１９.３.２菱形（1）同步练习
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１９.３.２菱形（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
菱形 (１)定义:有一组邻边 相等 的平行四边形叫做菱形．
(２)性质:①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对 角．
(３)菱形的面积:菱形的面积等于对角线乘积的 一半 ．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图18－Z－6，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为( ) 21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com ) 图18－Z－6
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（ ）
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A. cm B. cm C. cm D. cm
3．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A. 12m B. 20m C. 22m D. 24m
4．如果a表示一个菱形的对角线的平方和,b表示这个菱形的一边的平方,那么（ ）
A. a=4b B. a=2b C. a=b D. b=4a
5．若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BC的长是（ ）
A. 1cm B. cm C. 3cm D. 4cm
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（ ）
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A. 5cm B. 10cm C. 14cm D. 20cm
7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD的面积是（ ）
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A. 12 B. 36 C. 24 D. 60
8．已知菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则较短的对角线BD的长度为( )
A. 8 B. 2 C. 4 D. 4.5
二、填空题
9．9．如图，在菱形ABCD中， E、F分别是DB、DC的中点，若AB=10，则EF=______.
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10．已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD长分别为10cm、24cm，且AE⊥BC， AE= cm．
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11．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=8，BD=6，那么菱形的周长是____________。21教育网
12．如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的动点，且有∠EAF=∠D=60°，AB=8，则△CEF面积最大为 ．www.21-cn-jy.com
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13．如图,菱形ABCD的边长为20,∠ABC=60°，求对角线AC和BD的长(结果保留根号)．
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14．已知菱形ABCD的边长为6,∠A＝60 ,如果点Ｐ是菱形内一点,且PB=PD=,那么AP的长为___【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
15．如图，已知菱形ABCD中，DE⊥A ( http: / / www.21cnjy.com )B于点E，DE = 4cm，∠A =45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）21·世纪*教育网
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16．如图，菱形ABCD中，点M、N分别在BC、CD上，且CM=CN，求证：
(1)△ABM≌△AND；
(2)∠AMN＝∠ANM.
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17．如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
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18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）若四边形DBFE是菱形，∠A=65°，求∠B的度数．
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19．如图，在中， ,, 是由 绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点.
(1)求证: ;
(2)当四边形为菱形时，求的长.
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参考答案
1．C
【解析】试题解析：作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′,连接EF′交BD于点P.
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∴EP+FP=EP+F′P.
由两点之间线段最短可知：当E. P、F′在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F′P=EF′.21·cn·jy·com
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3.
∴EP+FP的最小值为3.
故选C.
2．B
【解析】试题解析：∵菱形ABCD的对角线
根据勾股定理，
设菱形的高为h，
则菱形的面积
即
解得
即菱形的高为cm．
故选B．
3．B
【解析】试题解析：连接AC，已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出 为正三角形，以的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是边长的，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为
故选B．
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4．A
【解析】设菱形的两条对角线分别为2m,2n ( http: / / www.21cnjy.com ),则a=(2m)2+(2n)2=4(m2+n2),则勾股定理得b=m2+n2，所以a=4b，故选A.2·1·c·n·j·y
5．B
【解析】如图,因为AE垂直平分BC于E,所以AB=BC=2BE,∠AEB=90°,所以AE=BE,则BE=,所以BC=,故选.www-2-1-cnjy-com
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6．D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，
OB=BD=×8=4cm，
根据勾股定理得，AB==5cm，
所以，这个菱形的周长=4×5=20cm，
故选D．
7．A
【解析】由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD，由勾股定理求出OB，得出BD的长，菱形ABCD的面积=AC×BD，即可得出结果． 21*cnjy*com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD，
∴OB==，
∴BD=2，
∴菱形ABCD的面积=AC×BD=×12×2=12.
故选A.
8．C
【解析】根据题意可知：菱形的边长为4，根据∠A=60°可得：较短的对角线与菱形的两边构成等边三角形，则BD的长度为4.2-1-c-n-j-y
故选C.
9．5
【解析】试题解析：由菱形的性质可知：BC=AB=10，
又∵E、F分别是DB、DC的中点，
∴ (三角形的中位线定理).
故答案为：5.
点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
10．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=10cm，BD=24cm，
∴∠BOC=90°，BO=12cm，OC=5cm，S菱形ABCD=AC·BD=120cm2，
∴BC=（cm），
∴AE=120×BC=120÷13=（cm）.
故答案为： .
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点睛：菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半.
11．20
【解析】解：解：菱形的对角线为6、8，菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20．故答案为：20．【来源：21cnj*y.co*m】
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点睛：本题考查了菱形面积的 ( http: / / www.21cnjy.com )计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．【出处：21教育名师】
12．
【解析】如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，且∠EAF=∠D=60°，
∴∠BAC=∠ACF=∠B=60°，AB=BC，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，△ABC是等边三角形，
∴∠BAE=∠CAF，AB=AC，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，S△ACF=S△ABE，
∴△CEF是等边三角形，S四边形AECF=S△ABC，
∴S△CEF=S△ABC-S△AEF，
∵AB=8，△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=，
∴当AE⊥BC，S△AEF的面积最小时，S△CEF最大，
∵当AE⊥BC时，AE=，
∴S△AEF最小=，
∴S△CEF最大=.
故答案为： .
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13．AC=20，BD=
【解析】试题分析:根据菱形的性质可得: AC⊥BD, ∠ABO=∠ABC=×60°=30°,再根据30度直角三角形的性质,30度所对直角边等于斜边的一半即可求解,再根据根据勾股定理计算.21教育名师原创作品
试题解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC=2AO,BD=2BO,∠ABO=∠ABC=×60°=30°,∴Rt△ABO中,AO=AB=×20=10m,∴BO=cm,∴AC=2AO=20m,
BD=2BO=.
14．或
【解析】连接BD，因为∠A=60°，AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以∠DAO=30°，DO=3，AO=，因为PB=PD=,所以点P在BD的垂直平分线上，由勾股定理得OP=，如图一，当点P在线段AO上时，AP=AO-PO==；如图二，当点P在线段OC上时，AP=AO+PO==，故答案为或.21*cnjy*com
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15．菱形ABCD的面积是22.7cm ，梯形DEBC的中位线长是3.7cm.
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=AB，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=4，
由勾股定理得，AD=，
∴AB=，
∴菱形ABCD的面积为DE×AB=4×=≈22.7cm ，
∵BE=-4，CD=AD=，
∴梯形DEBC的中位线长（-4+）÷2=-2≈3.7cm.
答：菱形ABCD的面积是22.7cm ，梯形DEBC的中位线长是3.7cm.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】整体分析：
（1）根据菱形的性质，用SAS证明△ABM≌△AND；（2）由（1）△ABM≌△AND得，AN=AM，根据等角对等边证明.【版权所有：21教育】
证明：⑴∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DC
又∵CM＝CN
∴BC－CM＝DC－CN即BM＝DN
∵AB＝AD，∠B＝∠D，BM＝DN
∴△ABM≌△ADN（SAS）
⑵∵△ABM≌△ADN
∴AM＝AN
∴∠AMN＝∠ANM
17．（1）证明见解析（2）等边三角形
【解析】试题分析：（1）由菱形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )的边长为2，BD=2，易得BD=BC，∠C=∠BDE=60°，又由AE+CF=2，易得DE=CF，则可证得：△BDE≌△BCF；
（2）由△BDE≌△BCF，易得BE=BF，∠EBF=60°，则可证得△BEF是等边三角形．
试题解析：（1）证明：∵菱形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的边长为2，BD=2，∴BC=BD=CD=AD=2，∴∠C=∠CDB=60°．∵∠BDE=∠BDC，∴∠BDE=∠C．∵AE+DE=AD=2，AE+CF=2，∴DE=CF．在△BDE和△BCF中，∵BD=BC，∠BDE=∠C，DE=CF，∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）解：等边三角形．理由如下：
∵△BDE≌△BCF，∴BE=BF ( http: / / www.21cnjy.com )，∠CBF=∠DBE．∵∠CBF+∠DBF=60°，∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°，∴△BEF是等边三角形．
点睛：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定．注意证得DE=CF，∠BDE=∠C是关键．
18．（1）证明见解析；（2）50°.
【解析】整体分析：
(1)由三角形的中位线定理得DE∥BC，结合 ( http: / / www.21cnjy.com )EF∥AB即可；(2)由四边形DBFE是菱形得DA=DE，求得∠ADE的度数，根据DE∥BC，证∠ADE=∠B.
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∵EF∥AB，
所以四边形DBFE是平行四边形；
(2)解：∵四边形DBFE是菱形，
∴DE=DB=DA，
∴∠A=∠AED，
∴∠ADE=180°-65°-65°=50°，
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，
∴∠B=50°.
19．（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）先 ( http: / / www.21cnjy.com )由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE-DE求解．
试题解析：（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE-DE=-1．
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１９.３.２菱形（1）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
菱形 (１)定义:有一组邻边 相等 的平行四边形叫做菱形．
(２)性质:①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对 角．
(３)菱形的面积:菱形的面积等于对角线乘积的 一半 ．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图18－Z－6，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为( ) 21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com ) 图18－Z－6
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8cm，BD=6cm，则菱形的高为（ ）
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A. cm B. cm C. cm D. cm
3．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分图形的周长为（ ）21世纪教育网版权所有
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A. 12m B. 20m C. 22m D. 24m
4．如果a表示一个菱形的对角线的平方和,b表示这个菱形的一边的平方,那么（ ）
A. a=4b B. a=2b C. a=b D. b=4a
5．若菱形ABCD中,AE垂直平分BC于E,AE=1cm,则BC的长是（ ）
A. 1cm B. cm C. 3cm D. 4cm
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长为（ ）
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A. 5cm B. 10cm C. 14cm D. 20cm
7．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC=12，AB=7，则菱形ABCD的面积是（ ）
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A. 12 B. 36 C. 24 D. 60
8．已知菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则较短的对角线BD的长度为( )
A. 8 B. 2 C. 4 D. 4.5
二、填空题
9．9．如图，在菱形ABCD中， E、F分别是DB、DC的中点，若AB=10，则EF=______.
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10．已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD长分别为10cm、24cm，且AE⊥BC， AE= cm．
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11．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=8，BD=6，那么菱形的周长是____________。21教育网
12．如图，点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的动点，且有∠EAF=∠D=60°，AB=8，则△CEF面积最大为 ．www.21-cn-jy.com
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13．如图,菱形ABCD的边长为20,∠ABC=60°，求对角线AC和BD的长(结果保留根号)．
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14．已知菱形ABCD的边长为6,∠A＝60 ,如果点Ｐ是菱形内一点,且PB=PD=,那么AP的长为___【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
15．如图，已知菱形ABCD中，DE⊥A ( http: / / www.21cnjy.com )B于点E，DE = 4cm，∠A =45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）21·世纪*教育网
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16．如图，菱形ABCD中，点M、N分别在BC、CD上，且CM=CN，求证：
(1)△ABM≌△AND；
(2)∠AMN＝∠ANM.
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17．如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
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18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）若四边形DBFE是菱形，∠A=65°，求∠B的度数．
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19．如图，在中， ,, 是由 绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点.
(1)求证: ;
(2)当四边形为菱形时，求的长.
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参考答案
1．C
【解析】试题解析：作F点关于BD的对称点F′,则PF=PF′,连接EF′交BD于点P.
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∴EP+FP=EP+F′P.
由两点之间线段最短可知：当E. P、F′在一条直线上时,EP+FP的值最小,此时EP+FP=EP+F′P=EF′.21·cn·jy·com
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3,AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3.
∴EP+FP的最小值为3.
故选C.
2．B
【解析】试题解析：∵菱形ABCD的对角线
根据勾股定理，
设菱形的高为h，
则菱形的面积
即
解得
即菱形的高为cm．
故选B．
3．B
【解析】试题解析：连接AC，已知∠A=120°，ABCD为菱形，则∠B=60°，从而得出 为正三角形，以的顶点所组成的小三角形也是正三角形，所以正六边形的边长是边长的，则种花部分图形共有10条边，所以它的周长为
故选B．
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4．A
【解析】设菱形的两条对角线分别为2m,2n ( http: / / www.21cnjy.com ),则a=(2m)2+(2n)2=4(m2+n2),则勾股定理得b=m2+n2，所以a=4b，故选A.2·1·c·n·j·y
5．B
【解析】如图,因为AE垂直平分BC于E,所以AB=BC=2BE,∠AEB=90°,所以AE=BE,则BE=,所以BC=,故选.www-2-1-cnjy-com
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6．D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=×6=3cm，
OB=BD=×8=4cm，
根据勾股定理得，AB==5cm，
所以，这个菱形的周长=4×5=20cm，
故选D．
7．A
【解析】由菱形的性质得出AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD，由勾股定理求出OB，得出BD的长，菱形ABCD的面积=AC×BD，即可得出结果． 21*cnjy*com
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD，
∴OB==，
∴BD=2，
∴菱形ABCD的面积=AC×BD=×12×2=12.
故选A.
8．C
【解析】根据题意可知：菱形的边长为4，根据∠A=60°可得：较短的对角线与菱形的两边构成等边三角形，则BD的长度为4.2-1-c-n-j-y
故选C.
9．5
【解析】试题解析：由菱形的性质可知：BC=AB=10，
又∵E、F分别是DB、DC的中点，
∴ (三角形的中位线定理).
故答案为：5.
点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半.
10．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=10cm，BD=24cm，
∴∠BOC=90°，BO=12cm，OC=5cm，S菱形ABCD=AC·BD=120cm2，
∴BC=（cm），
∴AE=120×BC=120÷13=（cm）.
故答案为： .
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点睛：菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半.
11．20
【解析】解：解：菱形的对角线为6、8，菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=3，AO=OC=4，∴AB==5，故菱形的周长为20．故答案为：20．【来源：21cnj*y.co*m】
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点睛：本题考查了菱形面积的 ( http: / / www.21cnjy.com )计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．【出处：21教育名师】
12．
【解析】如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，且∠EAF=∠D=60°，
∴∠BAC=∠ACF=∠B=60°，AB=BC，
∴∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°，△ABC是等边三角形，
∴∠BAE=∠CAF，AB=AC，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，S△ACF=S△ABE，
∴△CEF是等边三角形，S四边形AECF=S△ABC，
∴S△CEF=S△ABC-S△AEF，
∵AB=8，△ABC是等边三角形，
∴S△ABC=，
∴当AE⊥BC，S△AEF的面积最小时，S△CEF最大，
∵当AE⊥BC时，AE=，
∴S△AEF最小=，
∴S△CEF最大=.
故答案为： .
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13．AC=20，BD=
【解析】试题分析:根据菱形的性质可得: AC⊥BD, ∠ABO=∠ABC=×60°=30°,再根据30度直角三角形的性质,30度所对直角边等于斜边的一半即可求解,再根据根据勾股定理计算.21教育名师原创作品
试题解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC=2AO,BD=2BO,∠ABO=∠ABC=×60°=30°,∴Rt△ABO中,AO=AB=×20=10m,∴BO=cm,∴AC=2AO=20m,
BD=2BO=.
14．或
【解析】连接BD，因为∠A=60°，AB=AD，所以△ABD是等边三角形，所以∠DAO=30°，DO=3，AO=，因为PB=PD=,所以点P在BD的垂直平分线上，由勾股定理得OP=，如图一，当点P在线段AO上时，AP=AO-PO==；如图二，当点P在线段OC上时，AP=AO+PO==，故答案为或.21*cnjy*com
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15．菱形ABCD的面积是22.7cm ，梯形DEBC的中位线长是3.7cm.
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=AB，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=4，
由勾股定理得，AD=，
∴AB=，
∴菱形ABCD的面积为DE×AB=4×=≈22.7cm ，
∵BE=-4，CD=AD=，
∴梯形DEBC的中位线长（-4+）÷2=-2≈3.7cm.
答：菱形ABCD的面积是22.7cm ，梯形DEBC的中位线长是3.7cm.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】整体分析：
（1）根据菱形的性质，用SAS证明△ABM≌△AND；（2）由（1）△ABM≌△AND得，AN=AM，根据等角对等边证明.【版权所有：21教育】
证明：⑴∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DC
又∵CM＝CN
∴BC－CM＝DC－CN即BM＝DN
∵AB＝AD，∠B＝∠D，BM＝DN
∴△ABM≌△ADN（SAS）
⑵∵△ABM≌△ADN
∴AM＝AN
∴∠AMN＝∠ANM
17．（1）证明见解析（2）等边三角形
【解析】试题分析：（1）由菱形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )的边长为2，BD=2，易得BD=BC，∠C=∠BDE=60°，又由AE+CF=2，易得DE=CF，则可证得：△BDE≌△BCF；
（2）由△BDE≌△BCF，易得BE=BF，∠EBF=60°，则可证得△BEF是等边三角形．
试题解析：（1）证明：∵菱形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D的边长为2，BD=2，∴BC=BD=CD=AD=2，∴∠C=∠CDB=60°．∵∠BDE=∠BDC，∴∠BDE=∠C．∵AE+DE=AD=2，AE+CF=2，∴DE=CF．在△BDE和△BCF中，∵BD=BC，∠BDE=∠C，DE=CF，∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）解：等边三角形．理由如下：
∵△BDE≌△BCF，∴BE=BF ( http: / / www.21cnjy.com )，∠CBF=∠DBE．∵∠CBF+∠DBF=60°，∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°，∴△BEF是等边三角形．
点睛：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定．注意证得DE=CF，∠BDE=∠C是关键．
18．（1）证明见解析；（2）50°.
【解析】整体分析：
(1)由三角形的中位线定理得DE∥BC，结合 ( http: / / www.21cnjy.com )EF∥AB即可；(2)由四边形DBFE是菱形得DA=DE，求得∠ADE的度数，根据DE∥BC，证∠ADE=∠B.
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∵EF∥AB，
所以四边形DBFE是平行四边形；
(2)解：∵四边形DBFE是菱形，
∴DE=DB=DA，
∴∠A=∠AED，
∴∠ADE=180°-65°-65°=50°，
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，
∴∠B=50°.
19．（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）先 ( http: / / www.21cnjy.com )由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE-DE求解．
试题解析：（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE-DE=-1．
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