备考2018中考数学高频考点剖析
专题五 不等式（组）问题
考点扫描☆聚焦中考
不等式（组），是中考必考的内容之一，考查的知识点包括不等式的性质、一元一次不等式的解法、不等式组的解法及其实际应用，总体来看，难度系数低，以选择为主和数轴进行结合考查。也有少量的解析题。解析题主要以设计方案的方程或者函数问题为主。近几年来对不等式(组)考查很少单独命题，多数与其他考点相结合，且难度偏大，但在复习时要认真对待，尤其是优化方案是初中分类讨论思想的体现及培养学生能力的地方。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行对不等式及其不等式组问题的探讨：
（1）不等式性质的考查；
（2）一元一次不等式的解法；
（3）不等式组的解法及其应用．
考点剖析☆典型例题
例1若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．
【解答】解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；
B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；
D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
例2(1)(2017·丽水)若关于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，则m的取值范围是( )21cnjy.com
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
(2)若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为( )
A．m＞－ B．m≤ C．m＞ D．m≤－
【解析】(1)C；
(2)解不等式①得，x＜2m，解不等式②得，x＞2－m，∵不等式组有解，∴2m＞2－m，∴m＞.故选C.www.21-cn-jy.com
【解后感悟】(1)列出不等式是解题的关键；(2)本题是已知不等式组的解集求字母系数，是逆向思维问题，故先求出不等式组的解集，再根据已知解集，列关系式求字母系数．
例3【阅读理解题】
(2017·湖州)对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b＝2a－b.例如：5?2＝2×5－2＝8，(－3)?4＝2×(－3)－4＝－10.2·1·c·n·j·y
(1)若3?x＝－2011，求x的值；
(2)若x?3＜5，求x的取值范围．
【解析】 (1)根据新定义列出关于x的方程，2×3－x＝－2011，得x＝2017；(2)根据新定义列出关于x的一元一次不等式，2x－3＜5，得x＜4.【来源：21·世纪·教育·网】
【方法与对策】解答本题的关键是仔细阅读材料，理解例题的解题过程．这类题型复习时应注意给出方法和过程．21·世纪*教育网
考点过关☆专项突破
类型一 不等式的性质
1. (1)若x＞y，则下列式子中错误的是( )
A．x－3＞y－3 B.＞ C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y
(2)若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是( )
A．ac＞bc B．ab＞cb C．a＋c＞b＋c D．a＋b＞c＋b
(3)设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )21教育网
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
2.在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．www-2-1-cnjy-com
（1）写出a所满足的不等式；
（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？
类型二 一元一次不等式的解法及其应用
1. (1)(2016·绍兴)不等式>＋2的解是____________________．
(2)(2015·南京)解不等式2(x＋1)－1≥3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．
2．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 ．
3.（2017齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
类型三 不等式组的解法及其应用
1．解不等式组把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
2.（2017重庆B）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（ ）21世纪教育网版权所有
A．3 B．1 C．0 D．﹣3
3.（2017甘肃天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？21·cn·jy·com
备考2018中考数学高频考点剖析
专题五 不等式（组）问题
考点扫描☆聚焦中考
不等式（组），是中考必考的内容之一，考查的知识点包括不等式的性质、一元一次不等式的解法、不等式组的解法及其实际应用，总体来看，难度系数低，以选择为主和数轴进行结合考查。也有少量的解析题。解析题主要以设计方案的方程或者函数问题为主。近几年来对不等式(组)考查很少单独命题，多数与其他考点相结合，且难度偏大，但在复习时要认真对待，尤其是优化方案是初中分类讨论思想的体现及培养学生能力的地方。结合2017年全国各地中考的实例，我们从三方面进行对不等式及其不等式组问题的探讨：
（1）不等式性质的考查；
（2）一元一次不等式的解法；
（3）不等式组的解法及其应用．
考点剖析☆典型例题
例1若x+5＞0，则（ ）
A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．
【解答】解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；
B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；
C、根据＜﹣1得出x＜5，故本选项符合题意；
D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项不符合题意；
故选C．
【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．
例2(1)(2017·丽水)若关于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，则m的取值范围是( )21世纪教育网版权所有
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
(2)若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为( )
A．m＞－ B．m≤ C．m＞ D．m≤－
【解析】(1)C；
(2)解不等式①得，x＜2m，解不等式②得，x＞2－m，∵不等式组有解，∴2m＞2－m，∴m＞.故选C.2·1·c·n·j·y
【解后感悟】(1)列出不等式是解题的关键；(2)本题是已知不等式组的解集求字母系数，是逆向思维问题，故先求出不等式组的解集，再根据已知解集，列关系式求字母系数．
例3【阅读理解题】
(2017·湖州)对于任意实数a，b，定义关于“?”的一种运算如下：a?b＝2a－b.例如：5?2＝2×5－2＝8，(－3)?4＝2×(－3)－4＝－10.21·世纪*教育网
(1)若3?x＝－2011，求x的值；
(2)若x?3＜5，求x的取值范围．
【解析】 (1)根据新定义列出关于x的方程，2×3－x＝－2011，得x＝2017；(2)根据新定义列出关于x的一元一次不等式，2x－3＜5，得x＜4.www-2-1-cnjy-com
【方法与对策】解答本题的关键是仔细阅读材料，理解例题的解题过程．这类题型复习时应注意给出方法和过程．21教育名师原创作品
考点过关☆专项突破
类型一 不等式的性质
1. (1)若x＞y，则下列式子中错误的是( )
A．x－3＞y－3 B.＞ C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y
(2)若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是( )
A．ac＞bc B．ab＞cb C．a＋c＞b＋c D．a＋b＞c＋b
(3)设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )21教育网
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【解析】 (1)D；(2)B；(3)A
【解后感悟】将一个不等式两边同时加上(或减去)同一个数，不等号方向肯定不变；将一个不等式两边同时乘以(或除以)同一个不确定的数，则需要进行分类讨论．对于第(2)、(3)题渗透了数形结合的思想．21·cn·jy·com
2.在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴．【版权所有：21教育】
（1）写出a所满足的不等式；
（2）数﹣3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？
【答案】（1）﹣2＜a＜4，
（2）0所对应的点到B点的距离小于3．
解析：【解答】（1）根据题意得：|a﹣1|＜3，
得出﹣2＜a＜4，
（2）由（1）得：到点B的距离小于3的数在﹣2和4之间，
∴在﹣3，0，4三个数中，只有0所对应的点到B点的距离小于3．
【分析】根据数轴上两点之间的距离为这两个数差的绝对值，列出不等式并解出结果．
类型二 一元一次不等式的解法及其应用
1. (1)(2016·绍兴)不等式>＋2的解是____________________．
(2)(2015·南京)解不等式2(x＋1)－1≥3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．
【解析】(1)x>－3
(2)x≤－1.
2．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为 x≤2 ．
【答案】x≤2．
【分析】观察数轴得到不等式的解集都在2的左侧包括2，根据数轴表示数的方法得到不等式的解集为x≤2．
【解答】解：观察数轴可得该不等式的解集为x≤2．
故答案为：x≤2．
3.（2017齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（ ）
A．16个 B．17个 C．33个 D．34个
【答案】A
【分析】设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过3000元建立不等式求出其解即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：
80m+50（50﹣m）≤3000，
解得：m≤16，
∵m为整数，
∴m最大取16，
∴最多可以买16个篮球．
故选：A．
类型三 不等式组的解法及其应用
1．解不等式组把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
【解析】由①得：x≥－1，由②得：x＜3, 不等式组的解集为：－1≤x＜3.在数轴上表示为：.不等式组的非负整数解为2，1，0. www.21-cn-jy.com
【解后感悟】求不等式组的解集，不管组成这个不等式组的不等式有几个，都要先分别求解每一个不等式，再利用口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”或利用数轴求出它们的公共解集，还要确定其中的特殊解．注意不等式中整数解问题．
2.（2017重庆B）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所以满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．3 B．1 C．0 D．﹣3
【答案】A
【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出a≤3，再解分式方程+=2，根据分式方程有非负数解，得到a≥﹣2，进而得到满足条件的整数a的值之和．2-1-c-n-j-y
【解答】解：解不等式组，可得，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣≥﹣1，
∴a≤3，
解分式方程+=2，可得y=（a+2），
又∵分式方程有非负数解，
∴y≥0，
即（a+2）≥0，
解得a≥﹣2，
∴﹣2≤a≤3，
∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，2，3，
∴满足条件的整数a的值之和是3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．21cnjy.com
3.（2017甘肃天水）天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；21世纪教育网版权所有21*cnjy*com
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．【出处：21教育名师】
【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得
，
解得，
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得
，
解得：≤a≤，
因为a是整数，
所以a=6，7，8；
则（10﹣a）=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；
购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
