高一数学人教A版必修4第1.5 函数y=Asin（ωx+ψ） 同步练习

一、选择题
1．函数在区间上的最小值是( )
A．-l B． C． D．0
【答案】C
【解析】因为，所以因此即函数最小值是.
2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
【答案】A
【解析】因为，所以把的图象上所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选A.
3．函数的对称轴中,最靠近轴的是 ( ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝cos 2x B．y＝1＋cos 2x
C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝cos 2x－1
【答案】B
【解析】将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2(x＋)，即y＝sin(2x＋)＝cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos 2x.
5． 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上单调递增
【答案】D
【解析】由题意得，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，函数的周期，故A错误；，函数的解析式为：，函数是偶函数，，解得，。由，解得对称中心为：，故B错误；由，解得对称轴是：，故C错误；由，解得单调递增区间为：，故D正确，故选D.
6．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象(　　)
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
【答案】B
【解析】y＝sin(2x＋)y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)．
7．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点(，0)，则ω的最小值是( )
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【解析】函数向右平移个单位长度后得到,所得图像经过点将代入函数得,所以ω的最小值是2.
8．函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间上单调递减，又函数值从1减小到－1，所以－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原式为y＝sin(2x＋φ)，又由函数过点，代入可得φ＝，因此函数为y＝sin，令x＝0，可得y＝．
9．函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两个对称中心间的距离是半周期，为.
10．将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：将函数y=cos2x的图象上的所有点向左平移个单位长度得函数的图象，即的图象；
再向上平移1个单位长度得得图象；
【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．平移变换一般根据左加右减上加下减的原则．
11．把函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的橫坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】向右平移个单位，函数解析式为，横坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为.
12．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的图象的一条对称轴是，
【点评】本题是基础题，考查函数的对称性知识，利用特殊值的方法也是解题的一种巧妙解法，考查灵活运用能力．
二、填空题
13．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f ＝________.
【答案】0
【解析】由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4.所以f ＝sin＝0.
14． 函数y=Asin（x+φ）与y=Acos（x+φ）在（x0，x0+π）上交点的个数为 ．
【答案】1
【解析】画图象
由图得，在长度为π的区间上，两图只有一个交点．
故答案为1
15． 对于函数，给出下列命题：
①图像关于原点成中心对称
②图像关于直线对称
③函数的最大值是3
④函数的一个单调增区间是
其中正确命题的序号为 ．
【答案】②③
【解析】函数的最大值为3，当时，，所以函数关于直线对称，当时，，所以函数不单调递增，因此正确的序号为②③.
16．函数的图象为，如下结论中正确的是_____ _____（写出所有正确结论的编号）．
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
【答案】①②③
【解析】因为的对称轴方程为当时，因此①正确；因为若的对称中心为，则，当时，，因此②正确；因为时，函数单调递增，即，当时，为.因此③正确；因为的图象向右平移个单位长度得到，不为，因此④不正确.
三、解答题
17．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品出厂价格y1是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店内的销售价格y2是在8元的基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元．
(1）分别求出y1、y2关于第x月份的函数解析式；
(2）假设某商店每月进货这种商品m件，且当月能售完，问哪个月盈利最大？最大盈利为多少元？
【答案】（I）设y1=Asin（ωx+φ）+B
∵y1是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，
∴B=6
又∵3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，
∴A=2，T=2×（7﹣3）=8=，
∴ω=
则y1=2sin（x+φ）+6
将（3，8）点代入得：φ=
故y1=2sin（x）+6
同时由y2是在8元的基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价格最低为6元
可得y2=2sin（x）+8
(II）每件盈利 y=m（y2﹣y1）=2msin（x﹣）+8m﹣[2msin（x）+6m]=（﹣2sinx+2）m
则当当sinx=﹣1，x=2kπ﹣，x=8k﹣2时y取最大值
当k=1，即x=6时，y取最大值
∴估计6月份盈利最大
【点评】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数的模型的问题，函数模型的选择与应用，三角函数的值域，突显了运用三角函数的图象和性质来解决问题．其中根据已知确定y=Asin（ωx+φ）的解析式是解答本题的关键．
18． 函数是偶函数．
(1）求θ；
(2）将函数y=f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位，然后向上平移1个单位得到y=g（x）的图象，若关于x的方程在有且只有两个不同的根，求m的范围．
【答案】（1） ，
而f（x）为偶函数，则即
∴，k∈Z
又∵，∴
(2）f（x）=2cos2x，
∴可化为与在
1＜m≤2或﹣2≤m＜﹣1
19．已知函数.（1）当函数取最大值时,求自变量的集合；（2）该函数的图像可由的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
【答案】.
(1）函数取最大值当且仅当,即时,所以函数取最大值时,自变量的集合是.
(2）把的图像依次进行如下的变换即得.
① 把的图像向左平移个单位,得到的图像；
② 把所得图像上各点的横坐标缩小到原来的倍（纵坐标不变）,得到函数的图像；
③ 把所得图像上各点的纵坐标缩小到原来的倍（横坐标不变）,得到函数的图像；
④ 把所得图像向上平移个单位,得到的图像.
20．已知函数的部分图象如图所示：
(1）求函数的解析式并写出其所有对称中心；
(2）若的图象与的图象关于点对称，求的单调递增区间.
【答案】（1）由图可得，，
所以，，
则此时，
将点代入，可得.
∴；
对称中心为.
(2）由的图象与的图象关于点对称，得，
∴
令，得，
即的单调递增区间为.
21．用五点作图法画出函数在一个周期内的图像．
【答案】根据五点作图，列表，分三行，令，得到相应的值，然后得到函数值，然后将五点标在坐标系中，用光滑曲线连接，就是一个周期的图像。
列表：
描点、连线如图所示．

22． 已知函数．
(1）将函数化成的形式，并写出最小正周期；
(2）用“五点法”作函数的图象，并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．
【答案】（1）y=sin4x+2sinxcosx﹣cos4x
=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）+sin2x
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣）．
该函数的最小正周期是π；
(2）列表：
描点作图：
单调递增区间是