2018年高考数学三轮讲练测核心热点总动员（江苏版）热点12+数列大题

【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
例1 【2015江苏高考】设是各项为正数且公差为d的等差数列
（1）证明：依次成等比数列；
（2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；
（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说
明理由.
【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在
【解析】
，从而将方程的解转化为研究函数零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在上无零点
试题解析：（1）证明：因为（，，）是同一个常数，
所以，，，依次构成等比数列．
（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．
假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，
则，且．
令，则，且（，），
化简得（），且．将代入（）式，
，则．
显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．
将上述两个等式两边取对数，得，
且．
化简得，
且．
再将这两式相除，化简得（）．
令，
则．
令，
则．
令，则．
令，则．
由，，
知，，，在和上均单调．
故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．
所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．
例2 【2016江苏高考】记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意正整数，若，求证：；
（3）设，求证：.
【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析
【解析】
试题解析：（1）由已知得.
于是当时，.
又，故，即.
所以数列的通项公式为.
（2）因为，，
所以.
因此，.
（3）下面分三种情况证明.
①若是的子集，则.
②若是的子集，则.
③若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
综合①②③得，.
【考点】等比数列的通项公式、求和
【名师点睛】本题有三个难点：一是数列新定义，利用新定义确定等比数列的首项，再代入等比数列通项公式求解；二是利用放缩法求证不等式，放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列的性质，以算代征；三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.
【结束】
例3 【2017江苏高考】对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
试题解析：（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”．
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为．
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
【考点】等差数列定义及通项公式
【名师点睛】证明为等差数列的方法：①用定义证明：为常数）；②用等差中项证明：；③通项法：为关于的一次函数；④前项和法：．
【热点深度剖析】
1. 江苏高考中，数列大题要求较高，常常在压轴的代数论证中考数列的综合应用.近几年江苏高考中数列解答题总是同等差、等比数列相关，进一步考查其子数列或派生数列的性质等，而对递推条件证不等式有所淡化。尤其11年江苏卷的数列题命制非常出色，条件与结论中都隐含着等差数列，所以解题过程中既有等差数列性质的挖掘，又有等差数列的判断论证，综合性极强.
2.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.注意数列与函数方程、不等式等知识的交汇.在复习中要参透数列作为一种离散型的特殊函数与函数的定义域、值域、单调性、周期性、最值、图像等关系.
3.解决数列综合题，关键是熟练掌握等差数列、等比数列的定义及性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到提高分析问题和解决问题能力的目的.
4.预计18年数列依然是考查重点内容，出与等差数列相关的代数论证压轴题的可能性较大.
【最新考纲解读】
内 容
要 求
备注
A　　
B　　
C　　
数列
数列的概念
√　　
　?　
　?　
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.
等差数列
　?　
　?　
√　　
等比数列
　?　
　?　
√　　
【重点知识整合】
一、与的关系：．
二、（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差（比）等于同一常数的数列叫等差（比）数列．
（２）递推公式：．
　 （３）通项公式：．
（４）等差数列性质①单调性：时为递增数列，时为递减数列，时为常数列．
②若，则．特别地，当时，有③．　　④成等差数列．
等比数列性质①单调性：当或时，为递增数列；当，或时为递减数列；当时为摆动数列；当时为常数列．②若，则特别地若则③．④，…，当时为等比数列；当时，若为偶数，不是等比数列．若为奇数是公比为的等比数列．
【应试技巧点拨】
一、数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
二、数列求和的基本方法：
基本公式法：等差数列求和公式： 等比数列求和公式： .
错位相消法：一般适应于数列的前向求和，其中成等差数列，成等比数列。
分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。
拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：若是公差为的等差数列，则；
；；；.
5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。
【考场经验分享】
1.目标要求：数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.
2.注意问题：(1) 利用an 与Sn的关系，不要忘记验证a1 能否与n≥2时an的式子统一; (2) 运用等比数列求和公式时，需对q=1和q≠1进行讨论.
3.经验分享：用函数的观点处理数列问题，数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明以及以函数为背景进行数列的构造命题，体现了在知识的交汇点上命题的特点，一直是高考命题者的首选。
【名题精选练兵篇】
1. 【前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测】已知数列满足： .
（1）若，求的值；
（2）设，求证：数列从第2项起成等比数列；
（3）若数列成等差数列，且，试判断数列是否成等差数列？并证明你的结论.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【解析】试题分析：
(1)由题意结合递推关系可得；
试题解析：
（1）当时，可得，又，
从而可得；
（2）由，可得，
所以；
又因为，
所以，即，
又， ，所以，
所以数列成等比数列；
（3）由可得，即；
由可得，
又因为数列成等差数列，从而，即，
从而，
即
所以，故，
所以数列成等差数列.
2. 【兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考】已知数列的满足，前项的和为，且.
（1）求的值；
（2）设，证明：数列是等差数列；
（3）设，若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】试题分析：(1)令得 (2) 因为，所以①.所以②，由②-①，得.因为，所以.所以，即，
试题解析：
（1）令得.
（2）因为，所以①.
所以②，
由②-①，得.
因为，所以.
所以，即，
即，所以数列是公差为1的等差数列.
（3）由（2）知，因为，所以数列的通项公式为.
因为，所以，
所以，所以数列是常数列.
由，所以.
所以.
因为
所以数列为单调递增数列
当时， ，即的最小值为
由，所以，
而当时， 在递减， 递增，所以，
当且仅当或时取得，故.
点睛：本题考查了数列中与的关系，对式子变形处理能力要求较高，考查了利用定义证明数列是等差数列，考查了数列中恒成立问题，变量分离是常用方法,综合性强，属于难题.
3. 【南师附中、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考】设数列的首项为，前项和为，若对任意的，均有（是常数且）成立，则称数列为“数列”.
（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；
（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的的值；若不存在，请说明理由；
（3）若数列为“数列”， ，设，证明： .
【答案】（1）；（2）不存在；（3）证明见解析.
【解析】试题分析：
试题解析：
（1）因为数列为“数列”，
则
故，
两式相减得： ，
又时， ，
所以，
故对任意的恒成立，即（常数），
故数列为等比数列，其通项公式为.
（2）假设存在这样的数列，则有，故有
两式相减得： ，
故有，
同理由是“数列”可得，
所以对任意恒成立．
所以，
即，
又，
即，
两者矛盾，故不存在这样的数列既是“数列”，也是“数列”．
（3）因为数列为“数列”，
所以，
所以，
故有， ，
又时， ，
故，满足，
所以对任意正整数恒成立，数列的前几项为： ．
故，
所以，
两式相减得 ，
显然，
故，
即.
点睛：
（1）本题属于新概念问题，解题时要从所给出的概念出发，得到相应的结论，然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论．
（2）对于存在性问题的解法，可利用反证法求解，解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键，通过否定假设可得原结论不成立．
4. 【南通市2018届高三上学期第一次调研】若数列同时满足：①对于任意的正整数， 恒成立；②对于给定的正整数， 对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”.
（1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列是“数列”，且存在整数，使得， ， ， 成等差数列，证明： 是等差数列.
【答案】（1）是（2）见解析
试题解析：（1）当为奇数时， ，所以.
.
当为偶数时， ，所以.
.
所以，数列是“数列”.
（2）由题意可得： ，
则数列， ， ， 是等差数列，设其公差为，
数列， ， ， 是等差数列，设其公差为，
数列， ， ， 是等差数列，设其公差为.
因为，所以，
所以，
所以①，②.
若，则当时，①不成立；
若，则当时，②不成立；
若，则①和②都成立，所以.
【另解】 ，
，
，
以上三式相加可得： ，所以，
所以 ，
，
，
所以，所以，
所以，数列是等差数列.
5. 【淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
⑴若，，（），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求，的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
试题解析：
（1）证明：若，则当(),
所以，
即，
所以，
又由，，
得，，即，
所以，
故数列是等比数列．
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　 ①
当时，，即，得
　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　②
当时，，即，得
　　　　　　　　　，　　　　　　　　③
②?①?，得 ，
③?②?，得 ，
解得．
代入①式，得．
此时()，
所以，是公比为１的等比数列，
故．
（3）证明：若，由，得，
　　又，解得．
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
6．已知数列满足．
（Ⅰ）若数列是常数列，求的值；
（Ⅱ）当时，求证： ；
（Ⅲ）求最大的正数，使得对一切整数恒成立，并证明你的结论．
【答案】(1) ;(2)见解析;(3)1.
【解析】试题分析：(1) .
(2)由条件得,得，
又显然有，所以与同号,而,所以即 .
(3)先由猜测. 然后用数学归纳法证明即可.
试题解析：(1)若数列是常数列,则, ；显然,当时，有
(2)由条件得,得，
又因为,
两式相减得显然有，所以与同号,而,所以；
从而有
(3)因为，
所以.这说明，当时， 越来越大，不满足，所以要使得对一切整数n恒成立,只可能. 下面证明当时, 恒成立；用数学归纳法证明:
7．已知含有个元素的正整数集（， ）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．
（Ⅰ）写出， 的值；
（Ⅱ）证明：“， ，…， 成等差数列”的充要条件是“”；
（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．
【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） ．
【解析】试题分析: （Ⅰ）由为正整数,则， .， ,即可求得， . （Ⅱ）先证必要性：由， ，…， 成等差数列，故，由等差数列的求和公式得: ；再证充分性：由，故（， ，…， ），故， ，…， 为等差数列．（Ⅲ）先证明（， ，…， ）,因此，即，所以．由集合的性质,分类,即可求得当取最小值11时， 的最大值为．
试题解析:（Ⅰ）， .
（Ⅱ）先证必要性：
因为， ，又， ，…， 成等差数列，故，所以；
再证充分性：
因为， ， ，…， 为正整数数列，故有
， ， ， ，…， ，
所以，
又，故（， ，…， ），故， ，…， 为等差数列．
故假设不成立，即（， ，…， ）成立．
因此，
即，所以．　
因为，则，
若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，
故，即.
此时可构造集合.
因为当时， 可以等于集合中若干个元素的和；
故当时， 可以等于集合中若干不同元素的和；
……
故当时， 可以等于集合中若干不同元素的和；
故当时， 可以等于集合中若干不同元素的和；
故当时， 可以等于集合中若干不同元素的和，
所以集合满足题设，
所以当取最小值11时， 的最大值为．
8．已知数列， 是其前项和，且满足.
（1）求证:数列是等比数列；
（2）设，且为数列的前项和，求数列的前项和.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先根据当时， ，得数列项之间递推关系，再根据题意转化为，最后根据等比数列定义证明结论，（2）先根据等比数列通项公式求，得到，再根据等差数列求和公式得，最后根据裂项相消法求和.
试题解析：(l)∵，∴，
当时， ，即，
∴，
∴数列是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由（1)知， ，∴.
∴，
故数列的前项和.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
9．已知数列的各项为正数，其前项和为满足，设.
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最大值.
（3）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2） 最大值是25；（3）存在正整数t，使得成等差数列.
当时， ；当时， ；当时， .
解析：（1）当时， ，∴．
当时， ，即
∴，∴，∴
∴，所以是等差数列， ．
（2）， ，∵，∴是等差数列，
∴，当时， ．
（3）由（1）知.要使成等差数列，必须，即，…….整理得，
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5.
当时， ；当时， ；当时， .
故存在正整数t，使得成等差数列.
10．各项均为正数的数列的前项和为，且满足.
各项均为正数的等比数列满足.
（1）求数列的通项公式的通项公式；
（2）若，数列的前项和.
①求；
②若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）， ；（2）①；②.
试题解析：
（1）
∴
∴又各项为正
∴
∴开始成等差
又
∴
∴为公差为的等差数列
∴

∴
（2）
①

∴
②恒成立
∴
即恒成立
设
当时，
时，
∴
∴.
点睛：本题主要考查数列通项公式的求法，考查数列求和的基本方法错位相减法，考查不等式恒成立问题的解决策略.由于和的关系式题目给定，故利用可求得的通项公式.求出的通项公式后通过观察可发现的通项是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求.
11．若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.
（2）记为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为中的两个元素，且项数均为.若， ，数列和的距离小于2016，求的最大值.
（3）记是所有7项数列（其中， 或）的集合， ，且中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： 中的元素个数小于或等于16.
【答案】（1）7;（2）3455;（3）见解析.
【解析】（1）根据题意，将两数列对应代入计算，问题即可得解；（2）由题意，根据递推关系，不难发现数列是以4为周期的数列，由此可确定数列亦为周期数列，由其首项即可知对应数列各项，依据定义当项数越大时，其距离也呈周期性且越大，从而问题可得解；（3）根据题意，这里可以考虑采用反证法来证明，首先假设问题不成立，再通过特殊赋值法，依据定义进行运算，发现与条件相矛盾，从而问题可得证.
试题解析：（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7.
（2）设，其中且.
由，
得， ， ， ，….
所以， ，….
因为，
而 ，
因此，当时， .
故的最大值为3455.
（3）假设中的元素个数大于或等于17.
因为数列中， 或1，
所以仅由数列前三项组成的数组（， ， ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）.
那么这17个元素之中必有3个具有相同的， ， .
设这3个元素分别为： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ； ： ， ， ， ， ， ， ，其中， ， .
因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，
所以在与中， 至少有3个成立.
不妨设， ， .
由题意得， 中一个等于0，另一个等于1.
又因为或1，所以和中必有一个成立.
同理得： 和中必有一个成立， 和中必有一个成立，
所以“ 中至少有两个成立”和“ 中至少有两个成立”中必有一个成立.
故和中必有一个成立，这与题意矛盾.
所以中的元素个数小于或等于16.
12．已知数列的前项和为，且
（）求数列的通项公式；
（）若数列满足，求数列的通项公式；
（）在（）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴；⑵.
【解析】试题分析：（1）由递推关系式消去，可得，数列为等比数列，且首项为，公比，所以．（2）由递推得：
两式相减得：又
当时,所以
试题解析：⑴ 由得两式相减,得
所以由又得
所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以．
⑵ 由 ⑴ 知
由
得
故即
当时,所以
⑶ 因为
所以当时,
依据题意,有即
①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．
又随增大而增大,
则当且仅当时,故的取值范围为
②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,
故的取值范围为
又当时,由
得
综上可得,所求的取值范围是
点睛：本题考查了数列的递推公式，数列求和及与数列有关的含参问题，涉及分类讨论，属于难题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及的数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的的恒成立，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．
13．已知为正整数，数列满足，，设数列满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列是等差数列，求实数的值；
（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.
【答案】（1）见解析;（2）;
（3）当N*，对任意的N*，均存在N*，使.
（3）由（2）得，利用等差数列前项和公式代入，解出，经讨论当时符合题意，当时不符合题意.
试题解析：（1）由题意得，因为数列各项均正，
得，所以，
因此，所以是以为首项公比为2的等比数列.
（2）由（1）得，，，
如果数列是等差数列，则，
得：，即，则，
解得 ，.
当时，，
，数列是等差数列，符合题意；
当=12时，，
，，
，数列不是等差数列，=12不符合题意；
综上，如果数列是等差数列，.
（3）由（2）得，对任意的N*，均存在N*，使，
则，所以.
当，N*，此时，对任意的N*，符合题意；
当，N*，当时，. 不合题意.
综上，当N*，对任意的N*，均存在N*，使.
14．已知各项均不为零的数列的前项和，满足：（为常数，且，）．
（1）设，若数列为等比数列，求的值；
（2）在满足（1）的情形下，设，数列的前项和，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）对于和项与通项的关系式，一般利用进行转化，得到关于项与项之间的递推关系式，本题得到 ，再根据等比数列定义及通项公式可得，这样就可表示数列前三项，最后根据等比数列性质得 ，代入可解出,注意验证此时为等比数列，（2）不等式恒成立问题，首先化简不等式，即求数列的前项和，并代入化简，然后转化为求对应函数最值问题，即的最大值，最后根据数列单调性确定其最值，解出实数的取值范围．
试题解析：（1）当时，，得．
当时，由，即，①
，②
①②，得，即，数列的各项均不为零∴（），
∴是等比数列，且公比是，∴．
再将代入，得，由，知为等比数列，∴．
（2）由，知，∴，
∴，
由不等式恒成立，得恒成立，
设，由，
∴当时，，当时，，而，，∴，
∴，∴．
点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
15．已知数列中，，且点在直线上．
⑴求数列的通项公式；
⑵若函数（，且），求函数的最小值；
⑶设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)；（2）；(3)，证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）将点代入直线得到，数列是以为首项，为公差的等差数列，再由得到的通项公式；（2）由（1）可得，
，，是单调递增的，故的最小值是；（3）由（1）及，，即，，，最后将该式整理即可得出．
试题解析：⑴点在直线上，即，且，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，也满足，
⑵，
，
，
是单调递增的，故的最小值是．
⑶，，
即，，
，．
故存在关于的整式，使等式对于一切不小于的自然数恒成立．
法二：先由的情况，猜想出，再用数学归纳法证明．
考点：函数与数列综合.
，最后将该式整理即可得出.
16．若存在常数、、，使得无穷数列满足 则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时，求；
②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（2）设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.
【答案】（Ⅰ）①6，②（Ⅱ）或.
【解析】
试题解析：（1）①方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
，，. ………3分
方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
∴，，，，，，，…
∴当时，是周期为3的周期数列.
∴. …………3分
②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴，
∴是以为首项、6为公差的等差数列，
又，
， ……………6分
，，设，则，
又，
当时，，；当时，，，
∴，∴， …………9分
∴，得. …………10分
方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴，∴，∴是首项为、公差为6的等差数列，
∴，
易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，
，
， ……………6分
以下同方法一.
（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为、、，
则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，
当时，，即恒成立， ……………12分
①若，则，；
②若，则，则为常数，则，为偶数，，；
经检验，满足条件的的通项公式为或. ……………16分
方法二：设的段长、段比、段差分别为、、，
①若，则，，，，
由，得；由，得，
联立两式，得或，则或，经检验均合题意. …………13分
②若，则，，，
由，得，得，则，经检验适合题意.
综上①②，满足条件的的通项公式为或. ……………16分
考点：新定义，分组求和，利用数列单调性求最值
【方法点睛】分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和；
17．设各项均为正数的数列满足（为常数），其中为数列的前项和.
（1）若，，求证：是等差数列；
（2）若，，求数列的通项公式；
（3）若，求的值.
【答案】（1）详见解析（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）由得 ，两式相减，得出，从而得到是等差数列；（2）利用递推关系与“累乘求积”即可得出数列通项公式；（3）利用递推关系，对q分类讨论代入即可得出的值
试题解析：（1）证明：由，，得，所以，
两式相减，得，所以是等差数列. ……………4分
（2）令，得，所以， ……………5分
则，所以，两式相减，
得， ……………7分
所以，化简得，
所以， ……………9分
又适合，所以. ……………10分
（3）由（2）知，所以，得，
两式相减，得，
易知，所以. ……………12分
①当时，得，所以，
满足； ……………14分
考点：等差关系的确定；数列递推式
18．已知数列的前项和为，对任意的，点恒在函数的图象上.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；
（3）设为数列的前项和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
试题分析：（1）利用求解；（2）要使对于一切的正整数n恒成立，只需中的最大值即可；（3）求解有关正整数n的不等式得，由不等式恒成立可得正整数
试题解析：（1）由已知，得 ……1分
当时，…2分
当时，. ∴………3分
（2）解法一：.4分
当时，，即；当时，，即；
当时，，即 …………6分
∴中的最大值为，
当时，；当时，
∴时，；时，
时， ……………6分
∴中的最大值为，
要使对于一切的正整数恒成立，只需 ∴ ………7分
（3） ……8分
将代入，化简得，（﹡）………9分
若时，，显然时成立； 10分
若时，（﹡）式化简为不可能成立 ……………11分
综上，存在正整数使成立 ……12分
考点：数列与函数的综合；数列的应用
19．已知数列，，其前项和满足，其中．
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）设，为数列的前项和，求证：；
（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】
试题分析：（1）当时，，，当时，，整理得：，可得，，是首项为，公差为的等差数列；（2）由（1）可知：，利用“错位相减法”即可求得；（3）由得，整理得：，当为奇数时，；当为偶数时，，由为非零整数，即可求得．
试题解析：（1）当时，，∴，
当时，，
∴，即，
∴（常数），
又，∴是首项为，公差为的等差数列，．
（2），
，，
相减得，
∴．
（2）由，得，
，，，
当为奇数时，，∴；
当为偶数时，，∴，∴，
又为非零整数，∴．
考点：（1）等差数列的通项公式；（2）数列求和.
20.已知各项均为正数的数列的首项，是数列的前n项和，且满足：.
（1）若，，成等比数列，求实数的值;
（2）若，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）因为，，成等比数列，所以，因此由分别求出，，代入化简得（2）当时，，变形构造成一个特殊数列是本题关键及难点：，，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，解得，再利用与关系得到数列递推关系，，即数列是首项为是常数列，所以.因此
试题解析：（1）令，得．
令，得，所以．…………2分
由，得，因为，所以．………4分
（2）当时，，
所以，即，………………………6分
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以， ……………………………………………………8分
即，①
当时，，②
①②得，，……………………………………………10分
即，所以， ………………………12分
所以是首项为是常数列，所以. ……………………14分
代入①得. ……………………16分
【名师原创测试篇】
1．数列是递增的等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最小值；
（3）求数列的前项和．
【答案】(1) ；（2）；（3）．
【解析】
试题解析：（1） 由，得、是方程的二个根，，，此等差数列为递增数列，，，公差，．………………4分
（2），，
……………………8分
（3）由得，解得，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．……………………10分
当且时，
．…………12分
当且时，
．……………………14分
2.已知数列中，，，.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）在数列中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）若且，，求证：使得，，成等差数列的点列在某一直线上.
【答案】（1）证明见解析，；（2）存在，满足条件的连续三项为，，；（3）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）这类问题相对较易处理，我们只要找到数列的前后两项与之间的关系，也即从已知等式湊配出这两项的关系，如果实在湊不出，可设，由此得，把它代入已知等式有，即，立即得出了结论，注意还要说明首项不为零；（2）首先由（1）可求得数列的通项公式，然后按照存在性问题的一般方法求解，假设结论存在，连续的三项依次为，，（，），且，如能求出，则说明结论真正存在，如求不出，则说明结论不成立；（3）此问题实质就是若，，成等差数列，则点列在某一直线上，就是由找出的关系，由，得，变形得，下面可以通过讨论的奇偶性来求出的关系．
试题解析：（1）将已知条件变形为……1分
由于，则（常数）……3分
即数列是以为首项，公比为的等比数列……4分
所以，即（）。……5分
（2）假设在数列中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为，，（，），由题意得，，
将，，代入上式得……7分
………………8分
化简得，，即，得，解得
所以，存在满足条件的连续三项为，，成等比数列。……10分
（3）若，，成等差数列，则
即，变形得……11分
由于若，且，下面对、进行讨论：
① 若，均为偶数，则，解得，与矛盾，舍去；
② 若为奇数，为偶数，则，解得；
③ 若为偶数，为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；
④ 若，均为奇数，则，解得，与矛盾，舍去；……15分
综上①②③④可知，只有当为奇数，为偶数时，，，成等差数列，此时满足条件点列落在直线（其中为正奇数）上．……16分（不写出直线方程扣1分）
3.已知无穷数列的前项和为，且满足，其中、、是常数.
（1）若，，，求数列的通项公式；
（2）若，，，且，求数列的前项和；
（3）试探究、、满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列.
【答案】（1）；（2）；（3），或或，．
【解析】
，代入恒成立的等式，得
对于一切正整数都成立，所以，，，得出这个结论之后，还要反过来，由这个条件证明数列是公比不为的等比数列，才能说明这个结论是正确的．在讨论过程中，还要讨论的情况，因为时，，，当然这种情况下，不是等比数列，另外．
试题解析：（1）由，得； …………1分
当时，，即…………2分
所以； …………1分
（2）由，得，进而，……1分
当时，
得，
因为，所以， …………2分
进而 …………2分
（3）若数列是公比为的等比数列，
①当时，，
由，得恒成立.
所以，与数列是等比数列矛盾； …………1分
②当，时，，，…………1分
由恒成立，
得对于一切正整数都成立
所以，或或， …………3分
事实上，当，或或，时，
，时，，得或
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列 …………2分
4.称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：
①；②.
（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比q及的通项公式；
（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记n阶“期待数列”的前k项和为：
（i）求证：；
（ii）若存在使，试问数列能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
【答案】（1）．或；
（2）；
（3）（i）证明见解析；（ii）不能，证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）数列中等比数列，因此是其前和，故利用前前项和公式，分和进行讨论，可很快求出，或；（2）阶等差数列是递增数列，即公差，其和为0，故易知数列前面的项为负，后面的项为正，即前项为正，后项为正，因此有，，这两式用基本量或直接相减可求得，，因此通项公式可得；（3）（i）我们只要把数列中所有非负数项的和记为，所有负数项的记为，则，不可能比小，同样不可能比大，即，得证；（ii）若，则一定有，，且，若数列为n阶“期待数列”，设其前项和为，首先，而，，因此，即，，从而，于是，那么，矛盾出现了，故结论是否定的．
试题解析：（1）①若，由①得，，得，矛盾．-----------1分
若，则由①=0，得，-------------3分
由②得或．
所以，．数列的通项公式是
或------------------------------------4分
（2）设等差数列的公差为，>0．
∵，∴，∴，
∵>0，由得，，
由①、②得，，-----------6分
两式相减得，， ∴，
又，得，
∴数列的通项公式是．----9分
（ii）若存在，使，由前面的证明过程知：
且，-------------------------14分
如果是阶“期待数列”，
记数列的前项和为，
则由（i）知，，
，而，
，从而，，
又，
则，-------------------------16分
，
与不能同时成立，
所以，对于有穷数列，若存在使，则数列的和数列不能为阶“期待数列”． ----------------------18分
5.数列的首项为（），前项和为，且（）．设，（）．
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，若对任意，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，试求三个正数，，的一组值，使得为等比数列，且，，成等差数列．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【解析】
试题分析：（1）要求数列的通项公式，已知的是，这种条件的应用一般是把用代换得，然后两式相减就可把的递推关系转化为的递推关系，但要注意这个递推关系中一般不含有，必须另外说明与的关系；（2）时，，，那么不等式就是，请注意去绝对值符号的方法是两边平方，即等价于，这个二次的不等式对恒成立，变形为，然后我们分析此不等式发现，当时，不可能恒成立；时，不等式恒成立；当时，不等式变为，可分类（）分别求出的范围，最后取其交集即得；（3）考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当时，，，
，最后用分组求和法求出，
根据等比数列的通项公式的特征一定有，再加上三个正数，，成等差数列，可求出，，，这里考的就是计算，小心计算．
（2）当时，，，，
由，得， （*）
当时，时，（*）不成立；
当时，（*）等价于 （**）
时，（**）成立．
时，有，即恒成立，所以．
时，有，．时，有，．
综上，的取值范围是．
（3）当时，，，
，
所以，当时，数列是等比数列，所以
又因为，，成等差数列，所以，即，
解得．
从而，，．
所以，当，，时，数列为等比数列．
6.设项数均为（）的数列、、前项的和分别为、、. 已知集合=.
（1）已知，求数列的通项公式；
（2）若，试研究和时是否存在符合条件的数列对（，），并说明理由；
（3）若，对于固定的，求证：符合条件的数列对（，）有偶数对.
【答案】（1）；（2）时，数列、可以为（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，时，数列对（，）不存在.（3）证明见解析．
【解析】
试题分析：（1）这实质是已知数列的前项和，要求通项公式的问题，利用关系来解决；（2）时，可求出，再利用
=，可找到数列对（，）（注意结果不唯一），当时，由于，即，可以想象，若存在，则应该很大（体现在），研究发现（具体证明可利用二项展开式，
，注意到，展开式中至少有7项，故，下面证明这个式子大于，应该很好证明了），这不符合题意，故不存在；（3）可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的，即对于数列对（，），构造新数列对，（），则数列对（，）也满足题意，（要说明的是及=
且数列与，与不相同（用反证法，若相同，则，又，则有均为奇数，矛盾）．
（2），
时，
……………………6分
当时，，，，
=
数列、可以为（不唯一）：
6,12,16,14；2,8,10,4 ② 16,10,8,14；12,6,2,4 …………………8分
当时，


此时不存在. 故数列对（，）不存在. ………………………………10分
另证：
当时，
（3）令，（） …………………12分
又=，得
=
所以，数列对（，）与（，）成对出现。 ……………………16分
假设数列与相同，则由及，得，，均为奇数，矛盾！
故，符合条件的数列对（，）有偶数对。 ……………………18分
7.已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，
；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.
【答案】(1) 0或2；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）根据数列具有性质，为偶数，要，这时要求，必须讨论的奇偶性，分类讨论；（2）要证不等式，最好能求出，那么也就要求出数列的各项，那么我们根据数列定义，由为奇数，则为奇数，为偶数，接下来各项都是偶数，一起到某项为1，下面一项为0，以后全部为0．实际上项为1的项是第项（成等比数列），故可求；（3）由于是正整数，要证明从某一项开始，数列各项均为0，这提示我们可首先证明为非负（这可用数学归纳法加以证明），然后由于数列的关系，可见数列在出现0之前，是递减的，下面要考虑的是递减的速度而已．当为偶数时，；当为奇数时，，因此对所有正整数，都有，依此类推有，只要，则有．
试题解析：（1）∵为偶数，∴可设，故，
若为偶数，则，由成等差数列，可知，
即，解得，故； （2分）
若为奇数，则，由成等差数列，可知，
即，解得，故；
∴的值为0或2． （4分）
（2）∵是奇数，∴，
，，依此类推，
可知成等比数列，且有，
又，，，…
∴当时，；当时，都有． （3分）
故对于给定的，的最大值为
，所以． （6分）
（3）当为正整数时，必为非负整数．证明如下：
当时，由已知为正整数， 可知为非负整数，故结论成立；
假设当时，为非负整数，若，则；若为正偶数，
则必为正整数；若为正奇数，则必为非负整数．
【另法提示：先证“若为整数，且，则也为整数，且”，然后由是正整数，可知存在正整数，使得，由此推得，，及其以后的项均为０，可得当时，都有】