１９.３.２ 菱形（2）同步练习
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１９.３.２ 菱形（2）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
菱形的判定
(１)定义判定:有一组 邻边相等 的平行四边形是菱形．
(２)定理判定:①四条边都相等的四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
基础知识和能力拓展精练
一 、选择题
在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（ ）
A．两条对角线相等 B．两条对角线相等且互相垂直
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线互相垂直平分
如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要 ( http: / / www.21cnjy.com )求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）
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A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，应添加的条件是（ ）21·cn·jy·com
A．AD∥BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AD=AB
如图，下列条件中，能使 ABCD成为菱形的是（ ）
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A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）21*cnjy*com
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A．∠ACB=60° B．∠B=60° C．AB=BC D．AC=BC
如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连接AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是（ ）【出处：21教育名师】
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A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=30°，BC=14cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒2cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1.5cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设点P、Q运动的时间为t秒，要使四边形BPQP′为菱形，则t的值为（ ）【版权所有：21教育】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．4 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分 ( http: / / www.21cnjy.com )别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．AB=AC B．∠BAC=90° C．∠BAC=120° D．∠BAC=150°
二 、填空题
如图在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= ，平行四边形CDEB为菱形．21教育名师原创作品
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如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 ．
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将两块全等的含30°角的三角尺如图1 ( http: / / www.21cnjy.com )摆放在一起，设较短直角边为1，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为 时，四边ABC1D1为矩形；当点B的移动距离为 时，四边形ABC1D1为菱形．
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如图，已知AD是△ABC的角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
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如图，在△ABC中，D、E分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．当△ABC满足条件 时，四边形DBFE是菱形．
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在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），C（0，﹣2），D（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 ．
三 、解答题
如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．
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已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．
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如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
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如图，点A．F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AC=DF，AB=DE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
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如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
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答案解析
一 、选择题
【考点】菱形的判定．
【分析】可根据菱形的判定方法来选择．
解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．
【考点】菱形的判定．
【分析】首先证明△AOE≌ ( http: / / www.21cnjy.com )△COF（ASA），可得AE=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．
解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
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∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
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【考点】菱形的判定；三角形中位线定理．
【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．
解：添加AC=BD．
如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ABC、△ACD的中位线，
∴EH=FG= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，EF=HG= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，
∴当AC=BD时，
EH=FG=FG=EF成立，
则四边形EFGH是菱形．
故选：B．
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【考点】菱形的判定．
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
解：A． ABCD中，本来就有AB=CD；故本选项错误；
B、 ABCD中本来就有AD=CB；故本选项错误；
C、 ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形；故本选项正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故本选项错误．21cnjy.com
故选：C．
【考点】菱形的判定；平移的性质．
【分析】首先根据平移的性质得出AC平行且等于DE，得出四边形ACDE为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC平行且等于DE，
∴四边形ACDE为平行四边形，
当EC=DE时，平行四边形ACED是菱形，
∵AC=DE，BC=CE，
∴AC=BC时，平行四边形ACED是菱形，
故选：D．
【考点】菱形的判定；矩形的性质．
【分析】求出四边形ABF ( http: / / www.21cnjy.com )E为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN为平行四边形，求出ME=MF，根据菱形的判定得出即可．21·世纪*教育网
解：连接EF．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵E，F分别为AD，BC中点，
∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，
∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥FD，即ME∥FN，
同理可证EN∥MF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，
∴ABFE为矩形，
∴AF，BE互相平分于M点，
∴ME=MF，
∴四边形EMFN为菱形．
故选：B．
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【考点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用菱形的性质得出BP=PQ，再利用等边三角形的判定方法得出△BPQ是等边三角形，进而利用BP=BQ求出即可．【来源：21cnj*y.co*m】
解：要使四边形BPQP′为菱形，则BP=PQ，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴当四边形BPQP′为菱形，此时△BPQ是等边三角形，
∴BP=QB，
设t秒时BP=BQ，
则2t=14﹣1.5t，
解得：t=4，
即t的值为4．
故选：B．
【考点】菱形的判定．
【分析】根据等边三角形性质得出BD=A ( http: / / www.21cnjy.com )B，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，求出∠DBE，证△DBE≌△ABC，推出DE=AC=AF，同理AD=EF得出平行四边形ADEF，根据菱形的判定判断即可．2-1-c-n-j-y
解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=∠CBA=60°﹣∠EBA，
在△DBE和△ABC中，
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∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE=AC，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF=AC，
∴AF=DE，
同理AD=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
当AB=AC时，∵AD=AB，AC=AF，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF是菱形，
故选：A．
二 、填空题
【考点】菱形的判定．
【分析】首先根据勾股定理求得AB=5； ( http: / / www.21cnjy.com )然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．
解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )AB OC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BC，
∴OC= ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AD=AB﹣2OB= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案是： ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】菱形的判定．
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
解：∵分别以A和B为圆心，大于 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC是菱形．
故答案为：菱形．
【考点】菱形的判定；矩形的判定；平移的性质．
【分析】当点B的移动距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )时，∠C1BB1=60°，则∠ABC1=90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC1D1为矩形；当点B的移动距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )时，D、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判定四边形ABC1D1为菱形．
解：如图：
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当四边形ABC1D是矩形时，∠B1BC1=90°﹣30°=60°，
∵B1C1=1，
∴BB1= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
当点B的移动距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )时，四边形ABC1D1为矩形；
当四边形ABC1D是菱形时，∠ABD1=∠C1BD1=30°，
∵B1C1=1，
∴BB1= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
当点B的移动距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )时，四边形ABC1D1为菱形．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
【考点】菱形的判定．
【分析】菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
解：由题意知，可添加：AB=AC．
则三角形是等腰三角形，
由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，
即点D是BC的中点，
∴DE，EF是三角形的中位线，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB=AC，
点E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE=AF，
∴平行四边形AEDF为菱形．
故答案为：AB=AC、∠B=∠C或AE=AF（答案不唯一）．
【考点】菱形的判定．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．
理由如下：∵D是AB的中点，
∴BD= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
∵AB=BC，
∴BD=DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
【考点】菱形的判定；坐标与图形性质．
【分析】由A（0，2），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），C（0，﹣2），D（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，即可判定四边形ABCD是菱形．21教育网
解：∵A（0，2），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），C（0，﹣2），D（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形．
故答案为：菱形．
三 、解答题
【考点】菱形的判定．
【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形；21*cnjy*com
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
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【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】四边形BFDE的形状是菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )，由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，OB=OD，易证得△OED≌△OFB，可得DE=BF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由EF⊥BD，即可证得四边形BEDF是菱形．
答：四边形BFDE的形状是菱形，
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴ BEDF是菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．
（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．
（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【考点】菱形的判定；平行四边形的判定．相似三角形的判定和性质
【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D， ( http: / / www.21cnjy.com )AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；21世纪教育网版权所有
（2）由四边形BCEF是菱形，连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．2·1·c·n·j·y
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△BAC和△EDF中 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BAC≌△EDF（SAS），
∴BC=EF，∠BCA=∠EFD，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是菱形，
∴CG=FG，BE⊥AC，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com )=10，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CG=3.6，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=7.2，
∴AF=AC﹣FC=10﹣7.2=2.8．
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【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形性质推出AD∥BC，得出∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，根据AAS证△AEO≌△CFO，推出OE=OF即可．www.21-cn-jy.com
证明：：四边形AECF的形状是菱形，
理由是：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，
∵EF过AC的中点O，
∴OA=OC，
在△AEO和△CFO中，
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∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵OA=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
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菱形的判定
(１)定义判定:有一组 邻边相等 的平行四边形是菱形．
(２)定理判定:①四条边都相等的四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
基础知识和能力拓展精练
一 、选择题
在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（ ）
A．两条对角线相等 B．两条对角线相等且互相垂直
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线互相垂直平分
如图，ABCD是一张平行四边形纸片，要 ( http: / / www.21cnjy.com )求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为（ ）
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A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
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A．AD∥BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AD=AB
如图，下列条件中，能使 ABCD成为菱形的是（ ）
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A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
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A．∠ACB=60° B．∠B=60° C．AB=BC D．AC=BC
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A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )A=30°，BC=14cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒2cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1.5cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′，设点P、Q运动的时间为t秒，要使四边形BPQP′为菱形，则t的值为（ ）【版权所有：21教育】
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．4 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
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A．AB=AC B．∠BAC=90° C．∠BAC=120° D．∠BAC=150°
二 、填空题
如图在Rt△ABC中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD= ，平行四边形CDEB为菱形．21教育名师原创作品
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如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是 ．
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将两块全等的含30°角的三角尺如图1 ( http: / / www.21cnjy.com )摆放在一起，设较短直角边为1，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为 时，四边ABC1D1为矩形；当点B的移动距离为 时，四边形ABC1D1为菱形．
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如图，已知AD是△ABC的角平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线，点E、F分别是边AC、AB的中点，连接DE、DF，要使四边形AEDF称为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
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如图，在△ABC中，D、E分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．当△ABC满足条件 时，四边形DBFE是菱形．
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在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），C（0，﹣2），D（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是 ．
三 、解答题
如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．
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已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．
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如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）求证：四边形ABFE是菱形．
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如图，点A．F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AC=DF，AB=DE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
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如图：在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，交AC于O点，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
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答案解析
一 、选择题
【考点】菱形的判定．
【分析】可根据菱形的判定方法来选择．
解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．
【考点】菱形的判定．
【分析】首先证明△AOE≌ ( http: / / www.21cnjy.com )△COF（ASA），可得AE=CF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出AECF是菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．
解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，
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∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．
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【考点】菱形的判定；三角形中位线定理．
【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．
解：添加AC=BD．
如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ABC、△ACD的中位线，
∴EH=FG= ( http: / / www.21cnjy.com )BD，EF=HG= ( http: / / www.21cnjy.com )AC，
∴当AC=BD时，
EH=FG=FG=EF成立，
则四边形EFGH是菱形．
故选：B．
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【考点】菱形的判定．
【分析】根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
解：A． ABCD中，本来就有AB=CD；故本选项错误；
B、 ABCD中本来就有AD=CB；故本选项错误；
C、 ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形；故本选项正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形；故本选项错误．21cnjy.com
故选：C．
【考点】菱形的判定；平移的性质．
【分析】首先根据平移的性质得出AC平行且等于DE，得出四边形ACDE为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．【来源：21·世纪·教育·网】
解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC平行且等于DE，
∴四边形ACDE为平行四边形，
当EC=DE时，平行四边形ACED是菱形，
∵AC=DE，BC=CE，
∴AC=BC时，平行四边形ACED是菱形，
故选：D．
【考点】菱形的判定；矩形的性质．
【分析】求出四边形ABF ( http: / / www.21cnjy.com )E为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，根据平行四边形的性质得出BE∥FD，即ME∥FN，同理可证EN∥MF，得出四边形EMFN为平行四边形，求出ME=MF，根据菱形的判定得出即可．21·世纪*教育网
解：连接EF．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵E，F分别为AD，BC中点，
∴AE∥BF，AE=BF，ED∥CF，DE=CF，
∴四边形ABFE为平行四边形，四边形BFDE为平行四边形，
∴BE∥FD，即ME∥FN，
同理可证EN∥MF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
∵四边形ABFE为平行四边形，∠ABC为直角，
∴ABFE为矩形，
∴AF，BE互相平分于M点，
∴ME=MF，
∴四边形EMFN为菱形．
故选：B．
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【考点】菱形的判定；翻折变换（折叠问题）．
【分析】利用菱形的性质得出BP=PQ，再利用等边三角形的判定方法得出△BPQ是等边三角形，进而利用BP=BQ求出即可．【来源：21cnj*y.co*m】
解：要使四边形BPQP′为菱形，则BP=PQ，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴当四边形BPQP′为菱形，此时△BPQ是等边三角形，
∴BP=QB，
设t秒时BP=BQ，
则2t=14﹣1.5t，
解得：t=4，
即t的值为4．
故选：B．
【考点】菱形的判定．
【分析】根据等边三角形性质得出BD=A ( http: / / www.21cnjy.com )B，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，求出∠DBE，证△DBE≌△ABC，推出DE=AC=AF，同理AD=EF得出平行四边形ADEF，根据菱形的判定判断即可．2-1-c-n-j-y
解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=∠CBA=60°﹣∠EBA，
在△DBE和△ABC中，
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∴△DBE≌△ABC（SAS），
∴DE=AC，
∵△AFC是等边三角形，
∴AF=AC，
∴AF=DE，
同理AD=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
当AB=AC时，∵AD=AB，AC=AF，
∴AD=AF，
∴四边形ADEF是菱形，
故选：A．
二 、填空题
【考点】菱形的判定．
【分析】首先根据勾股定理求得AB=5； ( http: / / www.21cnjy.com )然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD=OB，CD=CB；最后Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB的值，则AD=AB﹣2OB．
解：如图，连接CE交AB于点O．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=5（勾股定理）．
若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD=OB，CD=CB．
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )AB OC= ( http: / / www.21cnjy.com )AC BC，
∴OC= ( http: / / www.21cnjy.com )．
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AD=AB﹣2OB= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案是： ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】菱形的判定．
【分析】根据垂直平分线的画法得出四边形ADBC四边的关系进而得出四边形一定是菱形．
解：∵分别以A和B为圆心，大于 ( http: / / www.21cnjy.com )AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四边形ADBC是菱形．
故答案为：菱形．
【考点】菱形的判定；矩形的判定；平移的性质．
【分析】当点B的移动距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )时，∠C1BB1=60°，则∠ABC1=90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC1D1为矩形；当点B的移动距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )时，D、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判定四边形ABC1D1为菱形．
解：如图：
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当四边形ABC1D是矩形时，∠B1BC1=90°﹣30°=60°，
∵B1C1=1，
∴BB1= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
当点B的移动距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )时，四边形ABC1D1为矩形；
当四边形ABC1D是菱形时，∠ABD1=∠C1BD1=30°，
∵B1C1=1，
∴BB1= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
当点B的移动距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )时，四边形ABC1D1为菱形．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
【考点】菱形的判定．
【分析】菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
解：由题意知，可添加：AB=AC．
则三角形是等腰三角形，
由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，
即点D是BC的中点，
∴DE，EF是三角形的中位线，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AB=AC，
点E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE=AF，
∴平行四边形AEDF为菱形．
故答案为：AB=AC、∠B=∠C或AE=AF（答案不唯一）．
【考点】菱形的判定．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．
理由如下：∵D是AB的中点，
∴BD= ( http: / / www.21cnjy.com )AB，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC，
∵AB=BC，
∴BD=DE，
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
【考点】菱形的判定；坐标与图形性质．
【分析】由A（0，2），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），C（0，﹣2），D（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，即可判定四边形ABCD是菱形．21教育网
解：∵A（0，2），B（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），C（0，﹣2），D（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD是菱形．
故答案为：菱形．
三 、解答题
【考点】菱形的判定．
【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形；21*cnjy*com
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
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【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】四边形BFDE的形状是菱形 ( http: / / www.21cnjy.com )，由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，OB=OD，易证得△OED≌△OFB，可得DE=BF，即可证得四边形BEDF是平行四边形，又由EF⊥BD，即可证得四边形BEDF是菱形．
答：四边形BFDE的形状是菱形，
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，
∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB，
∴DE=BF，
又∵ED∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴ BEDF是菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．
（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．
（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAC=∠DAE=40°，
∴∠BAD=∠CAE=100°，
又∵AB=AC，
∴AB=AC=AD=AE，
在△ABD与△ACE中，
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∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，
∴∠BAE=∠BFE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【考点】菱形的判定；平行四边形的判定．相似三角形的判定和性质
【分析】（1）由AB=DE，∠A=∠D， ( http: / / www.21cnjy.com )AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；21世纪教育网版权所有
（2）由四边形BCEF是菱形，连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．2·1·c·n·j·y
（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
在△BAC和△EDF中 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BAC≌△EDF（SAS），
∴BC=EF，∠BCA=∠EFD，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是菱形，
∴CG=FG，BE⊥AC，
∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC= ( http: / / www.21cnjy.com )=10，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
即 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CG=3.6，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=7.2，
∴AF=AC﹣FC=10﹣7.2=2.8．
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【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形性质推出AD∥BC，得出∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，根据AAS证△AEO≌△CFO，推出OE=OF即可．www.21-cn-jy.com
证明：：四边形AECF的形状是菱形，
理由是：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，
∵EF过AC的中点O，
∴OA=OC，
在△AEO和△CFO中，
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∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵OA=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
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