19.2.1平行四边形的性质（2）同步练习

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19.2.1 平行四边形的性质（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
平行四边形的性质
(１)平行四边形的两组对边平行、相等．
(２)平行四边形的两组对角相等、邻角互补．
(３)平行四边形的两条对角线互相平分．
基础知识和能力拓展精练
一 、选择题（本大题共8小题）
如图，如果□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）
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A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
平行四边形的对角线一定具有的性质是（　　）
A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相等
如图，平行四边形ABCD的周长是26c ( http: / / www.21cnjy.com )m，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　）21教育网
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A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 8cm
如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（　　）www.21-cn-jy.com
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A． 10 B． 16 C． 20 D． 22
如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=6，则CD的长为(　　)www-2-1-cnjy-com
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A． 14 B． 17 C． 8 D． 12
如图，在 ABCD中，BD为对角线，点E，O，F分别是AB，BD，BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则 ABCD的周长是( )2-1-c-n-j-y
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A． 10 B． 20 C． 15 D． 6
如图，在□ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则□ABCD的面积是( )21*cnjy*com
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A． 10 B． 15 C． 20 D． 25
如图，□ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( )【出处：21教育名师】
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A． 4 cm B． 6 cm C． 8 cm D． 10 cm
二 、填空题（本大题共6小题）
在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO=_____cm．21cnjy.com
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如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交 ( http: / / www.21cnjy.com )于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则□ABCD的面积为________cm2.【版权所有：21教育】
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在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )O，AB=8cm，BC=6cm．△AOB的周长是18cm，则△AOD的周长是__________ ．21教育名师原创作品
如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠DAB=45°，则△OEF周长的最小值是 ．
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三 、解答题（本大题共6小题）
已知：如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点分别交于点求证：.
过平行四边形 QUOTE http://www.21cnjy.com/ ( http: / / www.21cnjy.com ) 中ABCD对角线AC,BD的交点O作一条直线，分别交AB和DC于E、F两点，交CB和AD的延长线于G、H两点。21教育名师原创作品
求证：OG＝OH。
如图，在 ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA．OC的中点，请判断
线段BE、DF的关系，并证明你的结论。
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如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过O点作直线EF分别交BC、AD于E、F．
（1）求证：BE=DF；
（2）若AC，EF将平行四边形ABCD分成的四部分的面积相等，指出E点的位置，并说明理由．
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如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F
分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1
时，求AE的长．
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答案解析
一 、选择题
D
【解析】∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO．
∵∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，
∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO．
∵BD=BD，AC="AC" ，∴△ABD≌△DCB，△ACD≌△CAB．
∴共有四对．故选D．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．
解：平行四边形的对角线互相平分，
故选：B．
B
【解析】试题解析：∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）-（OA+OB+AB）=AD-AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．
∴BC=AD=8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" BC=4cm.
故选B．
C
【解析】试题【分析】根据平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形的性质可得：CD=AB=6，根据△OCD的周长可得：OC+OD==10，根据平行四边形对角线互相平分可得：AC+BD=2(OC+OD)=20.
A
【解析】∵DE：EA=3：4，∴DE:AD=3：7.
∵EF∥AB, ∴EF:AB=DE:AD=3：7，∴AB=6×7÷3=14.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=14.
故选A．
B
【解析】∵点E. O、F分别是AB、BD、BC的中点，
∴AD=2OE=6，CD=2OF=4，
又四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，BC=AD=6，
( http: / / www.21cnjy.com ) 的周长是(6+4)×2=20.
故选B.
C
【解析】试题解析：在 ( http: / / www.21cnjy.com )中，O是对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD，
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故选C.
C
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，BO=DO，
∵EO⊥BO，
∴BE=DE，
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故选C.
点睛：平行四边形的对角线互相平分.
二 、填空题
4
【解析】在 ABCD中
∵BC=AD=6cm，AO=CO，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com )=8cm，
∴AO= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=4cm；
故答案为：4．
12
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO=2×1.5=3(cm)，CD=AB=5cm，
∵BC=4cm，
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即DB⊥BC，
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故答案为：12.
【分析】先由△AOB的周长求出OA+OB，再由平行四边形的性质得出OA+OD=OA+OB，即可求出△AOD的周长．21世纪教育网版权所有
解：如图所示：
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=BC=6cm，
∵△AOB的周长是18cm，AB=8cm，
∴AB+OA+OB=18cm，
∴OA+OB=10cm，
∴△AOD的周长=OA+OD+AD=OA+OB+AD=10+6=16（cm）；
故答案为：16cm．
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解：作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，21cnjy.com
△OEF周长的最小值=MN，
由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，
∵∠DAB=45°，
∴∠MAN=90°，
过D作DP⊥AB于P，
则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP= ( http: / / www.21cnjy.com )AD，
∵AD=BC=5 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AP=DP=5，
∵OM⊥AB于Q，
∴OQ∥DP，
∵OD=OB，
∴OQ= ( http: / / www.21cnjy.com )DP= ( http: / / www.21cnjy.com )，BQ= ( http: / / www.21cnjy.com )BP= ( http: / / www.21cnjy.com )（AB﹣AF）=1，
∴AQ=6，
∴AO= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AM=AN=AO= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴MN= ( http: / / www.21cnjy.com )AM= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△OEF周长的最小值是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )．
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三 、解答题
证明：∵ 四边形是平行四边形，∴ ∥，，
∴
∴ △≌△，故.
【分析】由题中条件及平行四边形的性质不难得出△ODH≌△OBG，进而可得出结论
四边形ABCD是平行四边形，CB＝CD。。
在与中
。
【分析】根据平行四边形的性质对角线互 ( http: / / www.21cnjy.com )相平分得出OA=OC，OB=OD，利用中点的意义得出OE=OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE=DF，BE∥DF．21·cn·jy·com
解：由题意得：BE=DF，BE∥DF．理由如下：
连接DE、BF．
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∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OF，
∴BFDE是平行四边形，
∴BE=DF，BE∥DF．
【分析】（1）易证△AOF≌△COE，那么AF=CE，由AD=BC可得BE=DF．
（2）面积相等的四边形的高与底应该相等，那么利用对角线的互相平分可得到被分成的四个三角形的面积是相等的．www.21-cn-jy.com
（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴在△AOF与△COE中，
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∴△AOF≌△COE．
∴AF=CE．
又∵AD=BC，
∴AD﹣AF=BC﹣BE，
即BE=DF．
（2）答：当E点与B点重合时，EF将平行四边形ABCD分成的四个部分的面积相等．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
理由：由△ABO与△AOD等底同高可知面积相等，
同理，△ABO与△BOC的面积相等，△AOD与△COD的面积相等，
从而易知所分成的四个三角形面积相等．
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点评： 出现上图时，通常要证新直线所在的三角形全等；需注意利用平行四边形的对角线互相平分得到被对角线分成的四个三角形的面积相等．2·1·c·n·j·y
解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠OBE =∠ODF．
在△OBE与△ODF中，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )
∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO=DO．
（2）解：∵EF⊥AB，AB ∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°．
∴AE=GE
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°．
∴DG=DO
∴OF=FG= 1
由（1）可知，OE= OF=1
∴GE=OE+OF+FG=3
∴AE=3
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