2018高中数学（文）黄金100题系列第11题+函数的奇偶性

第11题 函数的奇性
I．题源探究·黄金母题
【例1】判断下列函数的奇偶性：．
【解析】为奇函数．
【例2】已知函数是定义在R上的奇函数，当时，
．画出函数的图象，并求出函数的解析式．
【答案】
【解析】函数是定义在R上的奇函数，则对都有：，当时，，则
，那么
；函数图象如下：
精彩解读
【试题来源】例1：人教A版必修一第36页练习第1（3）题；例2：人教A版必修一第39页A组第6题
【母题评析】本题借助函数的奇性，利用函数的奇性的定义，求函数的解析式，并利用奇函数、函数图象的性质，画出函数的图象．借助函数的奇性以及函数图象特征解题是高考函数部分重点考察内容．
【思路方法】借助函数的奇、性的定义既可以求值，也可以求函数的解析式，而画函数图像是，只需画出轴右侧的图象，按照函数图象的对称要求，再画出轴左侧的图象．另外画图时取几个特殊点，以数助形，确保准确无误！
II．考场精彩·真题回放
【例1】【2017高考新课标I卷】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D．
【考点】函数的奇性、单调性
【名师点睛】奇性与单调性的综合问题，要重视利用奇、函数与单调性解决不等式和比较大小问题，若在R上为单调递增的奇函数，且，则，反之亦成立．
【例2】【2017高考北京卷】已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是函数，且在R上是减函数
【答案】A
【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A．
【例3】【2017高考新课标I】函数的部分图像大致为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排除D；当时，，排除A．故选C．
【例4】【2017高考新课标II卷】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】12
【解析】
【例5】【2017高考山东卷】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x-2)．若当 时，，则f(919)= ．
【答案】
【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知，是周期函数，且，所以 ．
【命题意图】本类题常利用函数的奇性、周期性求值．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往借助函数的奇性、单调性、周期性等解题，常考查求值、比较大小、解不等式等．
【难点中心】本题是考查利用函数周期性和奇性求函数值，是基础题．利用函数的周期性、奇性求函数值，需要先借助周期性调整自变量的值，再利用奇性调整自变量的符号，最终利用已知函数的解析式求值．而借助周期性、奇性、单调性进行比较大小或解不等式时，还要利用函数的单调性．
III．理论基础·解题原理
考点一 函数的奇性的基本概念
1．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么，函数f(x)是函数，函数的图象关于轴对称．
2．如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么，函数f(x)是奇函数，奇函数的图象关于原点对称．
考点二 对函数的奇性的理解
(1)判断函数的奇性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇性的一个必要条件
(2)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，对于函数的判断以此类推．
考点三 函数的奇性的有关结论
在奇、函数的定义中，是定义域上的恒等式，要注意利用反向使用，如：．
奇函数图象关于原点对称，奇函数若在处有意义，则；奇函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相同，奇函数在关于原点对称的两个单调区间上若取得最大值和最小值，则其和为零；
函数图象关于轴对称，函数在关于原点对称的两个单调区间上单调性相反．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数求值、比较大小、解不等式有联系．
【技能方法】
1．判断函数奇偶性的方法
（1）定义法：一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
（2）图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性．
2．已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数
常常采用待定系数法，利用f(x)±f(－x)＝0得到关于x的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值．
【易错指导】
函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f(x)和f(－x)必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数．
V．举一反三·触类旁通
考向1 函数的奇性的判断
【例1】【2018辽宁沈阳模拟】下列函数的图像关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【例2】若函数是奇函数，函数是偶函数，则一定成立的是( )
A．函数是奇函数 B．函数是奇函数
C．函数是奇函数 D．函数是奇函数
【答案】C
【解析】由题得，函数满足，则有，，，，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C是正确的，故选C
【例3】【2018江西新余一中第二模拟】数与有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何，有， ，且当时， ，则的奇偶性为__________．
【答案】偶函数
【解析】由条件，得
，故为偶函数，故答案为偶函数．
【跟踪练习】
1．在函数，，，中，偶函数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】B
【点评】先利用定义判断函数的奇性，排除不符合题意的选择支，在借助函数的单调性选取．
2．下列函数为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数为( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵是偶函数，且在上单减，而，∴满足条件，故选C．
【点评】判断函数的奇性，先看定义域是否关于原点对称，之后再利用定义去衡量，或直接观察，本题中C、D两个选择支为函数，再利用单调性去衡量；这类题为高考常见题，属于基础题．
4．下列函数中既是奇函数，又在区间内是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】首先判断奇性： B为函数，A，C为奇函数，D既不是奇函数也不是函数，
所以排除B、D；在(0，2)先增后减，排除A，故选C．
考向2 函数的奇性与求函数值
【例4】【2018河北邢台高一上学期第一次联考】已知是奇函数，且，那么的值为　(　　)
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【解析】是奇函数，且，所以，那么
，故选B．
【例5】【2018河北武邑中学上学期第二次调研】已知是定义在上的奇函数，当时， （为常数），则的值为（ ）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
【答案】D
点睛：若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0．
【例6】【2018辽宁鞍山一中上学期第一次模拟】已知函数为奇函数，且当时， ，则________．
【答案】；
【解析】因为时， ，所以，又为奇函数，所以，故填．
【例7】【2018山西省45校联考】若函数是偶函数，则__________．
【答案】
【解析】函数是偶函数，所以，即．
故，解得．
当时， ，满足．
综上可知，若函数是偶函数，则．
【例8】【2016年高考四川卷】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则= ．
【答案】-2
【解析】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以
，所以，即，，所以．
【例9】【2018全国18名校大联考第二次联考】已知函数（为常数， 且）的图象过点， ．
（1）求实数的值；
（2）若函数，试判断函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）， ；（2）奇函数．
（2）由（1）求出函数，并根据指数的运算性质进行化简，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案．
试题解析：（1）把， 的坐标代入，得，解得， ．
（2）是奇函数．理由如下：由（1）知，所以．
所以函数的定义域为．又 ，所以函数为奇函数．
【跟踪练习】
1．【2018山西晋豫名校联考】若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】B
2．【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中上学期第一次联考】设是定义在上的奇函数，且其图象关于对称，当时， ，则的值为（ ）
A．-1， B．0 C．1 D．不能确定
【答案】C
【解析】定义在上的奇函数的图象是关于直线对称，，
，即，故函数的周期为．
，
则
，故选．
3．【2017河北定州中学】函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程在上的所有实根之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
4．【2018辽宁凌源三校联考】已知函数为内的奇函数，且当时， ，记， ， ，则间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用奇函数的性质 可得： ，即当时，函数的解析式为： ，令，由函数的奇偶性的定义可得函数g(x)是定义域内的偶函数，且： ，，即函数在区间上单调递减，且： ，结合函数的单调性可得： ．故选C．
5．【2018江西新余模拟】已知为奇函数， 与图像关于对称，若，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】B
【解析】为奇函数，故的图象关于原点对称，而函数的图象可由图象向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得到，故的图象关于点对称，又与图象关于对称，故函数的图象关于点对称， ，即，故点，关于点对称，故，故选B．
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性、函数图象的平移变换、放缩变换以及函数的对称性，属于难题题．函数图像的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图像经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序．本题是利用函数的平移变换、放缩变换后根据对称性解答的．
6．【2016高考山东卷】已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时， ；当 时，；当 时， ．则f(6)= （ ）
（A）?2 （B）?1 （C）0 （D）2
【答案】D
【点评】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇性与周期性，是高考常考知识内容．本题具备一定难度．解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化．本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等．
7．【2016高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是 ▲ ．
【答案】
【解析】，
因此
【点评】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么．函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上．解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值．
考向3 函数的奇性与解不等式
【例10】【2018广东佛山模拟】设函数f(x)＝－ln（|x|+1），则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
【例11】【2018河南即豫南九校联考】已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】f（x）是R的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，所以f（x）在[0，+∞）上是增函数，
所以f（log2x）＞2=f（1）?f（|log2x|）＞f（1）?|log2x|＞1；即log2x＞1或log2x＜﹣1；
解可得x＞2或 ．故选B．
点睛：根据题意，结合函数的奇偶性、单调性分析可得f（log2x）＞2?|log2x|＞1；化简可得log2x＞1或log2x＜﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．
【例12】【2017广西质检】已知定义在上的奇函数在上递减，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得 在 上是减函数，故原命题等价于，即
在 上恒成立，设，令，当 时 ，当 时 ，因此 ，故选C．
【点睛】本题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得 在 上是减函数；2．将原命题等价转化为 在 上恒成立；3．利用导数工具求得，从而求得正解．
【例13】【2016高考天津卷】已知f(x)是定义在R上的函数，且在区间（-，0）上单调递增．若实数a满足，则a的取值范围是______．
【答案】
【点评】由于函数图像关于轴对称，解不等式时要根据函数的单调性特点去解答，本题中函数
在区间（-，0）上单调递增，因此，在解题中要重视数形结合思想，既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
(2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
【跟踪练习】
1．【2018山西45校第一次联考】函数是定义在上的奇函数，当时，为减函数，且，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数是定义在上的奇函数，是上的减函数，故函数在上单调递减，又，所以，因此， 的取值范围是 ，故选A．
2．【2015高考山东卷】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为( )
（A）( ) (B)() （C） （D）
【答案】
3．【2018广东珠海9月摸底考试】定义在 R 上的偶函数 f (x) ， 满足 x ? 0 时 ， f ?(x) ? 0 ， 则关于 x 的不等式f (| x |) ? f (?3) 的解集为（ ）
A．(?3 ，3) B．[?3 ，3] C．(?? ，? 3) U(3 ，???) D．(?? ，? 3] U[3 ，???)
【答案】D
4．【2018广东广州模拟】若函数为奇函数， ，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵函数为奇函数，∴f(0)=0，即a=?1，∴，当x>0时，解g(x)=?lnx>1得：x∈(0，e?1)，当x<0时，解g(x)= >1得：x∈(?∞，0)，故不等式g(x)>1的解集为(?∞，0)∪((0，e?1)，故选C．
5．【2018全国18名校大联考】已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，那么不等式的解集是__________．
【答案】
考向4 利用函数的奇性与单调性研究函数的图象
【例14】【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中上学期第一次联考】函数的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
【答案】B
【解析】由为偶函数可得．函数的图象关于y轴对称，选B．
【例15】【2017山东日照模拟】函数的图象大致为( )
【答案】A
【解析】函数定义域为，又，函数为奇函数．其图像关于原点对称．故排除C、D，又当时，，所以可排除B，故A正确．
【点评】先判断函数奇性，根据图像的对称性，排除部分选择支，在利用特殊点，特殊函数值的找到最符合要求的图象．
【例16】【2018广东茂名五大联盟学校联考】函数的图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【跟踪练习】
1．【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为
A B C D
【答案】D
【解析】函数f(x)=2x2–e|x|在[–2，2]上是函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D．
【点评】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项．
2．【2018安徽合肥高三调研】函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
考向5 函数的奇性与简易逻辑
【例17】【2018鲁名校教科研协作体联考】已知为奇函数， ，若对恒成立，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于为奇函数，故，可得；因为对恒成立，所以，而=，所以，从而要求，在上恒成立，
，故选A．
【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及最值、全称量词与存在量词的应用．属于难题．解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1） 只需；（2） ，只需 ；（3）， 只需 ；（4）， ，只需 ．
【例18】【2018河北邢台模拟】下列命题：①集合的子集个数有个；②定义在上的奇函数必满足；③既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与轴相交；⑤在上是减函数，其中真命题的序号是 ______________（把你认为正确的命题的序号都填上）．
【答案】①②
【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查集合的子集、函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意先从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题．
【跟踪练习】
1．【2018江苏如皋模拟】已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集为__________．
【答案】．
【解析】若对于任意给定的实数，且，，不等式恒成立，等价为恒成立，即是定义在上的减函数，又是定义在上的奇函数，所以，当时， ，所以，联立解得，当时， ，所以，无解，综上应填．
2．【2017湖南株洲模拟】给出下列两个命题：命题：“，”是“函数为函数”的必要不充分条件；命题：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，命题是假命题，命题是真命题，所以选项C正确．
【点评】本题考查函数奇性、逻辑联结词与命题，命题：函数是奇函数为真命题，函数为高一教材中的几个常见的奇函数，如，等．
3．设函数，，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【点评】若一个函数为奇函数且在处有意义，求参数的首选方法是．
考向6 函数的奇性与函数的零点
【例19】【2018届湖北省荆州中学高三上学期第二次】已知函数是定义在上的偶函数，当时， ，则函数的零点个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】求函数的零点个数只需考查方程的实根个数，
当时， ， 在上递减，在上递增， ，值域为．
当时，
当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为，
当时，函数的值域为， 在上有个实根，又函数为偶函数， 在上有10个实根，函数的零点个数为10个，选D．
【跟踪练习】
1．【2017湖北七校联考】已知是奇函数并且是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【点评】利用函数的奇函性的定义，可以把转化为，可通过函数值的关系，找出自变量间的关系，进而研究方程问题或不等式问题．
2．【2017河北衡水模拟】定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则．由，知，即，所以函数为减函数．因为函数的图象关于成中心对称，所以为奇函数，所以，所以，即．因为，而在条件下，易求得，所以，所以，所以，即，故选D．
【点评】所谓函数的图象关于（1，0）成中心对称，就是函数的图象关于原点对称，就是函数为奇函数，本题灵活地利用奇函数定义，借助函数的单调性解题，思路清晰．