2018版题型突破高考数学（理）解答题揭秘高端精品专题2.1+中档大题规范练01（三角%2b概率%2b立体几何%2b选讲）（第01期）

类型
试 题 亮 点
解题方法/思想/素养
三角大题
三角形与外接圆的关系，三角形中的中线问题
正弦定理角化边，余弦定理解三角形边长，面积公式计算面积
概率大题
二项分布的应用，平均数的计算，概率中的决策问题
体现了学生的数学建模能力、数据分析能力和计算能力
立体几何
面面垂直的证明，四棱锥的体积和线面角的求解
利用直观想象证明线线线面的关系，会用空间直角坐标系解决线面角
选讲1（极坐标参数方程）
极直互化，参普互化
非标准形式的直线参数方程的应用
会用直线的参数方程解决距离问题
选讲2（不等式）
解绝对值不等式；绝对值含参的恒成立求参问题
能用零点分段去绝对值解不等式，能将绝对值不等式等价转化求最值解决恒成立问题
1.三角大题
内接于半径为的圆， 分别是的对边，且.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若是边上的中线， ，求的面积.
【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ) .
(Ⅱ)以为邻边作平行四边形，在中， .
在中，由余弦定理得.
即： ,解得， .
故.
2.概率大题
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
【答案】（1）（2）①15元②公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利
【试题解析】
②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加（元），
将题目中的天数转化为频率，得
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为（元）
因，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.
3.立体几何
如图，在四棱锥中， ，且．
（Ⅰ）当时，证明：平面平面；
（Ⅱ）当四棱锥的体积为，且二面角为钝角时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析(2)
试题解析：（Ⅰ）取的中点，连接，
∵为正三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴四边形为矩形，∴，
在中， ， ， ，∴，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
在平面内过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
由题意可知， ， ， ， ， ，
设平面的一个法向量为，则，得，
令，则，∴，
，设直线与平面所成的角为，
则 ．
则直线与平面所成角的正弦值为．
4.选讲1（极坐标参数方程）
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点的坐标为，直线与曲线交于，两点，求的值.
【答案】(1) ， (2)8
（2）在（为参数）中，令，
得直线的参数方程的标准形式为（为参数），
代入曲线：，整理得：，
设，所对应参数分别为，，则，，
所以，．
5.选讲2（不等式）
已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
(2)不等式在上恒成立，
在上恒成立，
在上恒成立，
在上恒成立，
由(当且仅当时取等号)，
(当且仅当时取等号)，