2017-2018学年高中数学人教A版必修五课件：第2章 数列 2.2 第1课时

(共30张PPT)
第 二 章
数　列
2.2　等差数列
第1课时　等差数列的概念与通项公式
自主预习学案
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从__________起，每一项与它的前一项的差等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．若公差d＝0，则这个数列为__________．
第2项　
同一个常数　
公差　
常数列　
2．等差数列的递推公式与通项公式
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有：
递推公式 通项公式
an－an－1＝d(n≥2) an＝____________
a1＋(n－1)d　
等差中项　
D　
C　
C　
[解析]　a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，
由－89＝－2n＋3，得n＝46．
1或2　
[解析]　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
又Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0．
互动探究学案
命题方向1　 等差数列的判断与证明
例题 1
[分析]　本题考察判断数列是否是等差数列，即判断an＋1－an(n∈N*)是否为同一个常数．
[解析]　(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，
∴数列{an}是等差数列．
(2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，
∴数列{an}不是等差数列．
『规律总结』　定义法是判定数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
[解析]　∵an＋1－an＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，
∴{an}是等差数列，其首项a1＝6×1－1＝5，公差为6．
命题方向2　 等差数列的证明
例题 2
[分析]　由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明．
『规律总结』　证明一个数列是等差数列常用的方法有：①利用定义法，即证an＋1－an＝常数；②利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1 (n≥2)．
命题方向3　 等差数列的通项公式
[分析]　根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，由条件可建立关于a1、d的二元一次方程组解出a1、d．
例题 3
『规律总结』　1．构成等差数列的基本量是a1和d，根据已知条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而求出通项公式an＝a1＋(n－1)d．
2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，应用an＝am＋(n－m)d较简便．
[解析]　∵a1＝2，d＝9－2＝7，
∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15．
∴100是这个数列的第15项．
对等差数列的定义理解不透致错　　
[错解]　因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，
所以a1＝10＋lg2，a2＝10＋2lg2，a3＝10＋3lg2，
所以a2－a1＝lg2，a3－a2＝lg2，则a2－a1＝a3－a2，故数列{an}为等差数列．
例题 4
[辨析]　错解中仅利用a2－a1＝a3－a2来证明数列{an}是等差数列导致错误．
[正解]　因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以an＋1＝10＋(n＋1)lg2．
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)
＝lg2(n∈N*)．所以数列{an}为等差数列．
[分析]　可用列举观察法求解；也可用变形构造法求解．
例题 5
A　
[解析]　∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，
∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，
∴数列{an}是公差为2的等差数列．
D　
[解析]　等差数列2,5,8,11，…的首项为2，公差为3，
∴通项公式an＝2＋3(n－1)＝3n－1．
令3n－1＝23，∴n＝8，故选D．
C　
[解析]　∵{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2，a3的等差中项为2，
∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1．