19.3.1 矩形（2）同步练习
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19.3.1 矩形（2）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
矩形的判定
(１)有三个角是直角的四边形是矩形;
(２)有一个角为直角的平行四边形是矩形;
(３)对角线相等的平行四边形是矩形．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）www.21-cn-jy.com
A. AB=CD，AD=BC，AC=BD B. AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C. ∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D. ∠A=∠B=90°，AC=BD
2．在四边形ABCD中，对角线互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
3．下列命题中，假命题是（ ）
A. 有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
B. 有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
C. 有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
D. 有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
4．下列命题中错误的是（ ）
A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形
5．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（ ）
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A. 5 B. C. 6 D.
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，AC，BD ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是________；若AC＝5 cm，则BD＝________．【出处：21教育名师】
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7．给定下列命题：（1）对角线相等的四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________
8．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥D ( http: / / www.21cnjy.com )C，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ．（填上你认为正确的一个答案即可）
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9．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 ．【版权所有：21教育】
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三、解答题
10．如图，菱形中，对角线，交于点，，．
求证：四边形为矩形．
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11．如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．21教育名师原创作品
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12．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连结AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．21*cnjy*com
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13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=OC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请直接给出你的结论，不必证明．
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14．（8分）如图，平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动．
（1）四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；
（2）若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形？
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15．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连结AF，DE，DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
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16．如图，在△ABC中，O是AC ( http: / / www.21cnjy.com )上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
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参考答案
1．C
【解析】试题解析：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴A正确；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B正确；
∵∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴C不正确；
如图所示：
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在和中，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又 ∴四边形ABCD是矩形，
∴D正确；
故选：C.
2．A
【解析】∵在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴（1）当添加∠ABC=90°时，能使平行四边形ABCD是矩形；
（2）当添加AC⊥BD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；
（3）当添加AB=CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；
（4）当添加AB∥CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；
故选A.
3．C
【解析】利用矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可．
解：A、有一组对角是直角且一组对边平行即可得到两组对边平行或四个角均是直角，故此选项不符合题意；
B、有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意；21世纪教育网版权所有
C、有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是直角梯形，故此选项符合题意；
D、有两个内角是直角的且一组对边相 ( http: / / www.21cnjy.com )等可以得到其两组对边相等，所以能判定其是一个平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意．
故选C．
“点睛”本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决此类题目的关键．举反例往往是解决此类题目的重要的方法．21*cnjy*com
4．D
【解析】对角线相等的平行四边形才是矩形，故D错误．
5．B
【解析】 ( http: / / www.21cnjy.com )
过E作EG⊥CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵EG⊥CD，
∴∠EGD=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴AE=DG，EG=AD，
∴EG=AD=BC=7，MG=DG DM=3 2=1，
∵EF⊥FM，
∴△EFM为直角三角形，
∴在Rt△EGM中,
EM====.
故选B.
点睛：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识， ( http: / / www.21cnjy.com )过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG-DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM．21cnjy.com
6． 矩形 5cm
【解析】试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形。
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
7．（1）、（2）、（4）
【解析】（1）对角线相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形是矩形，则原命题错误；（2）对角相等的四边形是平行四边形，则原命题错误；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；（4）一个角为直角,两条对角线互相平分的四边形是矩形，则原命题错误；（5）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，所以错误的命题有（1）、（2）、（4），故答案为（1）、（2）、（4）.2-1-c-n-j-y
8．∠A=90°．
【解析】添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°．
【方法点睛】根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．
9．4.8
【解析】试题解析：∵AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
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当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP=，
∴EF的最小值为．
故答案为4.8．
点睛：此题考查了矩形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
10．证明见解析
【解析】试题分析：由已知的两组平行线可证得四边形OCED是平行四边形,根据菱形的对角线互相垂直可取得,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定OCED是矩形.【来源：21cnj*y.co*m】
证明：∵菱形，
∴，．
又∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵
∴四边形为矩形．
11．见解析
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可以证得AB与CD平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，再证得对角线相等即可证得．21教育网
试题解析：四边形ABCD是矩形，
理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，
∴EC=CD，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC=BE，BE=BD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
12．当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形，理由见解析
【解析】试题分析：当点O运动到AC的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．如图，由CE平分∠BCA可得∠1＝∠2，由MN∥BC可得∠1＝∠3，所以∠3＝∠2，所以 EO＝CO，
同理可证FO＝CO，所以EO＝FO，结 ( http: / / www.21cnjy.com )合OA＝OC可得四边形AECF是平行四边形，由CF是∠BCA的外角平分线可得∠4＝∠5，不难证明∠2＋∠4＝90°，所以平行四边形AECF是矩形．
试题解析：
当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．
证明：如图，∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，∴EO＝FO，
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4，
又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
点睛：掌握矩形的判定定理.
13．（1）详见解析；（2）若OD=OC，则四边形ABCD是矩形．
【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质证明∠DFO=∠BEO，由O为AC的中点和AE=CF，证明OE=OF，根据ASA即可证得；2·1·c·n·j·y
（2）根据全等三角形的性质，证明OB=OD，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得证．
（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）若OD=OC，则四边形ABCD是矩形．
理由是：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，OD=OC，
∴OA=OC= OB=OD，
∴四边形ABCD是矩形．
14．（1）是；（2）t=2或16﹣2=14
【解析】整体分析：
（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；（2）根据EF=BD=12，分两种情况列出关于t的方程求解.21·cn·jy·com
解：（1）是．
理由：在平行四边形ABCD中，则OD=OB，OA=OC，
∵E、F两点移动的速度相同，即AE=CF，
∴OE=OF，
又∵OD=OB
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）因为矩形对角线相等，所以当EF=12时，其为矩形，
即16-2t=12，或2t-16=12，
解得t=2或t=14.
所以当t=2或14时，四边形DEBF是矩形．
15．（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
试题解析：（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB AF=BF AE．
∴AE=．
16．（1）OE=OF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
【解析】整体分析：
（1）利用等角对等边分别判断OE=OC，OF=OC；（2）先判断四边形AECF是平行四边形，再证明∠ECF=90°.【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）OE=OF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，
∴∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．
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19.3.1 矩形（2）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
矩形的判定
(１)有三个角是直角的四边形是矩形;
(２)有一个角为直角的平行四边形是矩形;
(３)对角线相等的平行四边形是矩形．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）www.21-cn-jy.com
A. AB=CD，AD=BC，AC=BD B. AO=CO，BO=DO，∠A=90°
C. ∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D. ∠A=∠B=90°，AC=BD
2．在四边形ABCD中，对角线互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
3．下列命题中，假命题是（ ）
A. 有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
B. 有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
C. 有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形
D. 有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形
4．下列命题中错误的是（ ）
A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是矩形
5．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（ ）
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A. 5 B. C. 6 D.
二、填空题
6．如图，在四边形ABCD中，AC，BD ( http: / / www.21cnjy.com )相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是________；若AC＝5 cm，则BD＝________．【出处：21教育名师】
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7．给定下列命题：（1）对角线相等的四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )是矩形；（2）对角相等的四边形是矩形；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（4）一个角为直角,两条对角线相等的四边形是矩形；（5）对角线相等的平行四边形是矩形；其中不正确的命题的序号是____________
8．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥D ( http: / / www.21cnjy.com )C，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ．（填上你认为正确的一个答案即可）
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9．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为 ．【版权所有：21教育】
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三、解答题
10．如图，菱形中，对角线，交于点，，．
求证：四边形为矩形．
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11．如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．21教育名师原创作品
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12．如图，在△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连结AE、AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．21*cnjy*com
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13．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OD=OC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请直接给出你的结论，不必证明．
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14．（8分）如图，平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，对角线AC、BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，分别从A、C两点以相同的速度1cm/s向C、A运动．
（1）四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由；
（2）若BD=12cm，AC=16cm，当运动时间t为何值时，四边形DEBF是矩形？
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15．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F使CF＝BE，连结AF，DE，DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
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16．如图，在△ABC中，O是AC ( http: / / www.21cnjy.com )上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
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参考答案
1．C
【解析】试题解析：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴A正确；
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又，
∴四边形ABCD是矩形，
∴B正确；
∵∠A=∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴C不正确；
如图所示：
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在和中，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又 ∴四边形ABCD是矩形，
∴D正确；
故选：C.
2．A
【解析】∵在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴（1）当添加∠ABC=90°时，能使平行四边形ABCD是矩形；
（2）当添加AC⊥BD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；
（3）当添加AB=CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；
（4）当添加AB∥CD时，不能使平行四边形ABCD是矩形；
故选A.
3．C
【解析】利用矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可．
解：A、有一组对角是直角且一组对边平行即可得到两组对边平行或四个角均是直角，故此选项不符合题意；
B、有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意；21世纪教育网版权所有
C、有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是直角梯形，故此选项符合题意；
D、有两个内角是直角的且一组对边相 ( http: / / www.21cnjy.com )等可以得到其两组对边相等，所以能判定其是一个平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意．
故选C．
“点睛”本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决此类题目的关键．举反例往往是解决此类题目的重要的方法．21*cnjy*com
4．D
【解析】对角线相等的平行四边形才是矩形，故D错误．
5．B
【解析】 ( http: / / www.21cnjy.com )
过E作EG⊥CD于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
又∵EG⊥CD，
∴∠EGD=90°，
∴四边形AEGD是矩形，
∴AE=DG，EG=AD，
∴EG=AD=BC=7，MG=DG DM=3 2=1，
∵EF⊥FM，
∴△EFM为直角三角形，
∴在Rt△EGM中,
EM====.
故选B.
点睛：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识， ( http: / / www.21cnjy.com )过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG-DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM．21cnjy.com
6． 矩形 5cm
【解析】试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形。
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
7．（1）、（2）、（4）
【解析】（1）对角线相等的 ( http: / / www.21cnjy.com )平行四边形是矩形，则原命题错误；（2）对角相等的四边形是平行四边形，则原命题错误；（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确；（4）一个角为直角,两条对角线互相平分的四边形是矩形，则原命题错误；（5）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，所以错误的命题有（1）、（2）、（4），故答案为（1）、（2）、（4）.2-1-c-n-j-y
8．∠A=90°．
【解析】添加的条件是∠A=90°，
理由是：∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°．
【方法点睛】根据平行四边形的判定先推出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可得出答案．
9．4.8
【解析】试题解析：∵AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF为矩形，
连接AP，如图，EF=AP，当AP的值最小时，EF的值最小，
( http: / / www.21cnjy.com )
当AP⊥BC时，AP的值最，此时AP=，
∴EF的最小值为．
故答案为4.8．
点睛：此题考查了矩形的判 ( http: / / www.21cnjy.com )定与性质：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
10．证明见解析
【解析】试题分析：由已知的两组平行线可证得四边形OCED是平行四边形,根据菱形的对角线互相垂直可取得,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定OCED是矩形.【来源：21cnj*y.co*m】
证明：∵菱形，
∴，．
又∵，，
∴四边形为平行四边形，
又∵
∴四边形为矩形．
11．见解析
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可以证得AB与CD平行且相等，则四边形ABCD是平行四边形，再证得对角线相等即可证得．21教育网
试题解析：四边形ABCD是矩形，
理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，
∴EC=CD，
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC=BE，BE=BD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
12．当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形，理由见解析
【解析】试题分析：当点O运动到AC的中 ( http: / / www.21cnjy.com )点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．如图，由CE平分∠BCA可得∠1＝∠2，由MN∥BC可得∠1＝∠3，所以∠3＝∠2，所以 EO＝CO，
同理可证FO＝CO，所以EO＝FO，结 ( http: / / www.21cnjy.com )合OA＝OC可得四边形AECF是平行四边形，由CF是∠BCA的外角平分线可得∠4＝∠5，不难证明∠2＋∠4＝90°，所以平行四边形AECF是矩形．
试题解析：
当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时，四边形AECF是矩形．
证明：如图，∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，∴EO＝FO，
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4，
又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，∴∠2＋∠4＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
点睛：掌握矩形的判定定理.
13．（1）详见解析；（2）若OD=OC，则四边形ABCD是矩形．
【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质证明∠DFO=∠BEO，由O为AC的中点和AE=CF，证明OE=OF，根据ASA即可证得；2·1·c·n·j·y
（2）根据全等三角形的性质，证明OB=OD，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得证．
（1）证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，即OA=OC，AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；
（2）若OD=OC，则四边形ABCD是矩形．
理由是：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，OD=OC，
∴OA=OC= OB=OD，
∴四边形ABCD是矩形．
14．（1）是；（2）t=2或16﹣2=14
【解析】整体分析：
（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断；（2）根据EF=BD=12，分两种情况列出关于t的方程求解.21·cn·jy·com
解：（1）是．
理由：在平行四边形ABCD中，则OD=OB，OA=OC，
∵E、F两点移动的速度相同，即AE=CF，
∴OE=OF，
又∵OD=OB
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）因为矩形对角线相等，所以当EF=12时，其为矩形，
即16-2t=12，或2t-16=12，
解得t=2或t=14.
所以当t=2或14时，四边形DEBF是矩形．
15．（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
试题解析：（1）证明：∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．
即 EF=BC．
∵在 ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB AF=BF AE．
∴AE=．
16．（1）OE=OF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形
【解析】整体分析：
（1）利用等角对等边分别判断OE=OC，OF=OC；（2）先判断四边形AECF是平行四边形，再证明∠ECF=90°.【来源：21·世纪·教育·网】
解：（1）OE=OF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE，∠OCF=∠FCD，
∴∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF．
（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
∵AO=CO，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，
∴∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形．
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