2018版题型突破唯我独尊之高考数学（理）解答题揭秘高端精品专题2.5+中档大题规范练05（三角%2b概率%2b立体几何%2b选讲）（第01期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
三角大题
解三角形的实际应用问题
能通过数学建模，利用正余弦定理解决实际问题
概率大题
非线性回归方程的求解；
超几何的应用
换元法求解非线性回归方程；
此题数据较多，体现了数据处理能力
立体几何
四棱台中的线面、面面关系
能通过空间的线线线面关系证明面面垂直；
能转化线面角及利用空间向量求解二面角
选讲1（极坐标参数方程）
参普互化注意范围的一致性；
直线与半圆的位置关系
消参过程注意参数范围；
数形结合处理图像的位置关系
选讲2（不等式）
含两个绝对值恒成立求参问题；
含两个绝对值的方程有解问题求参
分段讨论去绝对值求最值；
利用数形结合思想解决方程问题
1.三角大题
如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛 海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛 海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．
（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？
（Ⅱ）现测得， ．已知速度为海里/小时()的小艇每小时的总费用为()元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？
【答案】（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元.
试题解析：
（Ⅰ）如图，根据题意得：
， ， ， ．
在中，由余弦定理得，
,
所以客轮的航行速度（海里/小时）．
因为，所以，
所以．
在中，由余弦定理得， ，
整理得： ，
解得或（不合舍去）．
所以客轮从处到岛所用的时间小时，
小张到岛所用的时间至少为小时．
由于，
所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.
所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为
()，
当且仅当，即时， （元）.
所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元．
2.概率大题
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费和年销售量的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
年宣传费（万元）
38
48
58
68
78
88
年销售量（吨）
16．8
18．8
20．7
22．4
24．0
25．5
经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
75．3
24．6
18．3
101．4
（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间内时认为该年效益良好。现从这6年中任选3年，记其中选到效益良好年的数量为，试求随机变量的分布列和期望。（其中为自然对数的底数， ）
附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【答案】(1) ；(2)见解析.
（2）先借助题设条件，于是求出，即6年中有三年是“效益良好年”， 求得， ，从而求出分布列和数学期望。
（2）由，于是，即6年中有三年是“效益良好年”， ，由题得，
所以 的分布列如表所示，且 。
3.立体几何
四棱台被过点的平面截去一部分后得到如图所示的几何体，其下底面四边形是边长为2的菱形，，平面，.
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若与底面所成角的正切值为2，求二面角的余弦值.
【答案】（I）详见解析；（II）.
（Ⅱ）∵平面
∴与底面所成角为，∴，∴
设,交于点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.
则，，,.
，
同理，
，，
.
设平面的法向量，
∴则，
设平面的法向量，
则，
设二面角为，.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
4.选讲1（极坐标参数方程）
在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
（1）求曲线C1与C2的直角坐标方程；
（2）当C1与C2有两个公共点时，求实数t的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
∵，
将代入上式可得，
曲线C2的直角坐标方程为．
（2）由（1）知曲线C1的普通方程为，是以（2,3）为圆心，半径为2的半圆弧．
由曲线C2与C1有两个公共点，则当C2与C1相切时，
可得，解得，
解得（舍去）．
当C2过点（4，3）时，可得4-3＋t=0，
解得．
结合图形可得．
， ．
5.选讲2（不等式）
已知函数
（1）若对于任意的实数，都有成立，求的取值范围；
（2）若方程有两个不同的实数解，求的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
解析：