，－a]上的最大值为－2，最小值为－5．于是，f(x)在[－b，－a]上的最大值为－1，最小值为－4，得最大值与最小值的和是－5．
3．若函数的值域为，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
4．求函数的最小值．
5．【2017浙江杭州模拟】已知实数，若，则的值域为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：
，其中，所以，当且仅当时取等号，又当时取最大值，故值域为
考向8 判别式法
解题模板：第一步，观察函数解析式的形式，型如的函数；
第二步，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，
即得函数的值域．
【例17】求函数的值域．
【解析】，当时方程有解，
当时由可得，综上可知值域为．
【跟踪练习】
求函数的值域．
考向9 数形结合法
解题模板：第一步 作出函数在定义域范围内的图像；
第二步 利用函数的图像求出函数的值域．
【例18】【2017福建省福州市高三模拟考试】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，，则f(x)的值域是(　　)
A．∪(1，＋∞) B．[0，＋∞) C． D．∪(2，＋∞)
【答案】C
【解析】由x＜g(x)可得x＜－1或x＞2，由x≥g(x)，即－1≤x≤2时，
∴，如图，由f(x)得图像可得：当x＜－1或x＞2时，f(x)＞2；当－1≤x≤2时，＜f(x)≤f(2)?≤f(x)≤0，所以f(x)的域为∪(2，＋∞)，故选D．
【例19】求函数的值域．
【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域．先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域．（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答．
【例20】求函数的值域．
【点评】要迅速地找到函数对应的形，必须注意积累．这样才能提高解题的效率．【例21】如图，三地有直道相通，千米，千米，千米．现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时．乙到达地后原地等待．设时乙到达地．
（1）求与的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由．
【答案】（1），千米；（2）超过了3千米．
【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域．
【名师点睛】分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，
分段函数的值域，先求各段函数的值域，再求并集．
【跟踪练习】
1．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
2．定义运算：．例如，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：在平面直角坐标系中画出函数的图象，结合图象可以看出其值域为，故应选D．
3．【2017安徽省合肥市高三模拟考试】对a，b∈R，记max(a，b)= 函数f(x)=max(|x+1|，+1)的最小值是　　　．
【答案】0
4．【2017云南昆明模拟】已知函数．
（Ⅰ）求函数的值域；
（Ⅱ）若函数的值域是，且，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）运用分段函数的图象求解；（Ⅱ）借助题设条件和柯西不等式求解．
试题解析:
（Ⅰ）设，
则所以，
所以函数的值域是．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由柯西不等式，当且仅当时，取等号，
即，解得，
所以．
考向10 导数法
解题模板：第一步 利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；
第二步 利用函数的图像求出函数的值域．
【例22】函数，，则的值域．
【解析】在上是增函数，，，故的值域．
【例23】求函数在区间上的值域．
【例24】函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　)
A．20 B．18 C．3 D．0
【答案】A
【例25】【2017大连市一中高三摸底考试】已知函数f(x)＝x－eax(a＞0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值．
【答案】（1）增区间为；减区间为．；
（2）0＜a≤时，f(x)max=－e2；＜a＜时，f(x)max＝ln－；a≥时，f(x)max＝f ＝－e．
【解析】(1)f(x)＝x－eax(a＞0)，则f′(x)＝1－aeax，令f′(x)＝1－aeax＝0，则x＝ln．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
ln
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值
?
故函数f(x)的增区间为；减区间为．
(2)当ln≥，即0＜a≤时，f(x)max＝f ＝－e2；
当＜ln＜，即＜a＜时，f(x)max＝f ＝ln－；
当ln≤，即a≥时，f(x)max＝f ＝－e．
【跟踪练习】
1．【2017辽宁大连二十中高二下学期期中】 ．
【答案】
【解析】
2．【2017云南云天化中学高二4月月考】函数，则函数在区间上的值域是______．
【答案】
【解析】
试题分析：，
因此，列表得，
因此值域是．
3．【2017山东烟台市高三摸底考试】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．
【答案】a＝2，b＝－4．c＝5．最大值为13，最小值为．
【解析】(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b．
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得a＝2，b＝－4．
由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4．所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5．
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4．令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝．
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
?
13
?
?
4
所以y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为．
考向11 已知函数的最值（值域）求参数的值或取值范围
【例26】已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【例27】已知g(x)＝－x2－4，f(x)为二次函数，满足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1，2]上的最大值为7，则f(x)＝________．
【答案】x2－2x＋4或fx2－x＋4．
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则由题意可得f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝2ax2＋2c－2x2－8＝0，得a＝1，c＝4．显然二次函数f(x)在区间[－1，2]上的最大值只能在x＝－1时或x＝2时取得．当x＝－1时函数取得最大值7，解得b＝－2；当x＝2时函数取得最大值7，解得b＝－，所以f(x)＝x2－2x＋4或f(x)＝x2－x＋4．
【跟踪练习】
1．【2017山东济南市高三摸底考试】设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝取函数f(x)＝2－x＋ex，若对任意的x∈(－∞，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则K的最大值为________．
【答案】3
2．【2017河北武邑中学高一上周考9．18数学试卷】函数的定义域为，值域为，则满足条件的实数组成的集合是_______．
【答案】｛－2｝
【解析】由题意，解得，所以的取值集合为．
3．【2017浙江湖州中学高二下学期期中】已知函数，若此函数的定义域为，则实数的取值范围是 ；若此函数的值域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
4．【2017山东省烟台模拟】若函数的值域为R，则a的取值范围是 ．
【答案】