2016-2017学年青岛北师大八年级下期中数学试卷原卷版+解析版
文档属性
| 名称 | 2016-2017学年青岛北师大八年级下期中数学试卷原卷版+解析版 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 678.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 青岛版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-04-17 16:14:23 | ||
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文档简介
2016-2017学年山东省青岛实验中学八年级（下）期中数学试卷
一、单选题：（请将下列各题正确答案的序号涂在答题纸上）
1．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1
3．（3分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
5．（3分）如果a＞b，那么下列各式一定正确的是（ ）
A．a2＞b2 B． C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣1＜b﹣1
6．（3分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．x2﹣4 B．﹣x2﹣y2 C．m2n2﹣1 D．a2﹣4b2
7．（3分）三角形的三边a、b、c满足a（b﹣c）+2（b﹣c）=0，则这个三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=4，则AE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．（3分）下列命题不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
12．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
二、填空题（请将下列各题正确答案写在答题纸上）
13．（3分）全等三角形的对应角相等的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
14．（3分）分式值为零的x的值是 ．
15．（3分）如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集 ．
16．（3分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为 度．
17．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 ．
18．（3分）学校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记﹣4分，八年级一班代表的得分目标为不低于88分，则这个队至少要答对 道题才能达到目标要求．
19．（3分）关于x的不等式组的解集为﹣3＜x＜3，则a+b的值为 ．
20．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是 ．
三、计算题：
21．把下列各式分解因式：
（1）2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）．
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．
（3）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．
（4）先分解因式，再求值：15x2（y+4）﹣30x（y+4），其中x=2，y=﹣2．
22．化简：
（1）；
（2）．
23．解不等式组：
（1）；
（2）．
四、作图题：
24．如图，直线l，m，n为三条公路，A、B、C为三个村庄，现在要想在△ABC内部修建一个超市，使它到三条公路的距离相等，试确定超市P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
25．（1）画出△ABC平移后的图形△A1B1C1，使点A的对应点A1坐标为（﹣3，2）．
（2）画出以B点为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2．
五、解答题：
26．利用因式分解的方法简便运算：
学校有一块边长为13.2米的正方形场地，现准备在四个角落各建一个边长为3.4米的正方形喷水池，剩余的部分铺成绿地，求绿地的面积是多少平方米？
27．如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
28．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商场
优惠条件
甲商场
第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场
每台优惠20%
（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
（3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
29．问题的提出：
如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？
问题的转化：
把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．
问题的解决：
当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置 ．
问题的延伸：
如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
参考答案与试题解析
一、单选题：（请将下列各题正确答案的序号涂在答题纸上）
1．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：两个不等式的公共部分是在数轴上，5以及5右边的部分，因而解集可表示为：
故选：D．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1
【解答】解：根据题意可得x﹣1≠0；
解得x≠1；
故选：A．
3．（3分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
4．（3分）若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∵∠A+∠B+∠C=180，
∴x+2x+3x=180°，
∴x=30，
∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，
即△ABC是直角三角形，
故选：C．
5．（3分）如果a＞b，那么下列各式一定正确的是（ ）
A．a2＞b2 B． C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣1＜b﹣1
【解答】解：A、两边相乘的数不同，错误；
B、不等式两边都除以2，不等号的方向不变，错误；
C、不等式两边都乘﹣2，不等号的方向改变，正确；
D、不等式两边都减1，不等号的方向不变，错误；
故选：C．
6．（3分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．x2﹣4 B．﹣x2﹣y2 C．m2n2﹣1 D．a2﹣4b2
【解答】解：A、x2﹣4，两平方项符号相反，正确；
B、﹣x2﹣y2﹣=﹣[x2+y2]，两平方项符号相同，故本选项错误，符合题意；
C、m2n2﹣1，两平方项符号相反，正确；
D、a2﹣4b2，两平方项符号相反，正确．
故选：B．
7．（3分）三角形的三边a、b、c满足a（b﹣c）+2（b﹣c）=0，则这个三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：∵a（b﹣c）+2（b﹣c）=0，
∴（a+2）（b﹣c）=0，
∵a、b、c为三角形的三边，
∴b﹣c=0，
则b=c，
∴这个三角形的形状是等腰三角形．
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，四边形ABED的面积等于8，AC=4，
∴平移距离=8÷4=2．
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=4，则AE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC=EB=4，
∴∠ECB=∠B=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=∠ACE=30°，
∴∠A=90°，又∠ACE=30°，
∴AE=EC=2，
故选：C．
10．（3分）下列命题不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
【解答】解：斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，A正确，不符合题意；
有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，B正确，不符合题意；
有两个锐角相等的两个直角三角形全等，C错误，符合题意；
有一直角和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，D正确，不符合题意；
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选：C．
12．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，
S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．
故选：B．
二、填空题（请将下列各题正确答案写在答题纸上）
13．（3分）全等三角形的对应角相等的逆命题是 假 命题．（填“真”或“假”）
【解答】解：全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，此逆命题为假命题．
故答案为假．
14．（3分）分式值为零的x的值是 1 ．
【解答】解：依题意，得
x2﹣1=0且1+x≠0，
解得x=1．
故答案为：1．
15．（3分）如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集 x＞﹣1 ．
【解答】解：当x＞﹣1，函数y=x+b的图象在函数y=kx﹣1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（3分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为 15 度．
【解答】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，
则△CBD是等腰三角形，∠BDC=∠BCD，∠CBD=180°﹣∠DBE=180°﹣30°=150°，
∠BDC=（180°﹣∠CBD）=15°．
故答案为15°．
17．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 m≤3 ．
【解答】解：，
解①得x＞3，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3．
故答案为m≤3．
18．（3分）学校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记﹣4分，八年级一班代表的得分目标为不低于88分，则这个队至少要答对 12 道题才能达到目标要求．
【解答】解：设九年级一班代表队至少要答对x道题才能达到目标要求
由题意得：10x﹣4（20﹣x）≥88
10x﹣80+4x≥88
14x≥168
x≥12
答：这个队至少要答对12道题才能达到目标要求，
故答案为12．
19．（3分）关于x的不等式组的解集为﹣3＜x＜3，则a+b的值为 0 ．
【解答】解：由不等式x﹣b＞2a可得x＞2a+b，
由不等式x﹣a＜2b可得x＜a+2b，
∵不等式组的解集为﹣3＜x＜3，
∴，
①+②，得：3a+3b=0，
则a+b=0，
故答案为：0
20．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是 （） n﹣1×75° ．
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C==75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；
同理可得∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（） n﹣1×75°．
故答案为：（） n﹣1×75°．
三、计算题：
21．把下列各式分解因式：
（1）2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）．
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．
（3）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．
（4）先分解因式，再求值：15x2（y+4）﹣30x（y+4），其中x=2，y=﹣2．
【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）
=（a﹣b）（2m+6n）
=2（a﹣b）（m+3n）
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2
=（a2+2ab+b2）（a2﹣2ab+b2）
=（a+b）2?（a﹣b）2
（3）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16
=[（x2﹣5）+4]2
=（x2﹣9）2
=（x+3）2（x﹣3）2
（4）15x2（y+4）﹣30x（y+4）
=15x（y+4）（x﹣2）
∵x=2，y=﹣2
∴原式=0．
22．化简：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）=；
（2）==．
23．解不等式组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2；
（2），
由①得：x≤﹣4，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣4．
四、作图题：
24．如图，直线l，m，n为三条公路，A、B、C为三个村庄，现在要想在△ABC内部修建一个超市，使它到三条公路的距离相等，试确定超市P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图所示，点P即为所求．
25．（1）画出△ABC平移后的图形△A1B1C1，使点A的对应点A1坐标为（﹣3，2）．
（2）画出以B点为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
五、解答题：
26．利用因式分解的方法简便运算：
学校有一块边长为13.2米的正方形场地，现准备在四个角落各建一个边长为3.4米的正方形喷水池，剩余的部分铺成绿地，求绿地的面积是多少平方米？
【解答】解：绿地的面积=13.22﹣4×3.42
=13.22﹣6.82
=（13.2+6.8）（13.2﹣6.8）
=18×6.4
=115.2．
27．如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
【解答】证明：（1）∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF=DE；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥EF，
∴OP平分∠EOF．
28．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商场
优惠条件
甲商场
第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场
每台优惠20%
（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
（3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
【解答】解：（1）y1=6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）；
y2=（1﹣20%）×6000x；
（2）设学校购买x台电脑，
则若两家商场收费相同，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）=（1﹣20%）×6000x，
解得：x=5，
即当购买5台时，两家商场的收费相同；
若到甲商场购买更优惠，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＜（1﹣20%）×6000x，
解得：x＞5，
即当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠；
若到乙商场购买更优惠，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＞（1﹣20%）×6000x，
解得：x＜5，
即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；
（3）w=50a+（10﹣a）60=600﹣10a，
当a取最大时，费用最小，
∵甲商场只有4台，
∴a取4，W=600﹣400=200，
即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是200元．
29．问题的提出：
如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？
问题的转化：
把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．
问题的解决：
当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置 ∠APB=∠APC=120° ．
问题的延伸：
如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
【解答】解：问题的转化：
如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'=PA，
∵PC=P'C，
∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．
问题的解决：
满足：∠APB=∠APC=120°时，PA+PB+PC的值为最小；
理由是：如图2，把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，
由“问题的转化”可知：当B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，
∵∠APB=120°，∠APP'=60°，
∴∠APB+∠APP'=180°，
∴B、P、P'在同一直线上，
由旋转得：∠AP'C'=∠APC=120°，
∵∠AP'P=60°，
∴∠AP'C'+∠AP'P=180°，
∴P、P'、C'在同一直线上，
∴B、P、P'、C'在同一直线上，
∴此时PA+PB+PC的值为最小，
故答案为：∠APB=∠APC=120°；
问题的延伸：
如图3，Rt△ACB中，∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AC=1，BC=，
把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，
当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，
由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP'=PB，
∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，
∴∠ABC'=90°，
由勾股定理得：AC'===，
∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=，
则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．
一、单选题：（请将下列各题正确答案的序号涂在答题纸上）
1．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1
3．（3分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
5．（3分）如果a＞b，那么下列各式一定正确的是（ ）
A．a2＞b2 B． C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣1＜b﹣1
6．（3分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．x2﹣4 B．﹣x2﹣y2 C．m2n2﹣1 D．a2﹣4b2
7．（3分）三角形的三边a、b、c满足a（b﹣c）+2（b﹣c）=0，则这个三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=4，则AE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
10．（3分）下列命题不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
12．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
二、填空题（请将下列各题正确答案写在答题纸上）
13．（3分）全等三角形的对应角相等的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
14．（3分）分式值为零的x的值是 ．
15．（3分）如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集 ．
16．（3分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为 度．
17．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 ．
18．（3分）学校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记﹣4分，八年级一班代表的得分目标为不低于88分，则这个队至少要答对 道题才能达到目标要求．
19．（3分）关于x的不等式组的解集为﹣3＜x＜3，则a+b的值为 ．
20．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是 ．
三、计算题：
21．把下列各式分解因式：
（1）2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）．
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．
（3）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．
（4）先分解因式，再求值：15x2（y+4）﹣30x（y+4），其中x=2，y=﹣2．
22．化简：
（1）；
（2）．
23．解不等式组：
（1）；
（2）．
四、作图题：
24．如图，直线l，m，n为三条公路，A、B、C为三个村庄，现在要想在△ABC内部修建一个超市，使它到三条公路的距离相等，试确定超市P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
25．（1）画出△ABC平移后的图形△A1B1C1，使点A的对应点A1坐标为（﹣3，2）．
（2）画出以B点为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2．
五、解答题：
26．利用因式分解的方法简便运算：
学校有一块边长为13.2米的正方形场地，现准备在四个角落各建一个边长为3.4米的正方形喷水池，剩余的部分铺成绿地，求绿地的面积是多少平方米？
27．如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
28．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商场
优惠条件
甲商场
第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场
每台优惠20%
（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
（3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
29．问题的提出：
如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？
问题的转化：
把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．
问题的解决：
当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置 ．
问题的延伸：
如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
参考答案与试题解析
一、单选题：（请将下列各题正确答案的序号涂在答题纸上）
1．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：两个不等式的公共部分是在数轴上，5以及5右边的部分，因而解集可表示为：
故选：D．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x=1 C．x≠﹣1 D．x=﹣1
【解答】解：根据题意可得x﹣1≠0；
解得x≠1；
故选：A．
3．（3分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
4．（3分）若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
【解答】解：∵△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∵∠A+∠B+∠C=180，
∴x+2x+3x=180°，
∴x=30，
∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，
即△ABC是直角三角形，
故选：C．
5．（3分）如果a＞b，那么下列各式一定正确的是（ ）
A．a2＞b2 B． C．﹣2a＜﹣2b D．a﹣1＜b﹣1
【解答】解：A、两边相乘的数不同，错误；
B、不等式两边都除以2，不等号的方向不变，错误；
C、不等式两边都乘﹣2，不等号的方向改变，正确；
D、不等式两边都减1，不等号的方向不变，错误；
故选：C．
6．（3分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．x2﹣4 B．﹣x2﹣y2 C．m2n2﹣1 D．a2﹣4b2
【解答】解：A、x2﹣4，两平方项符号相反，正确；
B、﹣x2﹣y2﹣=﹣[x2+y2]，两平方项符号相同，故本选项错误，符合题意；
C、m2n2﹣1，两平方项符号相反，正确；
D、a2﹣4b2，两平方项符号相反，正确．
故选：B．
7．（3分）三角形的三边a、b、c满足a（b﹣c）+2（b﹣c）=0，则这个三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解答】解：∵a（b﹣c）+2（b﹣c）=0，
∴（a+2）（b﹣c）=0，
∵a、b、c为三角形的三边，
∴b﹣c=0，
则b=c，
∴这个三角形的形状是等腰三角形．
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积等于8，则平移距离等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，四边形ABED的面积等于8，AC=4，
∴平移距离=8÷4=2．
故选：A．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE=4，则AE的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC=EB=4，
∴∠ECB=∠B=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB=∠ACE=30°，
∴∠A=90°，又∠ACE=30°，
∴AE=EC=2，
故选：C．
10．（3分）下列命题不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
【解答】解：斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，A正确，不符合题意；
有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，B正确，不符合题意；
有两个锐角相等的两个直角三角形全等，C错误，符合题意；
有一直角和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，D正确，不符合题意；
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选：C．
12．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（ ）
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
【解答】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，
∵DE=DG，
∴DM=DG，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，
∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，
S△DNM=S△EDF=S△MDG=×11=5.5．
故选：B．
二、填空题（请将下列各题正确答案写在答题纸上）
13．（3分）全等三角形的对应角相等的逆命题是 假 命题．（填“真”或“假”）
【解答】解：全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，此逆命题为假命题．
故答案为假．
14．（3分）分式值为零的x的值是 1 ．
【解答】解：依题意，得
x2﹣1=0且1+x≠0，
解得x=1．
故答案为：1．
15．（3分）如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集 x＞﹣1 ．
【解答】解：当x＞﹣1，函数y=x+b的图象在函数y=kx﹣1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故答案为：﹣1．
16．（3分）如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为 15 度．
【解答】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，
则△CBD是等腰三角形，∠BDC=∠BCD，∠CBD=180°﹣∠DBE=180°﹣30°=150°，
∠BDC=（180°﹣∠CBD）=15°．
故答案为15°．
17．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是 m≤3 ．
【解答】解：，
解①得x＞3，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3．
故答案为m≤3．
18．（3分）学校举行百科知识抢答赛，共有20道题，规定每答对一题记10分，答错或放弃记﹣4分，八年级一班代表的得分目标为不低于88分，则这个队至少要答对 12 道题才能达到目标要求．
【解答】解：设九年级一班代表队至少要答对x道题才能达到目标要求
由题意得：10x﹣4（20﹣x）≥88
10x﹣80+4x≥88
14x≥168
x≥12
答：这个队至少要答对12道题才能达到目标要求，
故答案为12．
19．（3分）关于x的不等式组的解集为﹣3＜x＜3，则a+b的值为 0 ．
【解答】解：由不等式x﹣b＞2a可得x＞2a+b，
由不等式x﹣a＜2b可得x＜a+2b，
∵不等式组的解集为﹣3＜x＜3，
∴，
①+②，得：3a+3b=0，
则a+b=0，
故答案为：0
20．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是 （） n﹣1×75° ．
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C==75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；
同理可得∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（） n﹣1×75°．
故答案为：（） n﹣1×75°．
三、计算题：
21．把下列各式分解因式：
（1）2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）．
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．
（3）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．
（4）先分解因式，再求值：15x2（y+4）﹣30x（y+4），其中x=2，y=﹣2．
【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣6n（b﹣a）
=（a﹣b）（2m+6n）
=2（a﹣b）（m+3n）
（2）（a2+b2）2﹣4a2b2
=（a2+2ab+b2）（a2﹣2ab+b2）
=（a+b）2?（a﹣b）2
（3）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16
=[（x2﹣5）+4]2
=（x2﹣9）2
=（x+3）2（x﹣3）2
（4）15x2（y+4）﹣30x（y+4）
=15x（y+4）（x﹣2）
∵x=2，y=﹣2
∴原式=0．
22．化简：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）=；
（2）==．
23．解不等式组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜2；
（2），
由①得：x≤﹣4，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为x≤﹣4．
四、作图题：
24．如图，直线l，m，n为三条公路，A、B、C为三个村庄，现在要想在△ABC内部修建一个超市，使它到三条公路的距离相等，试确定超市P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图所示，点P即为所求．
25．（1）画出△ABC平移后的图形△A1B1C1，使点A的对应点A1坐标为（﹣3，2）．
（2）画出以B点为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°后的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
五、解答题：
26．利用因式分解的方法简便运算：
学校有一块边长为13.2米的正方形场地，现准备在四个角落各建一个边长为3.4米的正方形喷水池，剩余的部分铺成绿地，求绿地的面积是多少平方米？
【解答】解：绿地的面积=13.22﹣4×3.42
=13.22﹣6.82
=（13.2+6.8）（13.2﹣6.8）
=18×6.4
=115.2．
27．如图所示∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在BC上且BE=CF．
（1）求证：AF=DE．
（2）若PO⊥EF，求证：OP平分∠EOF．
【解答】证明：（1）∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF=DE；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∵OP⊥EF，
∴OP平分∠EOF．
28．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示：
商场
优惠条件
甲商场
第一台按原价收费，其余的每台优惠25%
乙商场
每台优惠20%
（1）设学校购买x台电脑，选择甲商场时，所需费用为y1元，选择乙商场时，所需费用为y2元，请分别求出y1，y2与x之间的关系式．
（2）什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？
（3）现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为w元，从甲商场购买a台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？
【解答】解：（1）y1=6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）；
y2=（1﹣20%）×6000x；
（2）设学校购买x台电脑，
则若两家商场收费相同，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）=（1﹣20%）×6000x，
解得：x=5，
即当购买5台时，两家商场的收费相同；
若到甲商场购买更优惠，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＜（1﹣20%）×6000x，
解得：x＞5，
即当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠；
若到乙商场购买更优惠，则：
6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1）＞（1﹣20%）×6000x，
解得：x＜5，
即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；
（3）w=50a+（10﹣a）60=600﹣10a，
当a取最大时，费用最小，
∵甲商场只有4台，
∴a取4，W=600﹣400=200，
即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是200元．
29．问题的提出：
如果点P是锐角△ABC内一动点，如何确定一个位置，使点P到△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小？
问题的转化：
把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，这样就把确定PA+PB+PC的最小值的问题转化成确定BP+PP′+P′C′的最小值的问题了，请你利用图1证明：PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．
问题的解决：
当点P到锐角△ABC的三顶点的距离之和PA+PB+PC的值为最小时，请你用一定的数量关系刻画此时的点P的位置 ∠APB=∠APC=120° ．
问题的延伸：
如图2是有一个锐角为30°的直角三角形，如果斜边为2，点P是这个三角形内一动点，请你利用以上方法，求点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值．
【解答】解：问题的转化：
如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'=PA，
∵PC=P'C，
∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′．
问题的解决：
满足：∠APB=∠APC=120°时，PA+PB+PC的值为最小；
理由是：如图2，把△APC绕点A逆时针旋转60度得到△AP′C′，连接PP′，
由“问题的转化”可知：当B、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，
∵∠APB=120°，∠APP'=60°，
∴∠APB+∠APP'=180°，
∴B、P、P'在同一直线上，
由旋转得：∠AP'C'=∠APC=120°，
∵∠AP'P=60°，
∴∠AP'C'+∠AP'P=180°，
∴P、P'、C'在同一直线上，
∴B、P、P'、C'在同一直线上，
∴此时PA+PB+PC的值为最小，
故答案为：∠APB=∠APC=120°；
问题的延伸：
如图3，Rt△ACB中，∵AB=2，∠ABC=30°，
∴AC=1，BC=，
把△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，
当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小，
由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP'=PB，
∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°，
∴∠ABC'=90°，
由勾股定理得：AC'===，
∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=，
则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为．
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