高一数学人教A版必修4第1.6 三角函数模型的简单应用 同步练习
文档属性
| 名称 | 高一数学人教A版必修4第1.6 三角函数模型的简单应用 同步练习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-04-18 16:13:37 | ||
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文档简介
一、选择题
1．已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据函数的最小正周期为求出的值，再由平移后得到，即可确定答案.
由已知，周期为，
则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，
故选D.
2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )www.21-cn-jy.com
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【解析】由，又，故每分钟心跳次数为80，选C．
3．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x D．f(x)＝
【答案】C
【解析】由图象知函数在x＝0处有意义，排除B，又因，排除A，观察图象知函数为奇函数，排除D．
4．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5·sin，则当t＝时，电流I为( )
A．5 B． C．－ D．－5
【答案】B
【解析】当t＝时，I＝5sin＝5cos ＝．
5．函数f（x）=2sin2x-1是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【答案】D
【解析】利用二倍角公式化简即可求出函数的最小正周期，判断函数的奇偶性，推出选项．函数f（x）=2sin2x-1=-cos2x，所以函数的周期是π，因为f（-x）=-cos（-2x）=-cos2x=f（x），所以函数是偶函数，21cnjy.com
6．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将移至( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解析】该题目考查了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C．
7．设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：21·cn·jy·com
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】通过排除法进行求解，由可以近似看成的图像，故可以把已知数据代入中，根据周期和函数值排除，即可求出答案.
由可以近似看成的图像，根据港口某一天从0时到24时记录的时间与水深的关系，可得函数的周期可排除A、D,将代入B、C,可排除B，C满足。21教育网
8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】C
【解析】∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝．按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin，∴d＝2|sin|.当t＝0时，d＝，排除A、D项；当t＝时，d＝0，排除B项，故选C.www-2-1-cnjy-com
9．下列函数中，周期为π，且在（0，）上单调递增的是（ ）
A．y=tan|x| B．y=|cosx| C．y=|sinx| D．y=sin|x|
【答案】C
【解析】由三角函数的单调性与周期性对A，B，C，D四个选项逐一判断即可．
对于A，y=tan|x|，不是周期函数，故A错误；
对于B，在上单调递减，故B错误；
对于C,的周期为，且在上单调递增，故C符合题意；
对于D，，不是周期函数，故D错误；
综上所述，只有C正确.
10．如图所示，一个单摆以为始边，为终边，其夹角与时间满足函数关系式，则当时，角的大小及单摆频率分别是 ( )
A．， B．， C． ， D．，
【答案】A
【解析】当时，，由函数解析式易知单摆周期为，故单摆
频率为.
11．如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）21世纪教育网版权所有
A．ω=，A=5 B．ω=，A=5
C．ω=，A=3 D．ω=，A=3
【答案】D
【解析】根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T=求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．21*cnjy*com
已知水轮每分钟旋转4圈
又半径为3，水轮中心距水面2
最高点为5，即.
12．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数(其中)给出，的单位是辆/分，的单位是分，则车流量增加的时间段是 ( )【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
由于，
所以或，从而车流量在时间段内是增加的．
二、填空题
13． 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．21·世纪*教育网
【答案】
【解析】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+）+60，因为sin（ωπt+）≤1，所以A=20，【出处：21教育名师】
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+）=﹣1，
此时150ωπ+=2kπ﹣，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+=2π﹣，
解得ω=．
故答案为：．
14．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60]．2·1·c·n·j·y
【答案】10sin
【解析】将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin．【版权所有：21教育】
15．已知函数f（n）=sin（n∈Z），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值是??? ．
【答案】
【解析】先根据函数的解析式求得函数的周期，进而可求得一个周期内的函数的和，进而看2008是12的多少倍数，进而利用周期性求得答案．2-1-c-n-j-y
∵f（n）=sin（n∈Z），
∴f（n）的周期为T==12
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（12）=++1+++0---1---0=0
即从第一项起，每连续12项和为0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）
=167×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
=++1+
=
16．如图，点P从（1，0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ．
【答案】
【解析】根据任意角的三角函数的定义得，，，所以点Q的坐标为．
三、解答题
17．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
【答案】(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝．
又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
18． 在△ABC中，已知内角A、B、C成等差数列，边AC=6．设内角A=x，△ABC的周长为y．
(1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
(2）求y的最大值．．
【答案】（1）∵角A、B、C成等差数列∴2B=A+C
又A+B+C=π∴由A＞0，C＞0，得，即
由正弦定理得：
∴
∴
(2）
=
=∵
∴
∴当，即时，ymax=18
19．如图，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间．
(1)将点距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点第一次到达最高点大约需要多少时间？
【答案】(1)如图所示建立直角坐标系，设角是以为始边，为终边的角．
每秒钟内所转过的角为，在时间内所转过的角为
.由题意可知水轮逆时针转动，得.
当时，，得，即.
故所求的函数关系式为.
(2)令，得，令，得，
故点第一次到达最高点大约需要.
20． 如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数
(1）求这段时间的最大温差
(2）写出这段曲线的函数解析式。
【答案】（l）由图知这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）
(2）在图中，从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象
，解得
由图知
这时
将代入上式，可取
综上所述，所求解析式为：
21．如果某地夏天从时用电量变化曲线近似满足函数，其图象如图所示．
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【答案】(1)观察题中图象知最大用电量为万度，最小用电量为万度．
(2)观察图象可知，半个周期为，∴.
，，，
∴. 将，代入上式，解得.
∴所求解析式为．
22．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
【答案】由条件可得：出厂价格函数为,
销售价格函数为
则利润函数为:
所以，当时，Y=（2+）m，即6月份盈利最大.
1．已知函数的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先根据函数的最小正周期为求出的值，再由平移后得到，即可确定答案.
由已知，周期为，
则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，，
故选D.
2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )www.21-cn-jy.com
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】C
【解析】由，又，故每分钟心跳次数为80，选C．
3．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x D．f(x)＝
【答案】C
【解析】由图象知函数在x＝0处有意义，排除B，又因，排除A，观察图象知函数为奇函数，排除D．
4．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5·sin，则当t＝时，电流I为( )
A．5 B． C．－ D．－5
【答案】B
【解析】当t＝时，I＝5sin＝5cos ＝．
5．函数f（x）=2sin2x-1是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
【答案】D
【解析】利用二倍角公式化简即可求出函数的最小正周期，判断函数的奇偶性，推出选项．函数f（x）=2sin2x-1=-cos2x，所以函数的周期是π，因为f（-x）=-cos（-2x）=-cos2x=f（x），所以函数是偶函数，21cnjy.com
6．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将移至( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解析】该题目考查了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C．
7．设y=f（x）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：21·cn·jy·com
经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（ωt+φ）的图象，下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（t∈[0，24]）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】通过排除法进行求解，由可以近似看成的图像，故可以把已知数据代入中，根据周期和函数值排除，即可求出答案.
由可以近似看成的图像，根据港口某一天从0时到24时记录的时间与水深的关系，可得函数的周期可排除A、D,将代入B、C,可排除B，C满足。21教育网
8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为( )【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】C
【解析】∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝．按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin，∴d＝2|sin|.当t＝0时，d＝，排除A、D项；当t＝时，d＝0，排除B项，故选C.www-2-1-cnjy-com
9．下列函数中，周期为π，且在（0，）上单调递增的是（ ）
A．y=tan|x| B．y=|cosx| C．y=|sinx| D．y=sin|x|
【答案】C
【解析】由三角函数的单调性与周期性对A，B，C，D四个选项逐一判断即可．
对于A，y=tan|x|，不是周期函数，故A错误；
对于B，在上单调递减，故B错误；
对于C,的周期为，且在上单调递增，故C符合题意；
对于D，，不是周期函数，故D错误；
综上所述，只有C正确.
10．如图所示，一个单摆以为始边，为终边，其夹角与时间满足函数关系式，则当时，角的大小及单摆频率分别是 ( )
A．， B．， C． ， D．，
【答案】A
【解析】当时，，由函数解析式易知单摆周期为，故单摆
频率为.
11．如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（t）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则（ ）21世纪教育网版权所有
A．ω=，A=5 B．ω=，A=5
C．ω=，A=3 D．ω=，A=3
【答案】D
【解析】根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T=求解；A为最大振幅，由图象知到最高点时即为A值．21*cnjy*com
已知水轮每分钟旋转4圈
又半径为3，水轮中心距水面2
最高点为5，即.
12．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数(其中)给出，的单位是辆/分，的单位是分，则车流量增加的时间段是 ( )【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
由于，
所以或，从而车流量在时间段内是增加的．
二、填空题
13． 国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t=150（天）时达到最低油价，则ω= ．21·世纪*教育网
【答案】
【解析】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin（ωπt+）+60（美元）[t（天），A＞0，ω＞0]，最高油价80美元，所以80=Asin（ωπt+）+60，因为sin（ωπt+）≤1，所以A=20，【出处：21教育名师】
当t=150（天）时达到最低油价，即sin（150ωπ+）=﹣1，
此时150ωπ+=2kπ﹣，k∈Z，
因为ω＞0，所以令k=1，150ωπ+=2π﹣，
解得ω=．
故答案为：．
14．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60]．2·1·c·n·j·y
【答案】10sin
【解析】将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin．【版权所有：21教育】
15．已知函数f（n）=sin（n∈Z），则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值是??? ．
【答案】
【解析】先根据函数的解析式求得函数的周期，进而可求得一个周期内的函数的和，进而看2008是12的多少倍数，进而利用周期性求得答案．2-1-c-n-j-y
∵f（n）=sin（n∈Z），
∴f（n）的周期为T==12
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（12）=++1+++0---1---0=0
即从第一项起，每连续12项和为0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）
=167×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
=++1+
=
16．如图，点P从（1，0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ．
【答案】
【解析】根据任意角的三角函数的定义得，，，所以点Q的坐标为．
三、解答题
17．某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
【答案】(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝．
又ymin＝7，ymax＝13，
∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
18． 在△ABC中，已知内角A、B、C成等差数列，边AC=6．设内角A=x，△ABC的周长为y．
(1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
(2）求y的最大值．．
【答案】（1）∵角A、B、C成等差数列∴2B=A+C
又A+B+C=π∴由A＞0，C＞0，得，即
由正弦定理得：
∴
∴
(2）
=
=∵
∴
∴当，即时，ymax=18
19．如图，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间．
(1)将点距离水面的高度表示为时间的函数；
(2)点第一次到达最高点大约需要多少时间？
【答案】(1)如图所示建立直角坐标系，设角是以为始边，为终边的角．
每秒钟内所转过的角为，在时间内所转过的角为
.由题意可知水轮逆时针转动，得.
当时，，得，即.
故所求的函数关系式为.
(2)令，得，令，得，
故点第一次到达最高点大约需要.
20． 如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数
(1）求这段时间的最大温差
(2）写出这段曲线的函数解析式。
【答案】（l）由图知这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）
(2）在图中，从6时到14时的图象是函数的半个周期的图象
，解得
由图知
这时
将代入上式，可取
综上所述，所求解析式为：
21．如果某地夏天从时用电量变化曲线近似满足函数，其图象如图所示．
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【答案】(1)观察题中图象知最大用电量为万度，最小用电量为万度．
(2)观察图象可知，半个周期为，∴.
，，，
∴. 将，代入上式，解得.
∴所求解析式为．
22．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.
【答案】由条件可得：出厂价格函数为,
销售价格函数为
则利润函数为:
所以，当时，Y=（2+）m，即6月份盈利最大.