2018年高考数学三轮讲练测核心热点总动员（江苏版）热点10+应用题

【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
例1 【2015江苏高考】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
【答案】（1）（2）①定义域为，②千米
【解析】
试题解析：（1）由题意知，点，的坐标分别为，．
将其分别代入，得，
解得．
（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，
设在点处的切线交，轴分别于，点，，
则的方程为，由此得，．
故，．
②设，则．令，解得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，
此时．
答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．
例2 【2016江苏高考】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
（1）若则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
【答案】（1）312（2）
【解析】
试题解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6，
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.
(2)设A1B1=a(m)，PO1=h(m)，则0因为在中，
所以，即
于是仓库的容积，
从而.
令，得 或（舍）.
当时， ，V是单调增函数；
当时，，V是单调减函数.
故时，V取得极大值，也是最大值.
因此，当m时，仓库的容积最大.
【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积
【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.
例3 【2017江苏高考】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．
【答案】（1）16；（2）20．
【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM中，利用相似性质求解AP1；（2）转化到三角形EGN中，先利用直角梯形性质求角，再利用正弦定理求角，最后根据直角三角形求高，即为没入水中部分的长度．
由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG．
同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1．
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．
过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32．
因为EG = 14，E1G1= 62，
所以KG1=，从而．
于是．
记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，
故P2Q2=12，从而EP2=．
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
【考点】正、余弦定理
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；
第三步：求结果．
【热点深度剖析】
1.在江苏近几年的高考中，主要考查根据题意建立函数关系式进而研究函数的最值或其他相关问题. 12年在实际背景下研究与含参数二次函数有解、最值问题. 13年在三角形背景下研究二次函数有解、最值问题. 14年主要根据图形（平面或空间）建立函数解析关系， 15年主要根据图形（平面或空间）建立函数解析关系．16年以立体几何为背景根据体积公式建立函数解析关系，17年仍以立体几何为背景根据体积公式建立函数解析关系，共同点是给出函数自变量，因此考查应用题，主要考查学生变量意识.
2.在2018年的备考中，需要重点关注以下几方面问题：
①掌握常见函数如二次函数、三次函数、有理分式函数（尤其二次分式函数）、无理函数等最值的求法，用导数求函数最值要引起重视；
②加强阅读理解能力的培养，对图形的辨认、识别、分析寻找等量关系式的训练要加强；
③对于由图标(尤其表格)给出的函数应用题的训练要重视；
④应用题的背景图形可能由平面多边形、空间多面体转为由平面曲线，如圆，抛物线等围成的图形；空间旋转体等的面积、体积的最值问题
⑤熟悉应用题的解题过程：读题、建模、求解、评价、作答.
3. 解答应用题需注意四点.第一、划分题目的层次。鉴于应用题题目篇幅长，信息容量大，阅读时有必要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系;第二、领悟关键词语。题目中难免出现一些专业术语或新名词，有的词语采用即时定义来解释，认真阅读，认真领会即时定义的内涵和外延，是解决问题的关键;第三、弄清题图联系。认真阅读题目，弄清题目条件与图形元素间的对应关系，也是审题过程中不可缺少的环节;第四、重视条件转译。将题设材料呈现的文字语言、图形语言转化为符号语言。准确的条件转译是解应用题分析联想转化的关键步骤。
4.预计17年考查函数不等式应用题的可能性较大，主要考查建立函数关系式，进而求函数的最值.．
【重点知识整合】
一、1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x值增大，图像与y轴接近平行
随x值增大，图像与x轴接近平行
随n值变化而不同
二、1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．
2．方位角
从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．
3．方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．
【应试技巧点拨】
一、解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
二、求解一次函数与二次函数模型问题的关注点
(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；
(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
三、应用分段函数模型的关注点
(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．
(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．
四、应用指数函数模型应注意的问题
(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．
(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．
(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．
五、利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
六、把握解三角形应用题的四步
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
【考场经验分享】
1.目标要求：根据题意建立函数关系式进而研究函数的最值或其他相关问题.
2.注意问题：(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．（3）易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
3.经验分享：将题设材料呈现的文字语言、图形语言转化为符号语言。
【名题精选练兵篇】
1. 【南师附中、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考】如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米， 米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园， 都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点， ，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部门的平均修建费用为元/米.
（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？
（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.
【答案】（1）；（2）当为时，修建费用最低.
【解析】试题分析：
（1）设直线矩形交于两点，则阴影部分的面积为矩形的面积减去梯形和扇形与扇形的面积．（2）设，则，故，从而可得修建费用，利用导数求解，可得当时，即， 有最小值，即修建费用最低．
试题解析：
（1）如图,设直线矩形交于两点，连，则米， 米．

（2）设，则，
所以，
修建费用，
所以，
令，得，
当变化时， 的变化情况如下表：
0
极小值
由上表可得当时，即， 有极小值，也为最小值．
故当为时，修建费用最低．
2. 【兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形的一边AB在直径上，点C、D、G、H在圆周上，E、F在边CD上，且，设
（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；
（2）当为何值时，能符合园林局的要求？
【答案】（1）；（2）当满足时，符合园林局要求.
（2）由可得极值点满足， ，利用导数研究函数的单调性可得当时是单调减函数，当时， 是单调增函数，所以当时， 取得最小值.
试题解析：（1）由题意， ， ，且 为等边三角形，
所以， ， ，
， ．
（2）要符合园林局的要求，只要最小，
由（1）知，
令，即，解得或（舍去），
令 .
当时， 是单调减函数，当时， 是单调增函数，所以当时， 取得最小值.
答：当满足时，符合园林局要求.
思路点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数在解决实际问题中的应用，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：将游泳池及其附属设施的占地面积为关于 的函数，然后利用导数解答.
3. 【前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测】园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为 (弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
【答案】（1）见解析（2）337.5平方米
【解析】试题分析：（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得，由及，解出，根据二次函数最值取法得到当时， 最大
试题解析：解：（1）由题意，弧长为，扇形面积为，
由题意，即，
即，
所以，所以， ，则，
所以当时，面积的最大值为400.
4. 【南通市2018届高三上学期第一次调研】如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的条直道， ， 将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点在半圆弧上， 分别与， 相交于点， .（道路宽度忽略不计）
（1）若经过圆心，求点到的距离；
（2）设， .
①试用表示的长度；
②当为何值时，绿化区域面积之和最大.
【答案】（1）（2）①最小值为②当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大
（1）直线的方程为，
半圆的方程为 ，
由得.
所以，点到的距离为.
（2）①由题意，得.
直线的方程为
，
令，得
.
直线的方程为，
令，得 .
所以， 的长度为
， .
②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为
，
区域Ⅱ的面积为
，
所以 .
设，则，
.
.
当且仅当，即时“”成立.
所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积的最小值为.
答：当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.
5. 【淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为.
（1）求关于的函数关系式；
（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.
【答案】（1） ，（2）侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为
【解析】试题分析：（1）由条件，，，所以S，；（2）令，所以得，通过求导分析，得在时取得极大值，也是最大值。
试题解析：
（1）设交于点，过作，垂足为，
在中，，，
在中，，
所以S，
当时，，当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在时取得极大值，也是最大值；
所以当时，侧面积取得最大值，
此时等腰三角形的腰长
答：侧面积取得最大值时，等腰三角形的腰的长度为．
6. 【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）】在某城市街道上一侧路边边缘某处安装路灯，路宽为米，灯杆长4米，且与灯柱成角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线(如图， )都成角，当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点.
（1）求灯柱的高为多少米;
（2）设，且，求灯所照射路面宽度的最小值.
【答案】（1）（2）
化弦后利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式可得，结合，可得到取最小值.
试题解析：（1）连接， 设，则，
在直角中， ，
在直角中， ，
则有，解得 ，
在直角中， .
（2）以为坐标原点， ， 分别为轴，建立直角坐标系，则
，又
①若，由（1）知，
②若，
则直线的方程为，则；
直线的方程为，则；
所以
==
又，所以当且仅当时， 取最小值；
综合①②知，当时， 取最小值.
7．已知城和城相距，现计划以为直径的半圆上选择一点（不与点， 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城和城的总影响度为对城与城的影响度之和.记点到城的距离为，建在处的垃圾处理厂对城和城的总影响度为.统计调查表明：垃圾处理厂对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城的影响度与所选地点到城的距离的平方成反比例关系，比例系数为.当垃圾处理厂建在的中点时，对城和城的总影响度为0.065.
（1）将表示成的函数.
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城和城的总影响度最小？若存在，求出该点到城的距离；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）.
（2）点到城的距离为时，函数有最小值.
【解析】（1）由点是在以为直径的半圆上，则易知，由勾股定理可得， ，再根据题意建立函数模型，求出系数,从而问题可得解；（2）由（1）可得，利用函数导数来研究该的单调性，并求出其最小值，从而问题可得解.
试题解析：（1）由题意知， ， ，
则，
所以 .
因为当时， ，
代入表达式解得，
所以 .
（2）因为，
所以 .
令，得，
8．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
【答案】（1）当x＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米;
（2）当a＝b＝60，x＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．
【解析】试题分析：（1）矩形纸板的面积为，故当时，，列出关于纸盒侧面积函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得最大值；
（2）列出盒子体积的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论。
试题解析：
（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，
从而包装盒子的侧面积
S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)
＝－8x2＋260x，x∈(0，20) ．
因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－)2＋，
故当x＝时，侧面积最大，最大值为 平方厘米．
答：当x＝时，纸盒的侧面积的最大值为平方厘米．
（2）包装盒子的体积
V＝(a－2x)(b－2x) x＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]，x∈(0，)，b≤60．
V＝x[ab－2(a＋b)x＋4x2]≤x(ab－4x＋4x2)
＝x(3600－240x＋4x2)
＝4x3－240x2＋3600x． 当且仅当a＝b＝60时等号成立．
9．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门（如图）．设计要求彩门的面积为（单位：），高为（单位：）（为常数）．彩门的下底固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度和记为．
（1）请将表示成关于的函数；
（2）问当为何值最小，并求最小值．
【答案】（1）l表示成关于的函数为 ()；
（2）当时，l有最小值为.
【解析】试题分析：（1）求出上底，即可将表示成关于的函数；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当为何值时最小，并求最小值.
试题解析：（1）过作于点，则（）， ，设，
则，，，
因为S=，则 ；
则 ()；
（2），
　令，得.
－
＋
减
极小值
增
　所以， .
答：（1）l表示成关于的函数为 ()；
（2）当时，l有最小值为.
10．如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度的平方和宽度
的乘积成正比，与它的长度的平方成反比．
（Ⅰ）在的条件下，将此枕木翻转（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？
（Ⅱ）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？
【答案】（Ⅰ）变大；（Ⅱ）当宽，高时，安全负荷最大.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）直接运用已知条件求解即可；（Ⅱ）借助题设条件运用导数进行求解.
当时，，此时枕木的安全负荷变大．
（Ⅱ）设截取的宽为（），高为，，
其长度及为定值，安全负荷为
令，
此时，由，得
由，可得，在递增，在递减
所以当宽时，取得最大值，此时高，
所以，当宽，高时，安全负荷最大
考点：不等式、函数的知识和导数的知识的综合运用．
【易错点晴】数学中的实际应用问题是高考常考题型之一,应用题具有篇幅长信息容量大,阅读时要仔细认真弄清楚文字中的含义,深刻领会文字符号中的真正含义和即时定义中的内涵和外延是解决问题的关键.一般来见解答好实际应用问题需要处理好以下四个步骤:（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题．认真阅读题目，弄清题目条件与图形元素间的对应关系，也是审题过程中不可缺少的环节.
11．有一种新型的洗衣液，去污速度特别快.已知每投放且个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中.根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.
（Ⅰ）若投放个单位的洗衣液，分钟时水中洗衣液的浓度为（克/升），求的值 ；
（Ⅱ）若投放个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）14.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）将代入，求得的值；
（Ⅱ）当时，，当时，由，解得；当时，由，解得；所以，故有效去污时间可达14分钟.对于函数应用问题，要仔细审题，认真领悟题中每一句话的意思，特别是能列出数学关系式的语句要做为重点，反复研读，然后准确建立数学模型，再正确求解，并检验所得结果是否合理；若不合理，要查明出错原因，重新建模求解；若合理，则需将求得数学结果回归到实际问题中；应用分段时，要注意自变量取值范围与解析式相适应.
试题解析：（Ⅰ）由题意知，，解得； 3分
（Ⅱ）当，所以 5分
考点：分段函数的应用.
12．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：
辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）
【答案】（1） =； （2） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
【解析】
试题分析： （1）本题是一个分段函数，当车流量小于等于20时，速度为60千米/小时，当车流量大于20时小于或等于200时通过两端点解出一次函数的解析式．（2）通过计算分段函数一个是一次函数，一个是二次函数来确定最大值．本题属于分段函数的应用，这类应用题关键就是审清题意．分段函数的最大值是分别求出各段函数的最大值，再求出总的最大值．
试题解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得
故函数的表达式为= 6分
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 8分
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，当时，在区间上取得最大值． ．12分
综上，当时，在区间上取得最大值，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，
最大值约为3333辆/小时 ．．．13分
考点：函数的应用问题．
13．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为万元，每生产万件需要再投入万元.设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每万件国家给予补助万元. （为自然对数的底数，是一个常数.）
（Ⅰ）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；
（Ⅱ）当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）.
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为，此时的月生产量值为（万件）
【解析】
试题解析：解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得
6分
（Ⅱ）的定义域为，
且
列表如下：
+
-
增
极大值
减
由上表得：在定义域上的最大值为 .
且.即：月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为，此时的月生产量值为（万件）. 12分
考点：1、用函数的思想优化生活中的实际问题；2、导数在研究函数性质中的应用.
14．某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：
其中，点为轴上关于原点对称的两点，曲线段是桥的主体，为桥顶，且曲线段在图纸上的图形对应函数的解析式为，曲线段均为开口向上的抛物线段，且分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（）的切线的斜率相等.
（1）求曲线段在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域；
（2）车辆从经倒爬坡，定义车辆上桥过程中某点所需要的爬坡能力为：（该点与桥顶间的水平距离）（设计图纸上该点处的切线的斜率），其中的单位：米.若该景区可提供三种类型的观光车:①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力.它们的爬坡能力分别为米,米,米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?
【答案】⑴⑵“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.
【解析】试题分析：（1）据题意，抛物线段与轴相切，且为抛物线的顶点，设，则抛物线段在图纸上对应函数的解析式可设为，因为点为衔接点,则解得所以曲线段在图纸上对应函数的解析式为
（2）设是曲线段上任意一点,分别求P在两段上时，函数的最大值
若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力，，利用二次函数求其最值（米），若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力
，令，换元法求其最大阻值，（米），所以可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为米,
又因为,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．
由曲线段在图纸上的图像对应函数的解析式为,
又,且,所以曲线在点处的切线斜率为,
因为点为衔接点,则解得
所以曲线段在图纸上对应函数的解析式为
⑵设是曲线段上任意一点,
①若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力
令 ,
所以函数 在区间上为增函数,在区间上是减函数,
所以（米）
②若在曲线段上,则通过该点所需要的爬坡能力

令则
又因为,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．
15．罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元．
（1）试写出关于的函数关系式；
（2）当＝96米，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用最小？
【答案】（1）；（2）需新建个桥墩才能使余下工程的费用最小.
【解析】
试题分析：（1）根据题意设出桥墩和桥面工程量，然后根据题意建立工程总费用与工程量的函数关系；（2）当；米时，代入已知函数表达式，求出此时的函数表达式，并求导，根据导数与函数单调性的关系求出最值以及此时的值.
试题解析：(1)设需新建n个桥墩，则(n+1)x=m，即
所以
=
(2)当时，
则
令，得，所以x=16
当0当16所以在=16处取得最小值，此时
故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用最小.
考点：导数在最大值、最小值中的实际应用.
16．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区，其中是半径为1百米的扇形，． 管理部门欲在该地从到修建小路：在弧上选一点（异于两点），过点修建与平行的小路．问：点选择在何处时，才能使得修建的小路与及的总长最小？并说明理由．
【答案】时,总长最小.
【解析】
试题分析：由题意,,过分别作的垂线,在直角三角形中用表示线段长度,将总长最小转化为三角函数的最值问题,对函数求导判断单调性,得出在时,总长最小.
试题解析：解：连接，过作垂足为，过作垂足为，
设，
若，在中，，
若，则，
若，则，
∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
在中，,
………………………………6分
所以总路径长，．．．．．．．．．．．．．8分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
令，当时，，
当时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以当时，总路径最短．
答：当时，总路径最短．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
考点：三角函数的实际应用.
17．投资人制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.一投资人打算投资甲、乙两项目. 根据预测, 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为 和. 投资人计划投资金额不超过万元 ,要求确保可能的资金亏损不超过万元. 设甲 、乙两个项目投资额分别为万元.
（1）写出满足的约束条件；
（2）求可能盈利的最大值(单位：万元 ).
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题解析：
（1）满足约束条件为.
（2）设目标函数，上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域，作直线，并作平行于的一组直线，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点，且与直线的距离最大，这里点是直线和的交点，解方程组，得.此时（万元），因为,所以当时，取最大值.
考点：线性规划应用问题.
18．如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域．
(1) 设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；
(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值．
【答案】（1）α的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.；（2）20＋10 km．
【命题立意】本题旨在考查导数在函数中的应用，考查学生的推理分析能力，难度中等.
【解析】(1) 如图1，作OH⊥AB，设垂足为H，记OH＝d，α＝2∠AOH，
因为cos∠AOH＝，(1分)
要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得，
d≤OP＝5km，(3分)
当且仅当AB⊥OP时，dmin＝5km.
此时αmin＝2∠AOH＝2×＝.(4分)
设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，
根据题意可得：S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，(6分)
f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，f(α)为增函数，(7分)
所以Smin＝f＝50km2.(8分)
答：视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.(9分)
(图1)
(2) 如图2，分别过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD垂足分别是H，H1，
记OH＝d，OH1＝d2，由(1)可知d1∈[0，5]
所以d＋d＝OP2＝25，且d＝25－d(10分)
因为AB＝2，CD＝2，
所以AB＋CD＝2(＋)＝2(＋)，(11分)
记L(d1)＝AB＋CD＝2(＋)，
可得L2(d1)＝4[175＋2]，
(12分)
由d∈[0，25]，可知d＝0，或d＝25时，L2(d1)的最小值是100(7＋4)，
从而AB＋CD的最小值是20＋10 km.(13分)
答：两条公路长度和的最小值是20＋10 km.(14分)
(图2)
【名师原创测试篇】
1.我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数与第x天近似地满足（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费近似地满足（元）．
求该村的第x天的旅游收入（单位千元，1≤x≤30，）的函数关系；
若以最低日收入的20％作为每一天的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？
【答案】（1）；（2）能收回投资．
【解析】
试题分析：（1）函数应用题关键是找到等量关系，函数关系，不等关系，列出相应的式子就可解题，一般情况下，这些关系式在题中都有提示，但有时我们也要注意生活中的常识，如本题中某天的旅游收入应该等于这天的人均消费乘以这天的旅游人数，即，此题中含绝对值符号，我们在求时，可分类讨论，用分段函数形式表示；（2）关键是求的最小值，如最小值为，我们只要再计算，如果这个值不小于800万元，就能收回全部投资成本，否则就不能，而的最小值要分段求，一个用基本不等式，一个用函数的单调性，分别救出后比较，取较小的一个即可.
试题解析：(1)依据题意，有
=
(2) 当，时，
(当且仅当时，等号成立) . [
因此，(千元) .
当，时， .
考察函数的图像，可知在上单调递减，
于是，(千元) .
又，
所以，日最低收入为1116千元.
该村两年可收回的投资资金为=8035.2(千元)=803.52(万元) .
因803.52万元800万元，
所以，该村两年内能收回全部投资资金.
2.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.
（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；
（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】
试题解析：（1）



（2）由题意得



答：当声音能量时，人会暂时性失聪.
3.某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：.（设该生物出生时t=0）
（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；
（2）设出生后第年，该生物长得最快，求的值.
【答案】（1）6年；（2）4或5．
【解析】
试题解析：（1）设，即，解得，
即该生物6年后身长可超过8米；……………………………………5分
（2）设第年生长最快，于是有
，…………8分
令，则，
令，…………11分
等号当且仅当即，，时成立，因为，因此可能值为4或5，由知，所求有年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．………14分
4.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计.
（1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？
（2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注）
【答案】（1）75；（2）．
【解析】
试题分析：（1）这主要是考查球的体积和圆柱的体积公式，我们只要计算出输液瓶内液体的体积（两个圆柱的体积之和），就可以得出1分钟需要滴下的液体的体积，而每滴液体的体积（实际上是球的体积）计算出来后，就可得出1分钟内应该滴几滴了；（2）由（1）很容易得到分钟后输液瓶滴下的液体的体积，而滴出的液体在瓶内应该是圆柱形状，其高就是，用两种方法计算出滴出的液体的体积，它们可构成一个方程，从而可解出（把用表示），要注意的是，输液瓶是两个圆柱组成的，因此在计算时要分类，分和两种情形讨论，得出的结论是分段函数．
试题解析：（1）设每分钟滴下（）滴，………………1分
则瓶内液体的体积………………3分
滴球状液体的体积………………5分
所以，解得，故每分钟应滴下滴。………………6分
（2）由（1）知，每分钟滴下药液………………7分
当时，，即，此时………10分
当时，，即，此时………13分
综上可得………………14分
5.某企业生产某种商品吨，此时所需生产费用为（）万元，当出售这种商品时，每吨价格为万元，这里（为常数，）
（1）为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？
（2）如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160万元，求的值．
【答案】（1）100吨；（2）．
【解析】
试题解析：（1）设生产平均费用为y元，（1分）
由题意可知y=;（5分）
当且仅当时等号成立，（6分）
所以这种商品的产量应为100吨．（7分）
（2）设企业的利润为S元，有题意可知（7分）
= （3分）
又由题意可知120 （5分）
（6分）
（7分）
6.上海某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求），为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是元.
(1)要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
【答案】（1）；（2）以每小时6千克的速度能获得最大利润，最大利润为457500元.
【解析】
试题解析：(1)根据题意，………4分
又，可解得 …………6分
因此，所求的取值范围是 …………7分
(2)设利润为元，则 …………11分
故时，元． …………13分
因此该工厂应该以每小时6千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500元．
…………14分
7.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里.
（1）求A、C两点间的距离；（精确到0.01）
（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为PCA（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．
【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．
【解析】
试题分析：（1）这是解三角形问题，图形中，已知，要求，因此由正弦定理知应该知道它们所对的两角，由题中已知的三个方位角，可求出，，，故易求得结论；（2）只要求出两船到达点的时间即可，国舰艇路程为，我渔政船路程为，这里要在中求出，已知，因此应用余弦定理可求出，从而得出结论．
试题解析：（1）求得，……2分
由海里. ……4分
（2）R国舰艇的到达时间为：小时.……1分
在中，
得海里， ……4分
所以渔政船的到达时间为：小时.……1 分
因为，所以渔政船先到. ……1分
答：渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助. ……1分
8.为了减少放射性污染对人体的影响，某市环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．
（1）令，，求的取值范围；
（2）国家环保局规定，每天的综合放射性污染指数不得超过，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
【命题意图】本题考查不等式，分段函数，函数的定义域与值域，函数的性质等知识 ，意在考查学生的抽象概括能力，运算求解能力．
解：（1）当时，
当时，

故的取值范围是 ……………………4分
（2）当时，记
则　　　　　　　　　　……………………8分