陕西省吴起高级中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（理）试题（能力卷）

绝密★启用前
吴起高级中学2017-2018学年第二学期第一次月考
高二数学试卷（理科能力卷）
考试范围：选修2-2第1、2、3章；考试时间：120分钟；命题人：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1、曲线在点处切线的倾斜角为(　)
A. B. C. D.
2、若函数，则的导数（ ）
A. B. C. D .
3、分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（　）
A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 等价条件
4、函数f(x)的图象如图所示，则的图像可能是（ ）
A.B.C.D.
5、已知函数，则有(　)
A. f(2)C. f(3)6、,则等于( )
A. 1 B. 0 C. 3 D.
7、用反证法证明命题“设为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是(　)
A. 方程没有实根 B. 方程至多有一实根
C. 方程至多有两实根 D. 方程恰好有两实根
8、点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
9、用数学归纳法证明“”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为(　)
A. 1 B. 1+2 C. D.
10、某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )
A. 21 B. 34 C. 52 D. 55
11、有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
12、已知函数，若对任意的， 在上总有唯一的零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13、观察分析下表中的数据:
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
正方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 。
14、已知函数，且在处的切线与直线垂直，则 。
15、如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n（n∈N*）行，在这些数中非1的数字之和是 。
16、不等式对任意实数恒成立，则实数k的最大值为 。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（本题满分10分，每小题5分）
已知曲线上一点，求：
点处的切线的斜率；
点处的切线方程．
（本题满分12分）
用数学归纳法证明：， =
（本题满分12分，其中第1小题5分，第2小题7分）
已知＝3是函数的一个极值点．
(1)求实数；
(2)求函数的单调区间．
（本题满分12分，其中第1小题4分，第2小题3分，第3小题5分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①； ②；
③； ④；
⑤
（1）从上述5个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）式的计算结果把该同学的发现推广为一个三角恒等式；
（3）证明(2)推广的这个结论.
（本题满分12分，其中第1小题7分，第2小题5分）
设函数，若在处有极值.
（1）求实数的值以及函数的极大、小值；
（2）若对于，存在满足-2成立，求实数的取值范围.
（本题满分12分，其中第1小题4分，第2小题8分）
设函数
（1）时,求的单调区间；
（2）当时，设的最小值为恒成立，求实数t的取值范围.
高二数学能力卷参考答案
一、选择题：BCAB ADAB DDAC
12【解析】 函数，可得，所以由
， 当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增， 在坐标系中画出和的图象， 对任意的， 在上总唯一的零点，可得，
可得，可得，即，故选C.
二、填空题：13．F+V-E=2 14．1 15. 16．e
【15题解析】观察可知,第 行中有个数,从左向右依次是二次项系数, ,故当时,除了1外, ,第行各数的和为
,又前行非1的数字之和为
【16题解析】不等式ex≥kx对任意实数x恒成立，即为
f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，由f（x）的导数为f′（x）=ex﹣k，
当k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）递增，无最大值；
当k＞0时，x＞lnk时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜lnk时f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=lnk处取得最小值，且为k﹣klnk，由k﹣klnk≥0，解得k≤e，即k的最大值为e。
（本题满分10分，每小题5分）
(1) ; (2) .
（本题满分12分）
（本题满分12分，其中第1小题5分，第2小题7分）
（1）因为f′(x)＝＋2－10，所以f′(3)＝＋6－10＝0，
因此a＝12 （2）由(1)知，f(x)＝12lnx＋x2－10x，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝，当f′(x)>0时，x∈(0,2)∪(3，＋∞)，当f′(x)<0时，x∈(2,3)。所以f(x)的单调增区间是(0,2)，(3，＋∞)；f(x)的单调减区间是(2,3)．
20．（本题满分12分，其中第1小题4分，第2小题3分，第3小题5分）
（1）解：选择②，．
（2）解：．
（3）证明：
21．（本题满分12分，其中第1小题7分，第2小题5分）
(1) ，极大值，极小值；(2) 或.
试题解析：(1) ，由已知得，解得.
所以， 则，令，解得，当，当，
当，所以在处取得极大值，极大值，在处取得极小值，极小值.
(2)由（1）可知极小值，，所以对，，要使存在有，即，解得或.
22．（本题满分12分，其中第1小题4分，第2小题8分）
（1） (2) ．
解析：（1），当时，， 解，。
(2)若，由得，由得，
所以函数的减区间为，增区间为；
，
因为，所以，
令，则恒成立。
由于，当时，，故函数在上是减函数，
所以成立；当时，若则，故函数在上是增函数，即对时，，与题意不符；综上，为所求。