2018版题型突破唯我独尊之高考数学（文）解答题揭秘高端精品专题2.5+中档大题规范练05（三角%2b概率%2b立体几何%2b选讲）（第01期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
三角大题
解三角形的实际应用问题
能通过数学建模，利用正余弦定理解决实际问题
概率大题
非线性回归方程的求解；
超几何的应用
换元法求解非线性回归方程；
此题数据较多，体现了数据处理能力
立体几何
面面平行的性质定理的应用
求三棱锥的体积
延展面的空间想象力；
求三棱锥体积的等价转化思想
选讲1（极坐标参数方程）
参普互化注意范围的一致性；
直线与半圆的位置关系
消参过程注意参数范围；
数形结合处理图像的位置关系
选讲2（不等式）
含两个绝对值恒成立求参问题；
含两个绝对值的方程有解问题求参
分段讨论去绝对值求最值；
利用数形结合思想解决方程问题
1.三角大题
如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛 海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛 海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．
（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？
（Ⅱ）现测得， ．已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？
【答案】（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元.
试题解析：
（Ⅰ）如图，根据题意得：
， ， ， ．
在中，由余弦定理得，
,
所以客轮的航行速度（海里/小时）．
因为，所以，
所以．
在中，由余弦定理得， ，
整理得： ，
解得或（不合舍去）．
所以客轮从处到岛所用的时间小时，
小张到岛所用的时间至少为小时．
由于，
所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.
所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为
()，
当且仅当，即时， （元）.
所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元．
2.概率大题
某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖.现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人.
（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；
（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；
（Ⅲ）已知本考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率.
【答案】（Ⅰ）4人;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.
（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，
,
,因为,，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差.
（Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分
设两科成绩都是一等奖的人分别为，只有数学一科为一等奖的人分别是,只有语文一科为一等奖的人是，则随机抽取两人的基本事件空间为 ,共有个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率.
3.立体几何
三棱锥中，侧面底面, 是等腰直角三角形的斜边，且.
（1）求证： ；
（2）已知平面平面，平面平面， ，且到平面的距离相等，试确定直线及点的位置（说明作法及理由），并求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析；（2）见解析.
解析：
（Ⅰ）法一:在内作，交于，连结，
则由侧面底面，
得底面
又， ，
， 为等腰直角三角形， ，
又∩= ,
即
（Ⅱ）法一:
平面∥平面,平面∩平面,平面∩平面

到平面的距离相等 //平面或中点在平面上
又 平面,平面∩平面
// 或中点在上,
或为平行四边形,即.
所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点 (或在l上到A距离为2的点即为点)
其中
法二: 到平面的距离相等
平面∥平面，平面∩平面，平面∩平面

// 或中点在上,
或为平行四边形,即.
所以,过点A在平面ABC内作直线平行于BC，则所作直线即为l,以A为圆心BC长为半径作弧与l交点即为点 (或在l上到A距离为2的点即为点)
4.选讲1（极坐标参数方程）
在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
（1）求曲线C1与C2的直角坐标方程；
（2）当C1与C2有两个公共点时，求实数t的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
∵，
将代入上式可得，
曲线C2的直角坐标方程为．
（2）由（1）知曲线C1的普通方程为，是以（2,3）为圆心，半径为2的半圆弧．
由曲线C2与C1有两个公共点，则当C2与C1相切时，
可得，解得，
解得（舍去）．
当C2过点（4，3）时，可得4-3＋t=0，
解得．
结合图形可得．
， ．
5.选讲2（不等式）
已知函数
（1）若对于任意的实数，都有成立，求的取值范围；
（2）若方程有两个不同的实数解，求的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
解析：
（1）由于，
所以的最小值为.又因为对任意的实数，都有
成立，只需，即
，解得，故的取值范围为.