2018版题型突破高考数学（理）解答题揭秘高端精品专题2.4+中档大题规范练04（三角%2b概率%2b立体几何%2b选讲）（第01期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
三角大题
多三角形背景下的正余弦定理的应用；
多变量的最值问题
巧用公共边列两次余弦定理方程得解；
二元换一元的思想求代数式的最值
概率大题
独立性检验的应用；
会从统计学的角度分析设备的优劣；
古典概型背景下的离散型随机变量的分布列
本题体现了处理数据和分析数据的能力；
离散型随机变量的概率运算
立体几何
由二面角求线面角；
列方程求解动点位置
由平行和二面角考查了空间想象力；
由于点的位置不确定，需要引进变量，从而加大了本题的运算
选讲1（极坐标参数方程）
伸缩变换求方程；
椭圆参数方程的应用
利用椭圆的参数方程求最值；
三角函数的有界性
选讲2（不等式）
多变量的因式分解；
证明绝对值不等式
会用分析法证明不等式
1.三角大题
如图,在平面四边形ABCD中,已知AB=BC=CD=2，AD=
(1)求的值;
(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2,求的最大值,
【答案】（1）；(2).
（2）由题意

所以：

，
，解之得：
所以当时，.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
2.概率大题
2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1：设备改造后样本的频数分布表
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.
附：
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】(1) 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关(2)见解析
试题解析：（1）根据图3和表1得到列联表：
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
合计
200
200
400
将列联表中的数据代入公式计算得：
.
∵，
∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.
（2）根据图和表可知，设备改造前产品为合格品的概率约为，设备改造后产品为合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.
（3）由表1知：
一等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；
二等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；
三等品的频率为，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为.
由已知得：随机变量的取值为： ， ， ， ， .
3.立体几何
如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）设二面角的正切值为，，为线段上一点，且与平面所成角的正弦值为，求.
【答案】（1）见解析；（2）或..
【解析】试题分析：（1）证明线面平行只需在面内找一线与已知线平行即可，通常构建三角形中位线或者平行四边形，根据题意我们可以取的中点，连接，∵侧面为平行四边形，∴为的中点，∴，又，∴，
∴四边形为平行四边形，则.进而得出结论（2）先求出二面角，过作于，连接，则即为二面角的平面角.然后建立空间直角坐标系求出面ABD的法向量和斜线CE的坐标，根据向量夹角公式得出等式即可求解.
解析：（1）证明：取的中点，连接，
∵侧面为平行四边形，∴为的中点，
∴，又，∴，
∴四边形为平行四边形，则.
∵平面，平面，∴平面.
4.选讲1（极坐标参数方程）
已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）,
（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线经过伸缩变换得到曲线，曲线任一点为，求点直线的距离的最大值.
【答案】（Ⅰ）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ） .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，经过伸缩变换得到曲线的方程为，所以曲线的方程，可以令 (是参数)，根据点到直线的距离公式可得
,
故点到直线的距离的最大值为.
5.选讲2（不等式）
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若、， ， ，证明： .
【答案】（1）.（2）见解析.