１９.３.３ 正方形 同步练习
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１９.３.３ 正方形同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
２．有一个角是直角的菱形是正方形,一组邻边相等的矩形是正方形
基础知识和能力拓展精练
一 、选择题
菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所 ( http: / / www.21cnjy.com )在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）
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A．2 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．1
已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ）21*cnjy*com
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A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A．B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（ ）【出处：21教育名师】
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A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．12S B．10S C．9S D．8S
一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且 ( http: / / www.21cnjy.com )只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（ ）【版权所有：21教育】
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A．3 B．4 C．5 D．6
如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF＝．21cnjy.com
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF= ( http: / / www.21cnjy.com )AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（ ）个．21教育名师原创作品
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A．1 B．2 C．3 D．4
二 、填空题
如图，13个边长为1的小正方形，排列形式 ( http: / / www.21cnjy.com )如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．
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七巧板是我们祖先的一项卓 ( http: / / www.21cnjy.com )越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是 cm．21*cnjy*com
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如图为某城市部分街道示意图，四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m．
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如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 ．
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已知正方形ABCD，在这个正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到BC的距离是2，点P到CD的距离是4，则点P到DA的距离是 ．
三 、解答题
如图，在正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )是边 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点， ( http: / / www.21cnjy.com )是边 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，连结 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com ).
求证: ( http: / / www.21cnjy.com ).
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正方形的边长为2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），并写出另外三个顶点的坐标．www-2-1-cnjy-com
如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角.
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.
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如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．21·世纪*教育网
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已知，如图，O为正方形对角线的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．
（3）若DF2=8﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，求正方形ABCD的面积？
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答案解析
一 、选择题
【分析】对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质．21·cn·jy·com
解：A．不正确，菱形的对角线不相等；
B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；
C、正确，三者均具有此性质；
D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；
故选C．
【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，BM=1，
则在Rt△BMF中，
FM= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：B．
【分析】根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=4cm，
故选B．
【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案．
解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交
则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，
∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，
∴∠PAF=∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
而△NAP的面积是正方形的面积的 ( http: / / www.21cnjy.com )，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故选B．
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【分析】设AM=2a．B ( http: / / www.21cnjy.com )M=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．www.21-cn-jy.com
解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2EF，
∴2a=2b，
∴a=b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，
故选C．
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【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案．2·1·c·n·j·y
解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，
设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，
则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，
故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a=b+x，y﹣a+x+a=y+x，
故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，
故n的最小值是3．
故选：A．
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【分析】由折叠的性质推出结论后判定
解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，∴△ADG≌△FDG，∴①正确；
∵正方形边长12，∴BE＝EC＝EF＝6
设AG＝GF＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，
由勾股定理：EG2＝BE2＋BG2，即：(x＋6)2＝62＋(12－x)2，
解得：x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，∴②正确；
BE＝EF＝6，△BEF为等腰三角形，易知△GDE不是等腰三角形，∴③错误；
S△BEG＝ ( http: / / www.21cnjy.com )×6×8＝24，S△BEF＝ ( http: / / www.21cnjy.com ) S△BEG＝ ( http: / / www.21cnjy.com ) 24＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴④正确
故选C
【分析】根据已知和正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE=90°，
又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF= ( http: / / www.21cnjy.com )AF；故①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
在△ABM和△FBM中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABM≌△FBM（SAS），
∴AB=BF，故②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
在△BEF和△DFC中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
故④正确；
∴CF⊥DEP，
∵BE⊥DP，
∴CF∥BE；故③正确．
故选D．
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二 、填空题
【分析】直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案．
解：如图所示：所画正方形即为所求．
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【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长．
解：如图所示：图形1：边长分别是：16，8 ( http: / / www.21cnjy.com )，8 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形2：边长分别是：16，8 ( http: / / www.21cnjy.com )，8 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形3：边长分别是：8，4 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形4：边长是：4 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形5：边长分别是：8，4 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形6：边长分别是：4 ( http: / / www.21cnjy.com )，8；
图形7：边长分别是：8，8，8 ( http: / / www.21cnjy.com )；
∴凸六边形的周长=8+2×8 ( http: / / www.21cnjy.com )+8+4 ( http: / / www.21cnjy.com )×4=32 ( http: / / www.21cnjy.com )+16（cm）；
故答案为：32 ( http: / / www.21cnjy.com )+16．
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【分析】连接CG，由正方形的对称性， ( http: / / www.21cnjy.com )易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE．在矩形GECF中，EF=CG．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行 21世纪教育网版权所有
解：连接GC，
∵四边形ABCD为正方形，
所以AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDB=45°，GE⊥DC，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE=GE．
在△AGD和△GDC中，
( http: / / www.21cnjy.com )
∴△AGD≌△GDC
∴AG=CG
在矩形GECF中，EF=CG，
∴EF=AG．
∵BA+AD+DE+EF﹣BA﹣AG﹣GE
=AD=1500m．
∵小敏共走了3100m，
∴小聪行走的路程为3100+1500
=4600（m）
故答案为：4600
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【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴由勾股定理得：AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=10，
∴正方形的面积是10×10=100，
∵△AEB的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com )AE×BE= ( http: / / www.21cnjy.com )×6×8=24，
∴阴影部分的面积是100﹣24=76，
故答案是：76．
【分析】利用两平行直线之间的距离可 ( http: / / www.21cnjy.com )作作11∥AB，l2∥AB，且11和l2到AB的距离为1，作13∥BC，l4∥BC，且13和l4到BC的距离为2，如图，讨论：若P1F=4，则HF=4+1=5，所以MQ=AB=BC=HF=5，于是得到P1M=MQ﹣P1Q=3；同理可得P3M=7；若P2F=4，则HF=3，所以EN=AB=BC=HF=3，则P2E=EN﹣P2N=3﹣2=1；同理可得P4E=5．21教育网
解：如图，作11∥AB，l ( http: / / www.21cnjy.com )2∥AB，且11和l2到AB的距离为1，作13∥BC，l4∥BC，且13和l4到BC的距离为2，4条直线相交于P1，P2，P3，P4，2-1-c-n-j-y
若12到CD的距离为4，则P1F=4，
∵P1H=1，P1Q=2，
∴HF=4+1=5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴MQ=AB=BC=HF=5，
∴P1M=MQ﹣P1Q=5﹣2=3；
同理可得P3M=7，
若11到CD的距离为4，则P2F=4，
∵P2H=1，P1N=2，
∴HF=4﹣1=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴EN=AB=BC=HF=3，
∴P2E=EN﹣P2N=3﹣2=1；
同理可得P4E=5，
综上所述，点P到DA的距离为1或3或5或7．
故答案为1或3或5或7．
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三 、解答题
解： ( http: / / www.21cnjy.com )是正方形， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).
又 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】 先找到A（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），根据正方形的对称性，可知A点的对称点C的坐标，同样可得出B和D的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
解：建立坐标轴，使正方形的对称中心为原点，
则A（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），C（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），
那么B的坐标是（0， ( http: / / www.21cnjy.com )），
其对称点D的坐标是（0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）．
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【分析】（1）由图示得出∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；
（2）根据SAS证明△DAE与△ABF全等，利用全等三角形的性质即可证明．
解：⑴与∠AED相等的角有：∠BFA，∠GAD；
⑵选∠AED=∠BFA
证明：∵四边形中ABCD是正方形
∴∠DAE=∠B=90°，DA=AB
在Rt△DAE与Rt△ABF中
DA=AB
AF=DE
∴Rt△DAE≌Rt△ABF
∴∠AED=∠BFA
【分析】先取AB的中点H，连接EH，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．
证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF=90°，
∴∠2+∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH=BE，AH=CE，
∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
在△AHE和△ECF中，
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∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
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【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）首先证明△BDG≌△BGF，从而得到OG是△DBF的中位线，即可得出答案；
（3）设BC=x，则DC=x，BD= ( http: / / www.21cnjy.com )x，由△BGD≌△BGF，得出BF=BD，CF=（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）x，利用勾股定理DF2=DC2+CF2，解得x2=2，即正方形ABCD的面积是2．
解：（1）证明：在△BCE和△DCF中，
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∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）OG∥BF且OG= ( http: / / www.21cnjy.com )BF，
理由：如图，
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∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
在△BGD和△BGF中，
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∴△BGD≌△BGF（ASA），
∴DG=GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG∥BF且OG= ( http: / / www.21cnjy.com )BF；
（3）设BC=x，则DC=x，BD= ( http: / / www.21cnjy.com )x，由（2）知△BGD≌△BGF，
∴BF=BD，
∴CF=（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）x，
∵DF2=DC2+CF2，
∴x2+[（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）x]2=8﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得x2=2，
∴正方形ABCD的面积是2．
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１９.３.３ 正方形同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
２．有一个角是直角的菱形是正方形,一组邻边相等的矩形是正方形
基础知识和能力拓展精练
一 、选择题
菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所 ( http: / / www.21cnjy.com )在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（ ）
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A．2 B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．1
已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（ ）21*cnjy*com
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A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A．B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（ ）【出处：21教育名师】
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A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且 ( http: / / www.21cnjy.com )只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是（ ）【版权所有：21教育】
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如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF＝．21cnjy.com
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，正方形ABCD中，P为AB中点，BE⊥DP交DP延长线于E，连结AE，AF⊥AE交DP于F，连结BF，CF．下列结论：①EF= ( http: / / www.21cnjy.com )AF；②AB=FB；③CF∥BE；④EF=CF．其中正确的结论有（ ）个．21教育名师原创作品
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A．1 B．2 C．3 D．4
二 、填空题
如图，13个边长为1的小正方形，排列形式 ( http: / / www.21cnjy.com )如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．
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七巧板是我们祖先的一项卓 ( http: / / www.21cnjy.com )越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图1所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示），则该凸六边形的周长是 cm．21*cnjy*com
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如图为某城市部分街道示意图，四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为 m．
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如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 ．
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已知正方形ABCD，在这个正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到BC的距离是2，点P到CD的距离是4，则点P到DA的距离是 ．
三 、解答题
如图，在正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )是边 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点， ( http: / / www.21cnjy.com )是边 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，连结 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com ).
求证: ( http: / / www.21cnjy.com ).
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正方形的边长为2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），并写出另外三个顶点的坐标．www-2-1-cnjy-com
如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角.
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.
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如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．21·世纪*教育网
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已知，如图，O为正方形对角线的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF．
（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．
（3）若DF2=8﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，求正方形ABCD的面积？
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答案解析
一 、选择题
【分析】对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质．21·cn·jy·com
解：A．不正确，菱形的对角线不相等；
B、不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；
C、正确，三者均具有此性质；
D、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；
故选C．
【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．
解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，BM=1，
则在Rt△BMF中，
FM= ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：B．
【分析】根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=8cm，OA=OC，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=4cm，
故选B．
【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案．
解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交
则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，
∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，
∴∠PAF=∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
而△NAP的面积是正方形的面积的 ( http: / / www.21cnjy.com )，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．
故选B．
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【分析】设AM=2a．B ( http: / / www.21cnjy.com )M=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．www.21-cn-jy.com
解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2
由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，
∵AM=2EF，
∴2a=2b，
∴a=b，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S，
故选C．
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【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得出符合题意的答案．2·1·c·n·j·y
解：如图所示：设①的周长为：4x，③的周长为2y，④的周长为2b，即可得出①的边长以及③和④的邻边和，
设②的周长为：4a，则②的边长为a，可得③和④中都有一条边为a，
则③和④的另一条边长分别为：y﹣a，b﹣a，
故大矩形的边长分别为：b﹣a+x+a=b+x，y﹣a+x+a=y+x，
故大矩形的面积为：（b+x）（y+x），其中b，x，y都为已知数，
故n的最小值是3．
故选：A．
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【分析】由折叠的性质推出结论后判定
解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，∴△ADG≌△FDG，∴①正确；
∵正方形边长12，∴BE＝EC＝EF＝6
设AG＝GF＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，
由勾股定理：EG2＝BE2＋BG2，即：(x＋6)2＝62＋(12－x)2，
解得：x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，∴②正确；
BE＝EF＝6，△BEF为等腰三角形，易知△GDE不是等腰三角形，∴③错误；
S△BEG＝ ( http: / / www.21cnjy.com )×6×8＝24，S△BEF＝ ( http: / / www.21cnjy.com ) S△BEG＝ ( http: / / www.21cnjy.com ) 24＝ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴④正确
故选C
【分析】根据已知和正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形的性质推出∠EAB=∠DAF，∠EBA=∠ADP，AB=AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM=MF=EM=DF，证∠AMB=∠FMB，BM=BM，AM=MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC=∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可．
解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵BE⊥DP，
∴∠ABE+∠BPE=90°，
又∵∠ADF+∠APD=90°，∠BPE=∠APD，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF= ( http: / / www.21cnjy.com )AF；故①正确；
∴AE=AF，BE=DF，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
取EF的中点M，连接AM，
∴AM⊥EF，AM=EM=FM，
∴BE∥AM，
∵AP=BP，
∴AM=BE=DF，
∴∠EMB=∠EBM=45°，
∴∠AMB=90°+45°=135°=∠FMB，
在△ABM和△FBM中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ABM≌△FBM（SAS），
∴AB=BF，故②正确；
∴∠BAM=∠BFM，
∵∠BEF=90°，AM⊥EF，
∴∠BAM+∠APM=90°，∠EBF+∠EFB=90°，
∴∠APF=∠EBF，
∵AB∥CD，
∴∠APD=∠FDC，
∴∠EBF=∠FDC，
在△BEF和△DFC中，
( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△BEF≌△DFC（SAS），
∴CF=EF，∠DFC=∠FEB=90°，
故④正确；
∴CF⊥DEP，
∵BE⊥DP，
∴CF∥BE；故③正确．
故选D．
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二 、填空题
【分析】直接根据阴影部分面积得出正方形边长，进而得出答案．
解：如图所示：所画正方形即为所求．
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【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长．
解：如图所示：图形1：边长分别是：16，8 ( http: / / www.21cnjy.com )，8 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形2：边长分别是：16，8 ( http: / / www.21cnjy.com )，8 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形3：边长分别是：8，4 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形4：边长是：4 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形5：边长分别是：8，4 ( http: / / www.21cnjy.com )，4 ( http: / / www.21cnjy.com )；
图形6：边长分别是：4 ( http: / / www.21cnjy.com )，8；
图形7：边长分别是：8，8，8 ( http: / / www.21cnjy.com )；
∴凸六边形的周长=8+2×8 ( http: / / www.21cnjy.com )+8+4 ( http: / / www.21cnjy.com )×4=32 ( http: / / www.21cnjy.com )+16（cm）；
故答案为：32 ( http: / / www.21cnjy.com )+16．
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【分析】连接CG，由正方形的对称性， ( http: / / www.21cnjy.com )易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE．在矩形GECF中，EF=CG．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行 21世纪教育网版权所有
解：连接GC，
∵四边形ABCD为正方形，
所以AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDB=45°，GE⊥DC，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE=GE．
在△AGD和△GDC中，
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∴△AGD≌△GDC
∴AG=CG
在矩形GECF中，EF=CG，
∴EF=AG．
∵BA+AD+DE+EF﹣BA﹣AG﹣GE
=AD=1500m．
∵小敏共走了3100m，
∴小聪行走的路程为3100+1500
=4600（m）
故答案为：4600
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【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．
解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴由勾股定理得：AB= ( http: / / www.21cnjy.com )=10，
∴正方形的面积是10×10=100，
∵△AEB的面积是 ( http: / / www.21cnjy.com )AE×BE= ( http: / / www.21cnjy.com )×6×8=24，
∴阴影部分的面积是100﹣24=76，
故答案是：76．
【分析】利用两平行直线之间的距离可 ( http: / / www.21cnjy.com )作作11∥AB，l2∥AB，且11和l2到AB的距离为1，作13∥BC，l4∥BC，且13和l4到BC的距离为2，如图，讨论：若P1F=4，则HF=4+1=5，所以MQ=AB=BC=HF=5，于是得到P1M=MQ﹣P1Q=3；同理可得P3M=7；若P2F=4，则HF=3，所以EN=AB=BC=HF=3，则P2E=EN﹣P2N=3﹣2=1；同理可得P4E=5．21教育网
解：如图，作11∥AB，l ( http: / / www.21cnjy.com )2∥AB，且11和l2到AB的距离为1，作13∥BC，l4∥BC，且13和l4到BC的距离为2，4条直线相交于P1，P2，P3，P4，2-1-c-n-j-y
若12到CD的距离为4，则P1F=4，
∵P1H=1，P1Q=2，
∴HF=4+1=5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴MQ=AB=BC=HF=5，
∴P1M=MQ﹣P1Q=5﹣2=3；
同理可得P3M=7，
若11到CD的距离为4，则P2F=4，
∵P2H=1，P1N=2，
∴HF=4﹣1=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴EN=AB=BC=HF=3，
∴P2E=EN﹣P2N=3﹣2=1；
同理可得P4E=5，
综上所述，点P到DA的距离为1或3或5或7．
故答案为1或3或5或7．
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三 、解答题
解： ( http: / / www.21cnjy.com )是正方形， ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).
又 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
【分析】 先找到A（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），根据正方形的对称性，可知A点的对称点C的坐标，同样可得出B和D的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
解：建立坐标轴，使正方形的对称中心为原点，
则A（ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），C（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )，0），
那么B的坐标是（0， ( http: / / www.21cnjy.com )），
其对称点D的坐标是（0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）．
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【分析】（1）由图示得出∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；
（2）根据SAS证明△DAE与△ABF全等，利用全等三角形的性质即可证明．
解：⑴与∠AED相等的角有：∠BFA，∠GAD；
⑵选∠AED=∠BFA
证明：∵四边形中ABCD是正方形
∴∠DAE=∠B=90°，DA=AB
在Rt△DAE与Rt△ABF中
DA=AB
AF=DE
∴Rt△DAE≌Rt△ABF
∴∠AED=∠BFA
【分析】先取AB的中点H，连接EH，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．
证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF=90°，
∴∠2+∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH=BE，AH=CE，
∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
在△AHE和△ECF中，
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∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
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【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）首先证明△BDG≌△BGF，从而得到OG是△DBF的中位线，即可得出答案；
（3）设BC=x，则DC=x，BD= ( http: / / www.21cnjy.com )x，由△BGD≌△BGF，得出BF=BD，CF=（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）x，利用勾股定理DF2=DC2+CF2，解得x2=2，即正方形ABCD的面积是2．
解：（1）证明：在△BCE和△DCF中，
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∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）OG∥BF且OG= ( http: / / www.21cnjy.com )BF，
理由：如图，
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∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
在△BGD和△BGF中，
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∴△BGD≌△BGF（ASA），
∴DG=GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG∥BF且OG= ( http: / / www.21cnjy.com )BF；
（3）设BC=x，则DC=x，BD= ( http: / / www.21cnjy.com )x，由（2）知△BGD≌△BGF，
∴BF=BD，
∴CF=（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）x，
∵DF2=DC2+CF2，
∴x2+[（ ( http: / / www.21cnjy.com )﹣1）x]2=8﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得x2=2，
∴正方形ABCD的面积是2．
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