1.1二次函数同步检测
一、选择题：
1.给出下列函数中(y是x的函数):①y=-2x2+1;②y=2(x-1)2;③y=-x+1;④y=(x-1)2+2;⑤y=x2-4x+m;⑥y=-.其中二次函数有( )21cnjy.com
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
2.下列函数关系中,可以看作二次函数的是( )
A.多边形的对角线条数m与多边形的边数n之间的关系
B.正方体的体积V与棱长a之间的关系
C.直流电源条件下,电压和电阻的关系
D.圆的周长和圆的半径之间的关系
3.已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0),当x=1时y=1,则代数式1-a-b的值为( )
A.-3 B.-1 C.2 D.5
二、填空题：
4.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=.【来源：21·世纪·教育·网】
5.如图,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm,AC与MN在同一条直线上,开始时点A与点N重合.让△ABC以2 cm/s的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数关系式为 .?21·cn·jy·com
6.
山东寿光是全国“冬暖式蔬菜大棚”的发源地,也是中国最大的蔬菜生产基地.在冬天为了给蔬菜提供适宜的生长温度,需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图),则需要塑料布y(m2)与半径R(m)的函数关系式是 .(不考虑塑料布埋在土里的部分)?21世纪教育网版权所有
三、解答题：
7.一扇窗户的形状是矩形,中间有两个平行的横档把它分成三个全等的小矩形,用8 m长的木料制作这个窗户的窗框(包括中间的横档),设横档长为x m,求窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式及x的取值范围.21*cnjy*com
8.如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形,并解答有关问题:
(1)在第n个图中,每一横行共有 块瓷砖,每一竖列共有 块瓷砖.(均用含n的代数式表示)?www.21-cn-jy.com
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的n的函数关系式.(不要求写出自变量n的取值范围)2-1-c-n-j-y
(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求此时n的值.
(4)若黑瓷砖每块4元,白瓷砖每块3元,在问题(3)中,共需花多少元钱购买瓷砖?
(5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?
参考答案
1.B 根据二次函数的定义,知①②④⑤是二次函数,共4个.
2.A 选项A的关系式为m=n2-n;选项B中V=a3;选项C中U=IR;选项D中C=2πr.所以只有A符合二次函数关系式.21·世纪*教育网
3.B 把x=1,y=1代入解析式,得a+b-1=1,
即a+b=2,故1-a-b=-1.
4.a(1+x)2
5.y=(20-2t)2 重叠部分为等腰直角三角形,它的边长是(20-2t) cm,所以面积为y=(20-2t)2.
6.y=30πR+πR2 塑料布展开后为矩形和两个半圆,所以它的面积等于半圆的周长乘以30加上两个半圆的面积.www-2-1-cnjy-com
7.解:y=·x=-2x2+4x.由8-4x>0,得x<2,所以x的取值范围是08.解:(1)n+3 n+2
(2)y=(n+3)(n+2),即y=n2+5n+6.
(3)当y=506时,n2+5n+6=506,
即n2+5n-500=0,
解得n1=20,n2=-25(舍去).即n=20.
(4)白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,黑瓷砖块数是506-420=86.购买瓷砖共需86×4+420×3=1 604(元).21教育网
(5)若黑瓷砖与白瓷砖块数相等,
则n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1),化简为n2-3n-6=0,解得n1=,n2=(舍去).2·1·c·n·j·y
∵n的值不为正整数,
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
1.2.1二次函数的图象与性质同步检测
一、选择题:
1．下列各点在二次函数y＝4x2图象上的点是( )
A．(2，2) =B．(4，1) C．(1，4) D．(－1，－4)
3．二次函数y＝x2不具有的性质是( )
A．对称轴是y轴
B．开口向上
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．有最大值
8．下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是( )
A．y＝x B．y＝2x－1 C．y＝ D．y＝x2
9．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是( )2·1·c·n·j·y
A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③
10．已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在二次函数y＝2x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
11．等边三角形的面积y与边长x之间的函数关系的大致图象是( )
4．已知点E(a，h1)，点F(b，h2)是二次函数y＝x2的图象上不同的两个点，h1＝h2，则a，b的大小关系是( )21·世纪*教育网
A．a＝b B．a＝－b C．a＞b D．无法确定
5．二次函数y＝4x2的图象的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
6．下列四个二次函数：①y＝x2；②y＝2x2；③y＝x2；④y＝3x2，其中二次函数图象开口按从大到小的排列顺序是 .21教育网
7．画二次函数y＝x2的图象，并回答下列问题：
(1)当x＝6时，函数值y是多少？
(2)当y＝6时，x的值是多少？
(3)当x取何值时，y有最小值，最小值是多少？
(4)当x>0时，y随x的增大怎样变化？当x<0时呢？
12．已知二次函数y＝ax2的图象经过点P(1，4)，则该函数的开口方向是 .
13．已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．求：
(1)满足条件的m值；
(2)m为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
14．已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，请写出S与C之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．21世纪教育网版权所有
15．如图，函数y＝x＋6与y轴交于点M，与y＝x2交于点P、Q，求△POQ的面积．
16．如图，点P是二次函数y＝x2图象上第一象限内的一个点，点A的坐标为(3，0)．
(1)令点P的坐标为(x，y)，求△OPA的面积S与y的关系式；
(2)S是y的什么函数？S是x的什么函数？
参考答案
1．C
3.D
4.B
8.C
9.B
10.D
11.D
5.上 y轴 (0，0)
6.③①②④
7.图略．(1)当x＝6时，y＝×62＝54.(2)当y＝6时，x2＝6，解得x＝±2.(3)当x＝0时，y有最小值，最小值是0.(4)当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小．
12.向上
13.(1)m＝2或m＝－3.(2)当m＝2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为(0，0)，且当x>0时，y随x的增大而增大． 21cnjy.com
14.由题意，得S＝C2(C＞0)．图象略．
15.直线y＝x＋6与y轴的交点为M(0，6)，将y＝x＋6代入y＝x2，解得∴P(－2，4)，Q(3，9)．∴S△POQ＝S△POM＋S△QOM＝×6×2＋×6×3＝15. www.21-cn-jy.com
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16.(1)过点P作PB⊥OA于点B，则PB＝|y|，∵点P是抛物线y＝x2上第一象限内的点，∴y＞0，PB＝y.∴S＝PB·OA＝·y×3＝y(y＞0)．(2)∵S＝y (y>0)，∴S是y的正比例函数．∵y＝x2，∴S＝y＝x2(x>0)，∴S是x的二次函数．21·cn·jy·com
1.2.2二次函数的图象与性质同步检测
一、选择题：
1．下列各点：(－1，2)，(－1，－2)，(－2，－4)，(－2，4)，其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是 .2·1·c·n·j·y
2．下列二次函数中①y＝－3x2；②y＝x2；③y＝10x2；④y＝－x2.开口方向向下的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．两条抛物线y＝4x2与y＝－4x2在同一坐标系中，下列说法中不正确的是( )
A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．开口方向相反 D．都有最小值
4．下列关于二次函数y＝－x2的性质，正确的是( )
A．顶点为(0，－) B．对称轴是y轴
C．当y＝－时，x＝1 D．有最小值
5．已知y＝nxn2－2是二次函数，且有最大值，则n的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．n≠0
6．(毕节中考)抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
7．已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)在抛物线y＝－2x2上，且x1＞x2＞0，则下列结论中正确的是( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．以上都不对
8．二次函数y＝－x2的最大值是( )
A．x＝－ B．x＝0 C．y＝－ D．y＝0
9．已知点A(－1，y1)，B(－，y2)，C(－2，y3)在函数y＝－x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )21世纪教育网版权所有
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3
0．(长沙中考)函数y＝与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
二、填空题：
11．抛物线y＝ax2上一点A(m，n)，则点A关于对称轴对称的点B的坐标是 .
12．已知抛物线y＝(a－4)x2的图象有最高点，则a的取值范围是 .
三、画图与解答：
13．画二次函数y＝－x2的图象．
14．已知抛物线y＝kxk2＋k中，当x＞0时，y随x的增大而减小．
(1)求k的值；
(2)作出函数的图象．
15．已知二次函数y＝－x2.
(1)当x＝时，函数值y是多少？
(2)当y＝－8时，x的值是多少？
(3)当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时，随着x值的增大，y值如何变化？
(4)当x取何值时，y值最大，最大值是多少？
16．已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A(－1，－1)，求△OAB的面积．21教育网
参考答案
1．(－1，－2)
2.B
3.D
4.B
5.B
6.B
7.B
8.D
9.A
10.D
11.(－m，n)
12.a＜4
13.图略．
14.(1)∵抛物线y＝kxk2＋k中，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴解得k＝－2.∴函数的解析式为y＝－2x2.(2)图略． 21cnjy.com
15.(1)当x＝时，y＝－×()2＝－.(2)当y＝－8时，－x2＝－8，解得x＝±4.(3)当x<0时，随着x值的增大，y值逐渐增大；当x>0时，随着x值的增大，y值逐渐减小．(4)当x＝0时，y值最大，最大值是0. 21·cn·jy·com
挑战自我
16.∵点A(－1，－1)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，也在直线y＝kx－2上，∴－1＝a·(－1)2，－1＝k·(－1)－2，解得a＝－1，k＝－1.∴两函数的解析式分别为y＝－x2，y＝－x－2.由解得∴点B的坐标为(2，－4)．∵y＝－x－2与y轴交于点G，则G(0，－2)，∴S△OAB＝S△OAG＋S△OBG＝×(1＋2)×2＝3.www.21-cn-jy.com
1.2.3二次函数的图象与性质同步检测
一、选择题：
1．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1 C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2
2．将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
3．抛物线y＝－3(x＋6)2的对称轴是直线( )
A．y＝－6 B．y＝6 C．x＝－6 D．x＝6
4．已知抛物线的解析式为y＝5(x－2)2，则抛物线的顶点坐标是( )
A．(－2，0) B．(2，0) C．(－2，5) D．(2，5)
5．抛物线y＝2(x－3)2的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上
6．对于抛物线y＝(x＋4)2，下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝4；③顶点坐标为(－4，0)；④x＞－4时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．抛物线y＝－2(x－1) 2与抛物线y＝－2x2( )
A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点
二、填空题：
8．(1)抛物线y＝3(x－1)2的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；
(2)抛物线y＝－3(x－1)2的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
9．抛物线y＝－(x＋3)2，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小．21cnjy.com
10．抛物线y＝(x－1)2的开口 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线y＝x2向 平移 个单位得到的．21·cn·jy·com
11．已知A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝－2(x＋2)2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
12．若函数y＝a(x＋m)2的图象是由函数y＝5x2的图象向左平移个单位长度得到的，则a＝ ，m＝ .www-2-1-cnjy-com
13．二次函数y＝(x－2)2，当x＝ 时，y有最 值，这个值是 ．
14．某一抛物线和y＝－3x2的图象形状相同，对称轴平行于y轴，并且顶点坐标是(－1，0)，则此抛物线的解析式是 .2-1-c-n-j-y
三、解答
15．二次函数y＝－6(x＋3)2的图象是由y＝－6x2的图象经过怎样的平移得到的？
16．已知抛物线y＝2x2和y＝2(x－1)2，请至少写出两条它们的共同特征．
17．已知：抛物线y＝－(x＋1)2.
(1)写出抛物线的对称轴；
(2)完成下表；
x
…
－7
－5
－3
－1
1
3
5
…
y
…
－9
－4
－1
0
－1
－4
－9
…
(3)在下面的坐标系中描点画出抛物线的图象．
18．已知二次函数y＝2(x－1)2.
(1)当x＝2时，函数值y是多少？
(2)当y＝4时，x的值是多少？
(3)当x在什么范围内时，随着x值的增大，y值逐渐增大？当x在什么范围内时，随着x值的增大，y值逐渐减少？21世纪教育网版权所有
(4)这个函数有最大值还是最小值，最大值或最小值是多少？这时x的值是多少？
19．分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线y＝(x＋2)2和y＝(x－2)2？抛物线y＝(x＋2)2和y＝(x－2)2具有怎样的位置关系？2·1·c·n·j·y
20．已知一条抛物线y＝a(x－h)2的顶点与抛物线y＝－(x－2)2的顶点相同，且与直线y＝3x－13的交点A的横坐标为3.21·世纪*教育网
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)把这条抛物线向右平移4个单位后， 求所得的抛物线的表达式．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.B
5.C
6.B
7.A
8.(1)上 x＝1 (1，0) (2)下 x＝1 (1，0)
9.＜－3 ＞－3
10.向上 x＝1 (1，0) 右 1
11.y312.5
13.2 小 0
14.y＝－3(x＋1)2
15.向左平移3个单位．
16.答案不唯一，如：开口方向相同，开口大小相同，顶点均在x轴上等．
17.(1)抛物线的对称轴为直线x＝－1.(2)－7 －1 5 －4 －1 －1 －4 (3)如图
18.(1)当x＝2时，y＝2×(2－1)2＝2.(2)当y＝4时，2(x－1)2＝4，解得x＝1±.(3)当x>1时，随着x值的增大，y值逐渐增大；当x<1时，随着x值的增大，y值逐渐减小．(4)这个函数有最小值，最小值是0，这时x＝1. 21教育网
19.抛物线y＝(x＋2)2是由抛物线y＝x2向左平移2个单位得到的，抛物线y＝(x－2)2是抛物线y＝x2向右平移2个单位得到的；抛物线y＝(x＋2)2和y＝(x－2)2关于y轴对称．
20.(1)由题意可知：A(3，－4)．∵抛物线y＝a(x－h)2的顶点与抛物线y＝－(x－2)2的顶点相同，∴h＝2.由题意，把点A的坐标(3，－4)代入y＝a(x－2)2，得－4＝a(3－2)2.∴a＝－4.∴这条抛物线的表达式为y＝－4(x－2)2.(2)把抛物线y＝－4(x－2)2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为y＝－4(x－6)2.www.21-cn-jy.com
1.2.4二次函数的图象与性质同步检测
一、选择题：
1．若将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为( )
A．y＝(x＋2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋3 C．y＝(x＋2)2－3 D．y＝(x－2)2－3
2．抛物线y＝－3(x＋2)2－3可以由抛物线y＝－3x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A．先向左平移3个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位
3．若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
4．对于抛物线y＝－x2－3，下列说法错误的是( )
A．抛物线的开口向下
B．对称轴为直线x＝－3
C．顶点坐标为(0，－3)
D．抛物线y＝－x2－3与y＝(x＋1)2＋1开口大小相同
5．设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )
A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)
6．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
7．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是( )21教育网
A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
二、填空题：
8．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是 ．
9．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1 y2(填“＞”“＝”或“＜”)．2·1·c·n·j·y
三、解答题：
10．画出函数y＝(x－1)2－1的图象．
11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)．求该二次函数的解析式．21cnjy.com
12．已知二次函数y＝2(x－3)2－8.
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？
(3)当x取何值时，函数有最大值或最小值？并求出这个最大值或最小值；
(4)函数图象可由函数y＝2x2的图象经过怎样的平移得到？
13．已知二次函数的图象的顶点坐标为(－2，－3)，且图象经过点(－3，－2)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)画出这个函数的图象；
(3)x取什么值时，函数值y随x的增大而减小？
14．如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点．点P是x轴上的一个动点．www.21-cn-jy.com
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
参考答案
1．B
2.B
3.B
4.B
5.B
6.D
7.C
8.(2，5)
9.＞
10.图略．
11.∵二次函数图象的顶点为A(1，－4)，∴设二次函数解析式为y＝a(x－1)2－4.把点B(3，0)代入二次函数解析式，得0＝4a－4，解得a＝1.∴二次函数解析式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.
12.(1)抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，－8)．(2)当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小．(3)当x＝3时，y有最小值，最小值是－8.(4)该函数图象可由y＝2x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移8个单位得到． 21世纪教育网版权所有
13.(1)y＝(x＋2)2－3.(2)略．(3)x＜－2.
14.(1)∵抛物线顶点坐标为(1，4)，∴设y＝a(x－1)2＋4.由于抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4.解得a＝－1.∴解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.(2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE交x轴于点P，连接PB.设AE解析式为y＝kx＋b，则 解得∴yAE＝7x－3.当y＝0时，x＝.∴点P坐标为(，0)．21·cn·jy·com
1.2.5二次函数的图象与性质同步检测
一、选择题：
1．将二次函数y＝－x2＋2x＋1的右边进行配方，正确的结果是( )
A．y＝－(x＋2) 2－1 B．y＝－(x－2)2－1
C．y＝－(x＋2)2＋3 D．y＝－(x－2)2＋3
2．抛物线y＝x2－2x－3的对称轴和顶点坐标分别是( )
A．x＝1，(1，－4) B．x＝1，(1，4)
C．x＝－1，(－1，4) D．x＝－1，(－1，－4)
3．(临沂中考)要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是( )
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( )
A．最小值－3 B．最大值－3 C．最小值2 D．最大值2
5．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( )
A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
6．关于二次函数y＝－x2－2x＋1的图象的性质，下列说法中：①图象开口向下；②当x>－1 时，y随x增大而减小；③当x<－1时，y随x增大而增大；④函数有最大值．正确的个数有( )
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
7．抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值为( )21世纪教育网版权所有
A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0 C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝2
8．根据下表中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，可确定该函数图象的对称轴为( )21·cn·jy·com
x
－3
－2
0
1
5
y
－29
－15
1
3
－29
A.x＝－1 B.x＝0 C．x＝1 D．x＝1.5
二、填空题：
9．将y＝2x2－12x－12变为y＝a(x－m)2＋n的形式，则mn＝ ．
10．抛物线y＝x2－4x＋3向左平移2个单位长度后所得新的抛物线为 .
11．(怀化中考)二次函数y＝x2＋2x的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
三、解答题：
12．二次函数y＝x2＋bx＋3的图象经过点(3，0)．
(1)求b的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3)在所给坐标系中画出二次函数y＝x2＋bx＋3的图象．
13．当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．21教育网
14．求二次函数y＝－2x2＋3x＋1的最大值．
15．已知二次函数y＝－x2－x＋.
(1)画出这个函数的图象；
(2)根据图象，写出当y ＜ 0时，x的取值范围；
(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
16．(滨州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A、B的坐标，及△ABC的面积．
参考答案
1.D
2.A
3.D
4.B
5.A
6.D
7.B
8.C
9.－90
10.y＝x2－1
11.(－1，－1) x＝－1
12.(1)将(3，0)代入函数解析式，得9＋3b＋3＝0.解得b＝－4.(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴顶点坐标是(2，－1)，对称轴为直线x＝2.(3)如图． 21cnjy.com
13.①当k＝1时，函数为y＝－4x＋4，是一次函数(直线)，无最值；②当k＝2时，函数为y＝x2－4x＋3，为二次函数．此函数图象的开口向上，函数只有最小值而无最大值；③当k＝－1时，函数为y＝－2x2－4x＋6，为二次函数．此函数图象的开口向下，函数有最大值．因为y＝－2x2－4x＋6＝－2(x＋1)2＋8，所以当x＝－1时，函数有最大值，为8.www.21-cn-jy.com
14.y＝－2x2＋3x＋1＝－2[x2－x＋()2－()2]＋1＝－2(x－)2＋＋1＝－2(x－)2＋.顶点坐标为(，)，所以当x＝时，y取最大值. 2·1·c·n·j·y
15.(1)图略．(2)当y ＜ 0时，x的取值范围是x＜－3或x＞1.(3)平移后图象所对应的函数关系式为y＝－(x－2)2＋2(或写成y＝－x2＋2x)．【来源：21·世纪·教育·网】
挑战自我
16.(1)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.∴其函数的顶点C的坐标为(2，－1)．∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大．(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3.∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)；当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)．∴AB＝＝2.过点C作CD⊥x轴于D，S△ABC＝AB·CD＝×2×1＝1.21·世纪*教育网
1.3不共线三点确定二次函数的表达式同步检测
一、选择题
1.函数y=x2+2x+1写成y=a(x－h)2+k的形式是
A.y=(x－1)2+2 B.y=(x－1)2+
C.y=(x－1)2－3 D.y=(x+2)2－1
4.任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线y=2x2+n，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中
A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1)
2.抛物线y=－2x2－x+1的顶点在第_____象限
A.一 B.二 C.三 D.四
3.不论m取任何实数，抛物线y=a(x+m)2+m(a≠0)的顶点都
A.在y=x直线上 B.在直线y=－x上
C.在x轴上 D.在y轴上
6.下列说法错误的是
A.二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0
B.二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
C.在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小
D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
7.已知二次函数y=x2+(2k+1)x+k2－1的最小值是0，则k的值是
A. B.－ C. D.－
8.小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，(，y2)， (－3，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为 21教育网
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
二、填空题
11.函数y=x－2－3x2有最_____值为_____.
12.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.
9.抛物线y=(x+3)2的顶点坐标是______.
10.将抛物线y=3x2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.
13.二次函数y=mx2+2x+m－4m2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.
三、解答题
14.根据已知条件确定二次函数的表达式
（1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）；
（2）图象经过点（1，0），（3，0）和（0，9）；
（3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x=2。
15.(8分)请写出一个二次函数，此二次函数具备顶点在x轴上，且过点(0，1)两个条件，并说明你的理由.21世纪教育网版权所有
16.(10分)把抛物线y=－3(x－1)2向上平移k个单位，所得的抛物线与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，若x12+x22=，请你求出k的值.21cnjy.com
17.(10分)如图6是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.2·1·c·n·j·y
图6
18.(12分)有这样一道题：“已知二次函数y=ax2+bx+c图象过P(1，－4)，且有c=－3a，……求证这个二次函数的图象必过定点A(－1，0).”题中“……”部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.
(1)你能根据题中信息求这个二次函数表达式吗？若能，请求出；若不能，请说明理由.
(2)请你根据已有信息，在原题“……”处添上一个适当的条件，把原题补充完整.
参考答案
1、D
2、B
3、D
4、D
5、B
6、C
7、D
8、D
9、大 －；
10.y=2x2+8x+11；
11.(－3，0) ；
12.(0，3)；
13.(－4，－4)；
14.解：（1）依题可设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+3
又∵图象过点（3，6） ∴6=a(3-2)2+3 ∴a=3 ∴y=3(x-2)2+321·cn·jy·com
(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，依题有
a+b+c=0 a=3
9a+3b+c=0 解得 b=-12
0+0+c=9 c=9 ∴所求二次函数的表达式为y=3x2-12x+9
(3)依题可设二次函数的表达式为y=a(x-2)2+h
∵图象经过点（1，0），（0，-3）
∴ a(1-2)2+h=0 解得 a=-1
a(0-2)2+h=-3 h=1 ∴y=-(x-2)2+1www.21-cn-jy.com
15.y=x2+2x+1(不唯一).
∵=0,
∴抛物线顶点的纵坐标为0.
当x=0，y=1时符合要求.
16.解：把抛物线y=－3(x－1)2向上平移k个单位，所得的抛物线为y=－3(x－1)2+k.
当y=0即－3x2+6x－3+k=0时，
∵x1+x2=2，x1·x2=
∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=4+
解得k=.
17.解：正确.
抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例)
18.解：(1)依题意，能求出.
∴
y=x2－2x－3.
(2)添加条件：对称轴x=1(不唯一).
1.4二次函数与一元二次方程同步检测
一、选择题：
1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ）
A、－2 B、12 C、24 D、－2或24
2、已知二次函数（≠0）与一次函数（≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、或
3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系：①；②；③；④其中正确的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
4、设函数的图像如图所示，它与轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则的值为（ ）21教育网
A、或2 B、 C、1 D、2
二、填空题：
5、已知抛物线与轴交于两点A（，0），B（，0），且，则＝ 。
6、抛物线与轴的两交点坐标分别是A（，0），B（，0），且，则的值为 。21cnjy.com
7、若抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，且∠ACB＝90°，则＝ 。
8、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结论：①当时，；②当时，；③方程＝0有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是 （只填写顺号）。www.21-cn-jy.com
三、解答题：
9、已知二次函数（≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为，它的图像与轴交于两点A（，0），B（，0），且，。（1）求这个二次函数的解析式；2·1·c·n·j·y
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【来源：21·世纪·教育·网】
10、已知抛物线与轴交于点A（，0），B（，0）两点，与轴交于点C，且，，若点A关于轴的对称点是点D。21·世纪*教育网
（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；
（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式。21世纪教育网版权所有
11、已知抛物线交轴于点A（，0），B（，0）两点，交轴于点C，且，。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。21·cn·jy·com
参考答案
C
D
B
D
5、2；
6、；
7、3；
8、①③④
9、（1）；（2）存在，P（，－9）或（，－9）
10、（1）；（2）
11、（1）；
（2）当时∠APB为锐角，当或时∠APB为钝角。
1.5.1二次函数的应用同步检测
一、选择题：
1.给出下列函数中(y是x的函数):①y=-2x2+1;②y=2(x-1)2;③y=-x+1;④y=(x-1)2+2;⑤y=x2-4x+m;⑥y=-.其中二次函数有( )www-2-1-cnjy-com
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
2.下列函数关系中,可以看作二次函数的是( )
A.多边形的对角线条数m与多边形的边数n之间的关系
B.正方体的体积V与棱长a之间的关系
C.直流电源条件下,电压和电阻的关系
D.圆的周长和圆的半径之间的关系
3.已知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0),当x=1时y=1,则代数式1-a-b的值为( )
A.-3 B.-1
C.2 D.5
二、填空题：
4.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=.【来源：21·世纪·教育·网】
5.如图,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm,AC与MN在同一条直线上,开始时点A与点N重合.让△ABC以2 cm/s的速度向左运动,最终点A与点M重合,则重叠部分的面积y(cm2)与时间t(s)之间的函数关系式为 .?21·世纪*教育网
6.
山东寿光是全国“冬暖式蔬菜大棚”的发源地,也是中国最大的蔬菜生产基地.在冬天为了给蔬菜提供适宜的生长温度,需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图),则需要塑料布y(m2)与半径R(m)的函数关系式是 .(不考虑塑料布埋在土里的部分)?21教育网
三、计算与解答：
7.一扇窗户的形状是矩形,中间有两个平行的横档把它分成三个全等的小矩形,用8 m长的木料制作这个窗户的窗框(包括中间的横档),设横档长为x m,求窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式及x的取值范围.2-1-c-n-j-y
8.如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形,并解答有关问题:
(1)在第n个图中,每一横行共有 块瓷砖,每一竖列共有 块瓷砖.(均用含n的代数式表示)?21世纪教育网版权所有
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的n的函数关系式.(不要求写出自变量n的取值范围)21*cnjy*com
(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求此时n的值.
(4)若黑瓷砖每块4元,白瓷砖每块3元,在问题(3)中,共需花多少元钱购买瓷砖?
(5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算说明为什么?
参考答案
1.B 根据二次函数的定义,知①②④⑤是二次函数,共4个.
2.A 选项A的关系式为m=n2-n;选项B中V=a3;选项C中U=IR;选项D中C=2πr.所以只有A符合二次函数关系式.21·cn·jy·com
3.B 把x=1,y=1代入解析式,得a+b-1=1,
即a+b=2,故1-a-b=-1.
4.a(1+x)2
5.y=(20-2t)2 重叠部分为等腰直角三角形,它的边长是(20-2t) cm,所以面积为y=(20-2t)2.
6.y=30πR+πR2 塑料布展开后为矩形和两个半圆,所以它的面积等于半圆的周长乘以30加上两个半圆的面积.21cnjy.com
7.解:y=·x=-2x2+4x.由8-4x>0,得x<2,所以x的取值范围是08.解:(1)n+3 n+2
(2)y=(n+3)(n+2),即y=n2+5n+6.
(3)当y=506时,n2+5n+6=506,
即n2+5n-500=0,
解得n1=20,n2=-25(舍去).即n=20.
(4)白瓷砖块数是n(n+1)=20×(20+1)=420,黑瓷砖块数是506-420=86.购买瓷砖共需86×4+420×3=1 604(元).2·1·c·n·j·y
(5)若黑瓷砖与白瓷砖块数相等,
则n(n+1)=(n2+5n+6)-n(n+1),化简为n2-3n-6=0,解得n1=,n2=(舍去).www.21-cn-jy.com
∵n的值不为正整数,
∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形.
1.5.2二次函数的应用同步检测
一、选择题
1．如图2－109所示的抛物线的解析式是 ( )
A．y＝x2－x＋2 B．y=－x2－x＋2
C．y＝x2＋x＋2 D．y=－x2＋x＋2
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（ ）
A、y=x B、y=2x﹣1 C、y= D、y=x2
3 .如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（ ）
A、﹣1≤x≤3 B、x≤﹣1 C、x≥1 D、x≤﹣1或x≥3
4.将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A y=（x﹣1）2+2 B y=（x+1）2+2 C y=（x﹣1）2﹣2 D y=（x+1）2﹣2
5．如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（ ）21·cn·jy·com
A ①②④ B ③④ C ①③④ D ①②
二、填空题
6．如图2－110所示的是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a的值是 ．
7．已知抛物线y＝4x2－11x－3，则它的对称轴是 ，与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 .21·世纪*教育网
8．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为l，则b的值是 ．www-2-1-cnjy-com
9.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 元．【来源：21cnj*y.co*m】
10.如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（ ）．
三、解答题
11．用12米长的木料做成如图2－111所示的矩形窗框(包括中间的十字形)，当长、宽各为多少时，矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?21*cnjy*com
12．如图2－112所示，△ABC的面积为2400c m2，底边BC的长为80cm，若点D在BC上，点E在AC上，点F在AB上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝x cm，SBDEF=y cm2．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)当x为何值时，y最大?最大值是多少?
13．如图2 - 113所示，在ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B重合)，作EF⊥AB于F，延长FE与DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．
(1)求证△BEF∽△CEG；
(2)用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?
14．如图2－114所示，在边长为8cm的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1 cm／s的相同速度运动，过E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角边于H；过F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角边于G，连接HG，EB. 设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0)．若E到达C，F到达A，则停止运动．若E的运动时间为x s，解答下列问题．www.21-cn-jy.com
(1)当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2；2·1·c·n·j·y
(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图2－115为备用图)②求y的最大值．
15. （2014?湖北潜江仙桃，第25题12分）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．【出处：21教育名师】
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ=AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．【版权所有：21教育】
参考答案
1D
2.C
3.D
4.A
5.A
6．1[提示：抛物线开口向上，故a＞0．因为图象过原点，所以a2－1＝0，所以a＝±1，所以a＝1．]
7．x＝ (3，0), (－，0) (0，－3)
8．－3
9.25
10（10.5，﹣0.25）
11．解：设窗框的长为x米，则窗框的宽为米，矩形窗框的面积y＝x()＝－x2＋4x．配方得y＝－(x－2)2＋4．∵a=－l＜0，∴函数y＝－(x－2)2＋4有最大值．当x＝2时，y最大值＝4平方米，此时＝4－2＝2(米)，即当长、宽各为2米时，矩形窗框的面积最大，最大值为4平方米． 21世纪教育网版权所有
12．解：(1)设A到BC的距离为d cm，E到BC的距离为h cm，则y=SBDEF=xh．∵S△ABC＝BC·d，∴2400=×80d，∴d=60．∵ED∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴，即，∴h=，∴y＝x＝－x2＋60x．(2)自变量x的取值范围是0＜x＜80． (3)∵a=－＜0，－＝40，0＜40＜80，∴当x＝40时，y最大值＝1200． 21cnjy.com
13．(1)证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG．又∠BEF=∠CEG，∴△BEF∽△CEG．
(2)解：由(1)得，∠G＝∠BFE＝90°，∴DG为△DEF中EF边上的高．在Rt△BFE中，∠B=60°，EF＝BEsin B＝x.在Rt△CGE中，CE=3－x，CG=(3－x)cos 60°=，∴DG=DC＋CG=，∴S=EF·DG=－x2＋x，其中0＜x≤3． 【来源：21·世纪·教育·网】
(3)解：∵a=－＜0，对称轴x＝，∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，∴当x＝3，即E与C重合时，S有最大值，S最大值＝3． 2-1-c-n-j-y
14．解：(1)以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．∵正方形ABCD的边长为8，∴AC=16．∵AE＝x，过点B作BO⊥AC于O，如图2－116所示，则BO＝8，∴S2＝4x．∵HE=x，EF＝16－2x，∴S1=x(16－2x)．当S1＝S2，即x(16－2x)=4x时，解得x1=0(舍去)，x2＝6．∴当x＝6时，S1＝S2．
(2)①当0≤x＜8时，如图2－116所示．y=x(16－2x)＋4x＝－2x2＋20x．当8≤x≤16时，如图2－117所示，AE＝x，CE=HE＝16－x，EF＝16－2(16－x)=2x－16，∴S1＝(16－x)(2x－16)，∴y＝(16－x)(2x－16)＋4x=－2x2＋52x－256．(2)解法1：②当0≤x＜8时，y＝－2x2＋20x＝－2(x2－10x＋25)＋50=－2(x－5)2＋50，∴当x＝5时，y的最大值为50．当8≤x≤16时，y＝－2x2＋52x－256=－2(x－13)2＋82，∴当x＝13时，y的最大值为82．综上可得，y的最大值为82．解法2：②y＝－2x2＋20x(0≤x＜8)，当x＝－＝5时，y最大值＝＝50．y=－2x2＋52x－256(8≤x≤16)，当x=－＝13时，y最大值=＝82．综上可得，y的最大值为82．21教育名师原创作品
15.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，
∴，
解得 ，
∴y=﹣x2﹣x+2．
（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，
∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，
∵AO=BO=2，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OQ=OP=t．
①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．
∵BQ=AP，
∴2﹣t=（2+t），
∴t=．
②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．
∵BQ=AP，
∴t﹣2=（2+t），
∴t=6．
综上所述，t=或6时，BQ=AP．
（3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．
分析如下：
∵AQ⊥BP，
∴∠QAO+∠BPO=90°，
∵∠QAO+∠AQO=90°，
∴∠AQO=∠BPO．
在△AOQ和△BOP中，
，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，
∵直线y=x垂直平分PQ，
∴M在y=x上，设M（x，y），
∴，
解得 或 ，
∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．
①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，
则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t2+2t﹣2=0，
∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）．
②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E，
则有PE=3+t，ME=3，
∴MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t2﹣6t﹣18=0，
∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）．
综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．21教育网
