19.3.1 矩形（1）同步练习
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19.3.1 矩形（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形,矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等,
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形的边AC为（ ）
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A. 4 B. 8 C. 4 EMBED Equation.DSMT4 D. 10
2．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=55°，则∠AED′=（ ）21·cn·jy·com
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A. 70° B. 55° C. 50° D. 65°
3．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数（ ）
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A. 30° B. 15° C. 45° D. 不能确定
4．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分
5．已知矩形一边的长为5，另一边的长为4，则它的对角线的长为（ ）
A. 3 B. EMBED Equation.DSMT4 C. 4 D. 2
6．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A. 19° B. 18° C. 20° D. 21°
7．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
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A. B. 5 C. 6 D.
8．如图，已知在矩形ABCD中，对角线A ( http: / / www.21cnjy.com )C，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是( )【版权所有：21教育】
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A. 18° B. 36° C. 45° D. 72°
二、填空题
9．如图，矩形ABCD中，E ( http: / / www.21cnjy.com )是BC的中点，矩形ABCD的周长是20 cm，AE＝5 cm，则AB的长为________ cm.
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10．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中 ( http: / / www.21cnjy.com )心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点恰好与点O重合，若BE=2，则折痕AE的长为______
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11．如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面积为24，那么四边形AnBnCnDn的面积为_____．
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12．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD，交BC于E， CAE=15°，则BOE=__________°．
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13．如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60″，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长_____．
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三、解答题
14．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.
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15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm．求矩形的面积．
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16．如图，在矩形ABCD中．点E在边AB上，∠CDE=∠DCE．
求证：AE=BE．
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17．如图，在矩形ABCD中，点E．点F在BC边上，且BE=CF，AF，DE交于点M．求证：
①△ABF≌△DCE
②AM=DM．
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18．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点．
（）求证：．
（）若，，，点是的中点，求的长．
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19. 如图，在四边形中， ， 、分别是、的中点．
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（）求证： ．
（）若，求的度数．
20．数学课堂探究性活动蔚然成风。张老师在课堂上设置一道习题：
(1)已知矩形ABCD和点 ( http: / / www.21cnjy.com )P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，探究PA2、PB2、PC2、PD2，之间的关系？直接写出结论，不必证明；
当P点在其它位置时，请同学们分组探究：
(2)当点P在矩形内部，如图2时，探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，并给予证明。
(3)当点P在矩形外部，如图3时，继续探完PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论直接写出来，不必证明。
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参考答案
1．B
【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )OA=OB，AC=2OA，因为∠AOB=60°，所以△OAB是等边三角形，所以OA=AB=4，所以AC=2×4=8，故选B.
2．A
【解析】∵四边形ABCD是矩形, ( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
∵沿EF折叠D到D',
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故选A.
点睛：此题考查了长方形的性质与折叠的性质.此题比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
3．B
【解析】试题解析：作EF⊥AB于F，则EF=BC，
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又∵AB=2BC，AE=AB，
∴AE=2EF，
∴∠EAF=30°，
∵AE=AB
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴∠EBC=90°-75°=15°．
故选：B．
4．B
【解析】试题解析：A、矩形每个角都是直角当然相等，故本选项不符合；
B、平行四边形中矩形特有的，故本选项符合；
C、平行四边形都具备，矩形是平行四边形，故本选项不符合；
D、平行四边形都具备，矩形是平行四边形，故本选项不符合；
故选B．
5．B
【解析】解：如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠ABC=90°．∵AB=4，BC=5，∴BD=AC===．故选B．2-1-c-n-j-y
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点睛：本题考查了矩形的性质、勾股定理．熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AC是解决问题的关键．
6．A
【解析】连接AC，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．
故选A.
点睛：本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等、对边平行是解题关键．
7．A
【解析】如图，过点P作PE⊥AO于点E，PF⊥OD于点F，连接OP，
∵在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，∠ABC=90°，
∴AC=BD=，S△AOD=S矩形ABCD=6×8=12，
∴AO=DO=5，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12，即OA·PE+OD·PF=12，
∴PE+PF=12，
∴PE+PF==4.8（cm）.
即点P到两条对角线AC于BD的距离之和为4.8cm.
故选A.
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点睛：本题解题的关键是：根据题意作 ( http: / / www.21cnjy.com )出PE⊥AO于点E，PF⊥OD于点F，连接OP，这样就借助于把△AOD的面积转化为△AOP和△DOP的面积来表达，就可求出PE+PF的值，从而得到本题答案了.
8．C
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠DAE：∠BAE=3：1，
∴∠BAE=×90°=22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=90°-22.5°=67.5°，
∴∠EAC=67.5°-22.5°=45°．
故选C
9．4
【解析】试题解析：设AB=x，则可得BC=10 x，
∵E是BC的中点，
∴
在Rt△ABE中, 即
解得：x=4.
即AB的长为4cm.
故答案为：4.
10．4
【解析】由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
设AB=AO=OC=x，
则有AC=2x，∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=x，
在Rt△OEC中，∠OCE=30°，
∴OE=EC，即BE=EC，
∵BE=2，
∴OE=2，EC=4，
则AE=4，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
11．
【解析】∵四边形A1B1C1D1是矩形,∴∠A1=∠B1=∠C1=∠D1=90°,A1B1=C1D1,B1C1=A1D1,
又∵各边中点是A2,B2,C2,D2,∴四边形A2B2C2D2的面积=S△A1A2D2+S△C2D1D2+S△C1B2C2+S△B1B2A2=A1D1 A1B1×4=矩形A1B1C1D1的面积,即四边形A2B2C2D2的面积=矩形A1B1C1D1的面积,同理,得:四边形A3B3C3D3=四边形A2B2C2D2的面积=矩形A1B1C1D1的面积,以此类推,四边形AnBnCnDn的面积=矩形A1B1C1D1的面积=,故答案为: .21*cnjy*com
12．75
【解析】因为AE平分BAD，所以∠BAE=45°，因为∠ABE=90°，所以∠AEB=45°，因为∠CAE=15°，所以∠OAB=60°，因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB，所以△OAB是等边三角形，所以∠OBA=60°，OB=BA，所以∠OBE=30°，OB=BE，所以∠BOE=∠BEO=×(180°-30°)=75°，故答案为75°.【出处：21教育名师】
13．1
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADO=60°，OA=AD，
在Rt△ADB中，AD=，
∵AE⊥BD，
∴OE=DE=OD=1．
故答案是：1.
14．证明见解析.
【解析】试题分析：要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
试题解析：证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE=CF．
15．S矩形=
【解析】试题分析：根据矩形性质得出∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，推出OA=OB，求出等边三角形AOB，求出OA=OB=AB=4cm，即可得出答案．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=4cm，
∴AC=2AO=8cm，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，AC=8cm，
由勾股定理得：AC=BC=4cm．
∴矩形ABCD面积=AB BC=4×4=16（cm2）．21教育网
16．证明见解析
【解析】试题分析：
因为∠CDE=∠DCE，所以ED=EC，则可用HL证明Rt△DAE≌Rt△CBE，从而得AE=BE.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴AE=BE．
17．见解析
【解析】整体分析：
①用SAS证明△ABF≌△DCE； ( http: / / www.21cnjy.com )（2）由△ABF≌△DCE得∠AFB=∠DEC，再结合AD∥BC，得∠MAD=∠MDA，用等角对等边证明MA=MD.www-2-1-cnjy-com
证明：①∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE+EF=EF+CF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
②∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠MAD，∠DEC=∠MDA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴MA=MD．
18．（）见解析（）
【解析】试题分析：
（1）由已知条件易证∠GAD=∠ADE=∠C ( http: / / www.21cnjy.com )ED，结合∠AGE=∠GAD+∠ADE，可得∠AGE=2∠CED，再结合∠AED=2∠CED即可得到∠AGE=∠AED，从而可得AE=AG；2·1·c·n·j·y
（2）如下图，连接GH，由（1）中结论可知AE=AG=，结合BE=2，在Rt△ABE中可求得AB=11，结合BF=1可求得AF=10，再结合G是DF的中点，H是AD的中点由三角形中位线定理即可求得GH=5.21*cnjy*com
试题解析：
（）∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∴ ，
又∵ 为中点，
∴ ，
∴ ，
∵∠AGE=∠GAD+∠ADE，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
．
（）连接，由（）知：=，
在中，，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是中点，是中点，
∴ ．
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19. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）首先由直接三角形的斜边上的中线的性质得出AM＝CM，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结论；21世纪教育网版权所有
（2）由直接三角形的斜边上 ( http: / / www.21cnjy.com )的中线的性质得出AM＝MD＝MC，利用三角形的内角和得出∠AMD＝180°－2∠ADM，∠CMD＝180°－2∠CDM，求得∠AMC，进一步利用等腰三角形的性质得出答案即可．21cnjy.com
试题解析：
（）证明：∵M为BD中点，
在Rt△ABD中，AM＝BD，
在Rt△BCD中，CM＝BD，
∴AM＝CM，
∴△AMC为等腰三角形，
∵N为AC中点，
∴MN⊥AC．
（）解：∵M是BD的中点，
∴MD＝BD，
∴AM＝DM，
∴∠AMD＝180°－2∠ADM，
同理∠CMD＝180°－2∠CDM，
∴∠AMC＝∠AMD＋∠CMD＝180°－2∠ADM＋180°－2∠CDM＝120°，
∵AM＝DM，
∴∠1＝∠2＝30°．
点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握图形的基本性质是解决问题的关键．www.21-cn-jy.com
20．（1）（2）（3）结论PA2+PC2=PB2+PD2，证明见解析
【解析】试题分析：（1）直接根据勾股定理即可得出结论；
（2）过点P作MN⊥AD ( http: / / www.21cnjy.com )于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA2，PC2，PB2，PD2，然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN，然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2．如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，易证．
试题解析：证明：（1）如图1中．在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABP中，AB2=AP2﹣BP2，Rt△PDC中，CD2=PD2﹣PC2．∵AB=CD，∴AP2﹣BP2=PD2﹣PC2，∴PA2+PC2=PB2+PD2；21教育名师原创作品
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（2）猜想：PA2+PC2=PB2+PD2．
如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N．
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在矩形ABCD中，∵AD∥BC，MN⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AD，∴MN⊥BC．在Rt△AMP中， PA2=PM2+MA2．在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2．在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2．在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2，∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2．∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，∴四边形MNCD是矩形，∴MD=NC，同理AM=BN，∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2，即PA2+PC2=PB2+PD2．
（3）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q．
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∵在矩形ABCD中，AD∥BC，P ( http: / / www.21cnjy.com )Q⊥BC，∴PQ⊥AD．∵在Rt△AOP中，PA2=AO2+PO2．在Rt△PQB中，PB2=PQ2+QB2．在Rt△POD中，PD2=DO2+PO2．在Rt△CQP中，PC2=PQ2+QC2，∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2，PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2．∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，∴四边形OQCD是矩形，∴OD=QC，同理AO=BQ，∴PA2+PC2=PB2+PD2．【来源：21·世纪·教育·网】
点睛：本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
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19.3.1 矩形（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形,矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等,
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，矩形ABCD对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形的边AC为（ ）
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A. 4 B. 8 C. 4 EMBED Equation.DSMT4 D. 10
2．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB=55°，则∠AED′=（ ）21·cn·jy·com
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A. 70° B. 55° C. 50° D. 65°
3．如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC的度数（ ）
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A. 30° B. 15° C. 45° D. 不能确定
4．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分
5．已知矩形一边的长为5，另一边的长为4，则它的对角线的长为（ ）
A. 3 B. EMBED Equation.DSMT4 C. 4 D. 2
6．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=38°，则∠E的值是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A. 19° B. 18° C. 20° D. 21°
7．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
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A. B. 5 C. 6 D.
8．如图，已知在矩形ABCD中，对角线A ( http: / / www.21cnjy.com )C，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是( )【版权所有：21教育】
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A. 18° B. 36° C. 45° D. 72°
二、填空题
9．如图，矩形ABCD中，E ( http: / / www.21cnjy.com )是BC的中点，矩形ABCD的周长是20 cm，AE＝5 cm，则AB的长为________ cm.
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10．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中 ( http: / / www.21cnjy.com )心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点恰好与点O重合，若BE=2，则折痕AE的长为______
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11．如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面积为24，那么四边形AnBnCnDn的面积为_____．
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12．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD，交BC于E， CAE=15°，则BOE=__________°．
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13．如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，∠AOD=60″，AB=2，AE⊥BD 于点E，则OE长_____．
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三、解答题
14．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.
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15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOD=120°，AB=4cm．求矩形的面积．
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16．如图，在矩形ABCD中．点E在边AB上，∠CDE=∠DCE．
求证：AE=BE．
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17．如图，在矩形ABCD中，点E．点F在BC边上，且BE=CF，AF，DE交于点M．求证：
①△ABF≌△DCE
②AM=DM．
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18．如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点．
（）求证：．
（）若，，，点是的中点，求的长．
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19. 如图，在四边形中， ， 、分别是、的中点．
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（）求证： ．
（）若，求的度数．
20．数学课堂探究性活动蔚然成风。张老师在课堂上设置一道习题：
(1)已知矩形ABCD和点 ( http: / / www.21cnjy.com )P，当点P在BC上任一位置（如图1所示）时，探究PA2、PB2、PC2、PD2，之间的关系？直接写出结论，不必证明；
当P点在其它位置时，请同学们分组探究：
(2)当点P在矩形内部，如图2时，探究PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论写出来，并给予证明。
(3)当点P在矩形外部，如图3时，继续探完PA2、PB2、PC2、PD2之间的数量关系，请你把探究出的结论直接写出来，不必证明。
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参考答案
1．B
【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )OA=OB，AC=2OA，因为∠AOB=60°，所以△OAB是等边三角形，所以OA=AB=4，所以AC=2×4=8，故选B.
2．A
【解析】∵四边形ABCD是矩形, ( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
∵沿EF折叠D到D',
( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ),
故选A.
点睛：此题考查了长方形的性质与折叠的性质.此题比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
3．B
【解析】试题解析：作EF⊥AB于F，则EF=BC，
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又∵AB=2BC，AE=AB，
∴AE=2EF，
∴∠EAF=30°，
∵AE=AB
∴∠ABE=∠AEB=75°，
∴∠EBC=90°-75°=15°．
故选：B．
4．B
【解析】试题解析：A、矩形每个角都是直角当然相等，故本选项不符合；
B、平行四边形中矩形特有的，故本选项符合；
C、平行四边形都具备，矩形是平行四边形，故本选项不符合；
D、平行四边形都具备，矩形是平行四边形，故本选项不符合；
故选B．
5．B
【解析】解：如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠ABC=90°．∵AB=4，BC=5，∴BD=AC===．故选B．2-1-c-n-j-y
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点睛：本题考查了矩形的性质、勾股定理．熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AC是解决问题的关键．
6．A
【解析】连接AC，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=60°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=38°，即∠E=19°．
故选A.
点睛：本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等、对边平行是解题关键．
7．A
【解析】如图，过点P作PE⊥AO于点E，PF⊥OD于点F，连接OP，
∵在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，∠ABC=90°，
∴AC=BD=，S△AOD=S矩形ABCD=6×8=12，
∴AO=DO=5，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12，即OA·PE+OD·PF=12，
∴PE+PF=12，
∴PE+PF==4.8（cm）.
即点P到两条对角线AC于BD的距离之和为4.8cm.
故选A.
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点睛：本题解题的关键是：根据题意作 ( http: / / www.21cnjy.com )出PE⊥AO于点E，PF⊥OD于点F，连接OP，这样就借助于把△AOD的面积转化为△AOP和△DOP的面积来表达，就可求出PE+PF的值，从而得到本题答案了.
8．C
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠DAE：∠BAE=3：1，
∴∠BAE=×90°=22.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=90°-22.5°=67.5°，
∴∠EAC=67.5°-22.5°=45°．
故选C
9．4
【解析】试题解析：设AB=x，则可得BC=10 x，
∵E是BC的中点，
∴
在Rt△ABE中, 即
解得：x=4.
即AB的长为4cm.
故答案为：4.
10．4
【解析】由题意得：AB=AO=CO，即AC=2AB，
且OE垂直平分AC，
∴AE=CE，
设AB=AO=OC=x，
则有AC=2x，∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=x，
在Rt△OEC中，∠OCE=30°，
∴OE=EC，即BE=EC，
∵BE=2，
∴OE=2，EC=4，
则AE=4，
故答案为：4.
【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
11．
【解析】∵四边形A1B1C1D1是矩形,∴∠A1=∠B1=∠C1=∠D1=90°,A1B1=C1D1,B1C1=A1D1,
又∵各边中点是A2,B2,C2,D2,∴四边形A2B2C2D2的面积=S△A1A2D2+S△C2D1D2+S△C1B2C2+S△B1B2A2=A1D1 A1B1×4=矩形A1B1C1D1的面积,即四边形A2B2C2D2的面积=矩形A1B1C1D1的面积,同理,得:四边形A3B3C3D3=四边形A2B2C2D2的面积=矩形A1B1C1D1的面积,以此类推,四边形AnBnCnDn的面积=矩形A1B1C1D1的面积=,故答案为: .21*cnjy*com
12．75
【解析】因为AE平分BAD，所以∠BAE=45°，因为∠ABE=90°，所以∠AEB=45°，因为∠CAE=15°，所以∠OAB=60°，因为四边形ABCD是矩形，所以OA=OB，所以△OAB是等边三角形，所以∠OBA=60°，OB=BA，所以∠OBE=30°，OB=BE，所以∠BOE=∠BEO=×(180°-30°)=75°，故答案为75°.【出处：21教育名师】
13．1
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADO=60°，OA=AD，
在Rt△ADB中，AD=，
∵AE⊥BD，
∴OE=DE=OD=1．
故答案是：1.
14．证明见解析.
【解析】试题分析：要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
试题解析：证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
又∵∠BOE=∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE=CF．
15．S矩形=
【解析】试题分析：根据矩形性质得出∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，推出OA=OB，求出等边三角形AOB，求出OA=OB=AB=4cm，即可得出答案．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=AB=4cm，
∴AC=2AO=8cm，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm，AC=8cm，
由勾股定理得：AC=BC=4cm．
∴矩形ABCD面积=AB BC=4×4=16（cm2）．21教育网
16．证明见解析
【解析】试题分析：
因为∠CDE=∠DCE，所以ED=EC，则可用HL证明Rt△DAE≌Rt△CBE，从而得AE=BE.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴AE=BE．
17．见解析
【解析】整体分析：
①用SAS证明△ABF≌△DCE； ( http: / / www.21cnjy.com )（2）由△ABF≌△DCE得∠AFB=∠DEC，再结合AD∥BC，得∠MAD=∠MDA，用等角对等边证明MA=MD.www-2-1-cnjy-com
证明：①∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE+EF=EF+CF，即BF=CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
②∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠MAD，∠DEC=∠MDA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴MA=MD．
18．（）见解析（）
【解析】试题分析：
（1）由已知条件易证∠GAD=∠ADE=∠C ( http: / / www.21cnjy.com )ED，结合∠AGE=∠GAD+∠ADE，可得∠AGE=2∠CED，再结合∠AED=2∠CED即可得到∠AGE=∠AED，从而可得AE=AG；2·1·c·n·j·y
（2）如下图，连接GH，由（1）中结论可知AE=AG=，结合BE=2，在Rt△ABE中可求得AB=11，结合BF=1可求得AF=10，再结合G是DF的中点，H是AD的中点由三角形中位线定理即可求得GH=5.21*cnjy*com
试题解析：
（）∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∴ ，
又∵ 为中点，
∴ ，
∴ ，
∵∠AGE=∠GAD+∠ADE，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
．
（）连接，由（）知：=，
在中，，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是中点，是中点，
∴ ．
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19. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）首先由直接三角形的斜边上的中线的性质得出AM＝CM，进一步利用等腰三角形的三线合一得出结论；21世纪教育网版权所有
（2）由直接三角形的斜边上 ( http: / / www.21cnjy.com )的中线的性质得出AM＝MD＝MC，利用三角形的内角和得出∠AMD＝180°－2∠ADM，∠CMD＝180°－2∠CDM，求得∠AMC，进一步利用等腰三角形的性质得出答案即可．21cnjy.com
试题解析：
（）证明：∵M为BD中点，
在Rt△ABD中，AM＝BD，
在Rt△BCD中，CM＝BD，
∴AM＝CM，
∴△AMC为等腰三角形，
∵N为AC中点，
∴MN⊥AC．
（）解：∵M是BD的中点，
∴MD＝BD，
∴AM＝DM，
∴∠AMD＝180°－2∠ADM，
同理∠CMD＝180°－2∠CDM，
∴∠AMC＝∠AMD＋∠CMD＝180°－2∠ADM＋180°－2∠CDM＝120°，
∵AM＝DM，
∴∠1＝∠2＝30°．
点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握图形的基本性质是解决问题的关键．www.21-cn-jy.com
20．（1）（2）（3）结论PA2+PC2=PB2+PD2，证明见解析
【解析】试题分析：（1）直接根据勾股定理即可得出结论；
（2）过点P作MN⊥AD ( http: / / www.21cnjy.com )于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA2，PC2，PB2，PD2，然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN，然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2．如图（3）方法同（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，易证．
试题解析：证明：（1）如图1中．在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABP中，AB2=AP2﹣BP2，Rt△PDC中，CD2=PD2﹣PC2．∵AB=CD，∴AP2﹣BP2=PD2﹣PC2，∴PA2+PC2=PB2+PD2；21教育名师原创作品
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（2）猜想：PA2+PC2=PB2+PD2．
如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N．
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在矩形ABCD中，∵AD∥BC，MN⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AD，∴MN⊥BC．在Rt△AMP中， PA2=PM2+MA2．在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2．在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2．在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2，∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2．∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，∴四边形MNCD是矩形，∴MD=NC，同理AM=BN，∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2，即PA2+PC2=PB2+PD2．
（3）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q．
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∵在矩形ABCD中，AD∥BC，P ( http: / / www.21cnjy.com )Q⊥BC，∴PQ⊥AD．∵在Rt△AOP中，PA2=AO2+PO2．在Rt△PQB中，PB2=PQ2+QB2．在Rt△POD中，PD2=DO2+PO2．在Rt△CQP中，PC2=PQ2+QC2，∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2，PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2．∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，∴四边形OQCD是矩形，∴OD=QC，同理AO=BQ，∴PA2+PC2=PB2+PD2．【来源：21·世纪·教育·网】
点睛：本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
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