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3.1多项式的因式分解
数学湘教版 七年级下
导入新知
1.整式乘法有几种形式？
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式：a(m+n)=am+an
(3)多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.乘法公式有哪些？
(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=
(2)完全平方公式：
（1）21等于 3 乘哪个整数？
21＝3×7
（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
说一说
新知讲解
(x+1)(x-1)
因式分解
1个多项式
(代数和)
2个多项式
(乘积)
新知讲解
一般地，对于两个多项式f 与g，如果有多项式h 使得
f =gh ，那么我们把g 叫做f 的一个因式，此时，h 也是f 的一个因式．
在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
把写成(x+1)(x-1) 的形式，叫做把因式分解
新知讲解
即：一个多项式 →几个整式的积
一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解．(也叫分解因式）
因式分解：
因式分解概念的特点：
(1)分解的结果一定是积的形式.
如：ab+ac+d=a(b+c)+d不是因式分解
(2)每个因式必须是整式.
如：x+1=x(x+)不是因式分解
(3)各因式要分解到不能分解为止.
新知讲解
如：不是因式分解
3x(x-1)= __,
3x2 - 3x
3x2-3x=_________
3x(x-1)
整式的积
多项式
多项式
整式的积
整式乘法
因式分解
因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解与整式乘法是互逆 过程
新知讲解
新知讲解
为什么要把一个多项式因式分解呢？
①
②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为2×3=6
进而很容易把分数约分：分子与分母同除以6，得
每一个大于1正整数都能表示成若干质(素)数的乘积的形式．
同样地，每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
新知讲解
例1.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
(1)
(2)
新知讲解
解（1）：是.
解（2）：不是.
因为从左边到右边是把多项式表示成a+b与a+b的积的形式
因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积的形式
学以致用
ab
ab
a2
判断下列各式是不是因式分解
(1)()=(xy+3)(xy-3) ( )
(2) ( )
(3)+3a ( )
(4)2a(a-2)=2 ( )
√
×
×
×
因式分解:
一个多项式
几个整式的乘积
新知讲解
例2、检验下列因式分解是否正确.
(1)
(2)
(3)2
分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等。
新知讲解
解：(1)因为x(x+y)=x2+xy,
所以因式分解+xy=x(x+y)正确
(2)因为(a-2)(a-3)=a2-5a+6,
所以因式分解a2-5a+6=(a-2)(a-3)正确
(3)因为(2m-n)(2m+n)=4m2-n2≠2m2-n2
所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确
(1)x2-x-6=(x-2)(x-3)；
(2)2a2-3ab-2b2=(2a+b)(a-2b)；
学以致用
解：(1)因为(x-2)(x-3)=x2-5x+6,
所以因式分解x2-x-6=(x+2)(x-3) ≠(x-2)(x-3)不正确
(2)因为(2a+b)(a-2b)=2a2-3ab-2b2,
所以因式分解2a2-3ab-2b2=(2a+b)(a-2b)正确
检验下列因式分解是否正确
新知讲解
总结提升：
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
巩固提升
1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A.a(x-y)＝ax-ay B.x2+2x+1＝x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)＝x2+4x+3 D.x3-x＝x(x+1)(x-1)
D
2. (3x-y)(3x+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( )
A.9x2+y2 B.-9x2+y2 C.9x2-y2 D.-9x2-y2
C
巩固提升
3.如果多项式2x+B可以分解为2(x +2),那么B=__________.
4
4.我们知道:a(b+c)=ab+ac,反过来则有ab+ac=a(b+c),前一个式子是整式乘法,后一个式子是因式分解.请你根据上述结论计算:2 0142-2 014×2 013=_______.
2014
巩固提升
5、已知多项式x2+3x+2因式分解的结果是(x+a)(x+b),请你确定a+b与ab的值.
解：由题意，知x2+3x+2=(x+a)(x+b),
所以x2+3x+2=x2+(a+b)x+ab,
因此有a+b=3,ab=2.
课堂小结
因式分解：
一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．
多项式的因式分解
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
谢谢
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湘教版数学七年级下册3.1多项式的因式分解教学设计
课题 多项式的因式分解 单元 3 学科 数学 年级 七
学习目标 情感态度和价值观目标 通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．
能力目标 通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力．
知识目标 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系
重点 1．理解因式分解的意义．2．识别因式分解与整式乘法的关系．
难点 通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 我们学过的整式有几种形式？学过了哪些乘法公式？ 指名学生回答 复习以前的内容，让学生更好的掌握本节课知识.
讲授新课 大家说一说（1）21等于 3 乘哪个整数？（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？ 你能说说什么叫因式吗？一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫f 的一个因式，同样，h也是f的一个因式。在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．把写成(x+1)(x-1) 的形式，叫做把因式分解因式分解的概念指出;一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。因式分解概念的特点：(1)分解的结果一定是积的形式.(2)每个因式必须是整式.(3)各因式要分解到不能分解为止.你能说出因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解与整式乘法是互逆过程那么，为什么要把一个多项式因式分解呢？例1.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？(1)(2)练习：判断下列各式是不是因式分解(1)()=(xy+3)(xy-3) ( )(2) ( )(3)+3a ( )(4)2a(a-2)=2 ( )例2、检验下列因式分解是否正确.(1) (2)(3)2分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等。练习：检验下列因式分解是否正确(1)x2-x-6=(x-2)(x-3)；(2)2a2-3ab-2b2=(2a+b)(a-2b)； 通过学习因式分解，那么我们分解因式要注意些什么问题呢？ 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止. 学生自主阅读教材。解答此问题学生交流，得出因式分解的概念 并得出因式分解概念的特点，学生自由发言。学生看课本得出答案.学生分组，根据因式分解的特点来检验是否正确学生总结一下因式分解中应该注意的问题 引导学生独立思考，培养自主学习的能力由问题一步一步的深入，让学生体会到知识的递进关系，并且培养了学生分析问题，解决问题的能力.通过例题的解答，让学生真正认识因式分解。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。进一步掌握因式分解
巩固提升 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A.a(x-y)＝ax-ay B.x2+2x+1＝x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)＝x2+4x+3 D.x3-x＝x(x+1)(x-1)答案：D2. (3x-y)(3x+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( )A.9x2+y2 B.-9x2+y2 C.9x2-y2 D.-9x2-y2答案：C3. 如果多项式2x+B可以分解为2(x +2),那么B=__________.答案：44.我们知道:a(b+c)=ab+ac,反过来则有ab+ac=a(b+c),前一个式子是整式乘法,后一个式子是因式分解.请你根据上述结论计算:2 0142-2 014×2 013=_______.答案： 20145、已知多项式x2+3x+2因式分解的结果是(x+a)(x+b),请你确定a+b与ab的值.答案：解：由题意，知x2+3x+2=(x+a)(x+b), 所以x2+3x+2=x2+(a+b)x+ab, 因此有a+b=3,ab=2. 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？因式分解：一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．分解因式与整式乘法是互逆过程分解因式要注意以下几点: 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 3.1多项式的因式分解=(x+1)(x-1)因式分解：一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．分解因式与整式乘法是互逆过程
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3.1多项式的因式分解练习题
一、选择题
1. 下列各式由左边到右边的变形中,属于因式分解的是( )
A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A.a(x-y)＝ax-ay B.x2+2x+1＝x(x+2)+121世纪教育网版权所有
C.(x+1)(x+3)＝x2+4x+3 D.x3-x＝x(x+1)(x-1)
3. 下列因式分解正确的是( )
A．x2-y2= (x-y) 2 B．a2+a+1=(a+1)2 C．xy-x=x(y-1) D.2x+y= 2(x+y)
4.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A、8m3n+4mn2=2mn（4m2+2n） B、m3﹣n3=（m﹣n）（m2+mn+n2）
C、（y+1）(y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1） D、4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z
5. 若多项式x2-px-6因式分解的结果是(x-1)(x+6),则p的值是( )
A.-1 B.1 C.5 D.-5
6. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的个数是( )
①x2-4=x(x-);②a2-1+b2=(a-1)(a+1)+b2;③a2b-ab2=ab(a-b);
④(x-2)2=x2-4x+4;⑤x2-1=(x+1)(x-1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. 若N=(x-2y)2,则N为( )
A.x2+4xy+4y2 B.x2-4y2 C.x2-4xy+4y2 D.x2-2xy+4y2
二、填空题
8.由(x-2)(x-1)=x2-3x+2,则x2-3x+2因式分解为 .
9.若x+5,x-3都是多项式x2-kx-15的因式,则k= .
10.如果多项式M可因式分解为3(1+2x)(-2x+1),则M= .
11. 我们知道:a(b+c)=ab+ac,反过来则有ab+ac=a(b+c),前一个式子是整式乘法,后一个式子是因式分解.请你根据上述结论计算:2 0142-2 014×2 013=__________.
三、解答题
12. 检验下列因式分解是否正确.
(1)a3-ab=a(a2-b)； (2)x2-x-6=(x-2)(x-3)；
(3)2a2-3ab-2b2=(2a+b)(a-2b)； (4)9m2-6mn+4n2=(3m-2n)2.
13. 如果x2-ax+5有一个因式是x+5,求a的值,并求另一个因式.
14．两位同学将一个二次三项式因式分解,一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x-1)(x-9),另一位同学因看错了常数项而分解成2(x-2)(x-4),求原多项式.
15. 已知多项式x4+2x3-x+m能因式分解,且有一个因式为x-1.
(1)当x=1时,求多项式x4+2x3-x+m的值.
(2)根据(1)的结果,求m的值.
(3)仿照(1)的方法,试判断x+2是不是多项式x4+2x3-x+m的一个因式.
答案：
1、C. 2、D. 3、C. 4、B. 5. D 6.B 7.C
8. (x-2)(x-1)
9. -2；
10. 3-12x2
11. 2 014
12. (1)正确；(2)不正确；(3)正确；(4)不正确.
14.
设原多项式为ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数,且abc≠0).
因为2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)=2x2-20x+18,
所以a=2,c=18.
又因为2(x-2)(x-4)=2(x2-6x+8)=2x2-12x+16,
所以b=-12.
所以原多项式为2x2-12x+18.
15.
(1)根据题意得x4+2x3-x+m
=(x3+ax2+bx+c)(x-1),
当x=1时,x4+2x3-x+m=0.
(2)由(1)知m=-2.
(3)由x+2=0得x=-2,当x=-2时,
x4+2x3-x-2=16-16+2-2=0,
所以x+2是多项式的一个因式.
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