2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透专题02“导数工具处理最值”之数学模型通关
文档属性
| 名称 | 2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透专题02“导数工具处理最值”之数学模型通关 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-04-18 16:25:47 | ||
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文档简介
专题02 “导数工具，处理最值”之数学模型通关
一、导数为器，求解最值
1．已知函数（，且）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在上的最大值.
【思路引导】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II) 由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，
由此可知.
∵， ，
∴.
设，
则 .
∵当时， ，∴在上单调递增.
又∵，∴当时， ；当时， .
①当时， ，即，这时， ；
②当时， ，即，这时， .
综上， 在上的最大值为：当时， ；
当时， .
2．已知函数．
（）当时，求的单调区间．
（）当时，求函数在区间上的最小值．
（）在条件（）下，当最小值为时，求的取值范围．
【思路引导】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性可求得函数在区间上的最小值；（3）分三种情况讨论的范围，分别利用导数求出函数的最小值，排除不合题意的情况，即可筛选出符合题意的的取值范围.
试题解析：（ ）由函数可知，
函数的定义域是，且，
当时， ，
令，得；令，得，
∴的单调增区间为，单调减区间是；
当时，令得或，
若，即，则恒成立，∴在上单调递增，
若，即，则和时， ，当时， ，
∴在和上单调递增，在上单调递减；
若，即，则和时， ，当时， ，
∴在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时， 的单调区间为，单调减区间是，
当时， 的单调增区间为和，单调减区间是；
当时， 的单调增区间是；
当时， 的单调增区间是和，单调减区间是．
∴在的最小值是，
综上所述，当时， 在上的最小值是；
当时， 在上的最小值是；
当时， 在上的最小值是．
（）由（）可知，当时， 在上单调递增，
∴在上的最小值是；
当时， 在上单调递减，在上单调递增，
∴在上最小值是；
当时， 在上单调递减，
∴在上的最小值是；
综上，若在区间上的最小值是，则，
故的取值范围是．
3．已知函数.
（Ⅰ）设函数，试讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数 ，求函数的最小值.
【思路引导】（Ⅰ） ， ，讨论导函数的正负从而得函数单调性；
（Ⅱ）函数，令，则，从而通过求和的最小值进而可得的最小值.
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为， ，
故 ．
令，得或，
当时， ， 在上为单调增函数，
当时， ， 在上为单调减函数，
当时， ， 在上为单调增函数，
故函数在上单增，在上单减，在上单增．
（Ⅱ）函数，
由（Ⅰ）得函数在上单增，在上单减，在上单增，
∵时， ，而，
故函数的最小值为，
令，得 ，
当时， ， 在上为单调减函数，
当时， ， 在上为单调增函数，
∴函数的最小值为，
故当时，函数的最小值为.
4．已知函数．
（）当时，求曲线在点处的切线方程．
（）求的单调区间．
（）求证：当时，函数存在最小值．
【思路引导】（1）分别求得和，由点斜式可得直线方程；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，由导函数的正负求单调区间即可； （3）结合（2）得到函数f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），而x∈（-∞，-a）时，f（x）=ex[x（x+a）+a]>0，从而求出f（x）的最小值是f（-2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（-2）即可．
试题解析：（）当时， ， ，
∴， ，
∴曲线在点处的切线方程为： ，
即．
③当，即时，令，
得或；
令，得，
∴的单调增区间是和，
单调减区间是．
综上所述，当时，函数在上递增；
当时， 的单调增区间是和，单调减区间是；
当时， 的单调增区间是和，单调减区间是．
（）由（）得：当时，函数在上有，
且，
∵，
∴时， ， ， ，
∴时，函数存在最小值．
【总结】利用导数求函数在闭区间上的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数，本题中是将一个函数拆为两个函数分别求得最值，又恰好在同一处取到.
二、构造函数，利用最值求证不等关系
1．已知函数.
（1）当时，试判断函数的单调性；
（2）若，求证：函数在上的最小值小于.
【思路引导】（1）第（1）问，直接求导，再利用二次求导求函数的单调性. (2)第（2）问，对a分类讨论，再利用导数求出求每一种情况下函数的单调性，从而证明函数在上的最小值小于.
（2）由（1）知在上单调递増，
因为，所以，
所以存在，使得，即，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时
，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，即当时，
故函数在上的最小值小于.
2．已知函数， .
（1）求函数的单调区间；
（2）比较与的大小，并加以证明；
【思路引导】（１）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，对应确定单调区间，（２）构造差函数，求导得单调性，根据零点存在定理确定零点区间以及满足条件，根据单调性确定函数最小值取法，最后确定最小值大于零.
试题解析：（1），
令，得， ；
令，得或；
令，得.
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）.
证明如下：
设 ，∵为增函数，
∴可设，∵， ，∴.
当时， ；当时， .
∴ ，
又，∴，
∴ .
∵，∴，
∴， .
3．已知函数， .
（1）比较与的大小，并加以证明；
（2）当时， ，且 ，证明： .
【思路引导】（1）构造差函数，求导得单调性，根据零点存在定理确定零点区间以及满足条件，根据单调性确定函数最小值取法，最后确定最小值大于零.（2）先确定函数单调性，得，再根据，确定.
试题解析：（1）.
证明如下：设 ，∵为增函数，
∴可设，∵， ，∴.
当时， ；当时， .
∴ ，
又，∴，
∴ .
∵，∴，
∴， .
（2）证明：设 ，
令，得， ，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
，设，
∵ ，
∴ ，即 .
当时， ，则.
当时， ，∵，∴，∴.
当或时，不合题意.
从而.
4．已知函数 .
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）讨论函数的单调区间;
（3）求证：若函数在处取得极值,则对恒成立.
【思路引导】（1）求出,,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（3）由，计算得出,取经检验满足条件， ,则,令利用导数求出的最小值即可得结果.
试题解析：（1）因为,当时, ,
当, ,
所以曲线在点处的切线方程.
（2）因为在, ,
当时, 在上单调递减.
当时, .
当时, , 单调递减;
当时, , 单调递增;
综上所述,当时, 单调减区间,无增区间.
当时, 单调增区间,单调减区间.
5．设函数， .
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记的最小值为，证明： .
【思路引导】（1）函数的定义域为，对函数求导得，对实数分分两种情况讨论，得出单调性；（2）由（1）知， ， ， ，所以单调递减，又， ，所以存在，使得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减；所以，再证明出。
试题解析（1）的定义域为， ，
当时， ， 在上单调递增；
当时，当， ， 单调递减；
当， ， 单调递增；
综上，当时， 在上单调递增；
当时， 在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知， ，
即.
解法一： ， ，
∴单调递减，
又， ，所以存在，使得，
∴当时， ， 单调递增；
当时， ， 单调递减；
∴ ，又，即， ，
∴ ，令，则在上单调递增，
又，所以，∴.
解法二：要证，即证，即证： ，
令，则只需证，
，
当时， ， 单调递减；
当时， ， 单调递增；
所以 ，
所以，即.
6．已知函数 .
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数，记函数在上的最小值为，求证： .
【思路引导】（1）求导得，结合，由点斜式可得切线方程；
（2）由，得，令， ，则在上单调递增，又，则存在使得成立，从而得，求导求范围即可.
试题解析：（1）由题意知， ，∴，
∴， ，则所求切线方程为，即.
（2）由题意知， ，
∴.
令，∴，则在上单调递增，
又，则存在使得成立，
∵，∴.
当时， ，当时， ，
∴.
令，则，
∵，∴，∴.
7．已知函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明．
【思路引导】（I）首先求函数的导数 ，分和两种情况求函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）知当时，函数的最大值是 ，即，再构造函数，利用函数的导数求函数的最大值小于等于0.
试题解析：（1）f(x)的定义域为，
若，则当时，，故在单调递增
若，则当时，；当时，
故在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为
所以等价于，即
设，则
当时，；当，.
所以在（0,1）单调递增，在单调递减.
故当时，取得最大值，最大值为
所以当时，
从而当时，，即
【总结】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
三、利用最值，求解恒成立问题
1．已知函数， ，函数的图象在点处的切线的斜率为，函数在处取得极小值.
（1）求函数， 的解析式；
（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【思路引导】（1）由已知有求出，由求得，所以， ；（2）令，将问题转化为对任意的恒成立， ，对实数分情况讨论，得出单调性，求出最小值，从而得出的范围。
①当时， ， 在上单调递减， ，满足题意.
②当时， ， 在上单调递减， ，满足题意.
③当时， 在上恒成立， 在上恒成立.
所以在单调递减，在上单调递增，所以，不满足题意.
综上所述，实数的取值范围为.
2．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若恒成立，求的最小值．
【思路引导】（1）通过两次求导可得在上单调递增，又，∴当时， 递减，当时递增， 的极小值为，无极大值；（2）恒成立等价于恒成立，当在上单调递增，不合题意，当可得，即， ，令，只需利用导数求出即可的结果.
试题解析：（1）， 恒成立，
∴在上单调递增，又，∴当时， 递减，
当时， 递增，∴的极小值为，无极大值.
（2）即，
令，即证当时， 恒成立，
则，当在上单调递增，当时， ，与矛盾.
②当在上单调递减，当上单调递增，
∴，即，
∴，令，
∴，令得，
令得，∴，
即当时， 的最小值为．
3．已知函数， .
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【思路引导】（1）先根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即得在上恒成立，参变分离得，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数的取值范围.
试题解析：（1）由，得.
由题意， ，所以.
（2）.
因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立.
问题等价于函数，
即在上为增函数，
所以在上恒成立.即在上恒成立.
所以，即实数的取值范围是.
（3）不等式等价于，整理得.构造函数，
由题意知，在上存在一点，使得.
.
因为，所以，令，得.
①当，即时， 在上单调递增.只需，解得.
②当即时， 在处取最小值.
令即，可得.
令，即，不等式可化为.
因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.
③当，即时， 在上单调递减，只需，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
4．已知函数， 为自然对数的底数.
（1）若当时， 恒成立，求的取值范围；
（2）设，若对恒成立，求的最大值.
【思路引导】（1）因为，所以恒成立，由于，所以设，则恒成立，根据一次函数单调性即得的取值范围；（2）令，则原问题转化为对恒成立.根据二次求导可得， ，即得，再利用导数求函数最大值，即得的最大值.
试题解析：（1）由题意得，且，注意到
设，则，则为增函数，且.
讨论如下：
①若， ，得在上单调递增，有，得在上单调递增，有，合题意；
（2）当时， ，即.
令，则原问题转化为对恒成立.
令， .
若，则，得单调递增，当时， ， 不可能恒成立，舍去；
若，则；
若，则易知在处取得最小值，所以， ，将看做新的自变量，即求函数的最大值，
则，令，得.
所以在上递增，在上递减，所以，
即的最大值为，此时， .
5．设函数（）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若对任意及任意， ，恒有成立，求实数的取值范围.
【思路引导】(1)函数的定义域为,当时, ,由此求得函数的单调区间,并求得当时函数取得最小值为,无极大值.(2)利用导数求得函数在区间上的最大值与最小值,得到的最大值为,故,分离常数得,而,所以.
【试题解析】（1）函数的定义域为
当时， ， .
当时， ， 单调递减；
当时， . 单调递增.
∴，无极大值.
（2），
当时， 在上单减，
是最大值， 是最小值.
∴
∴，
而经整理得，由得，
所以.
6．已知函数．
（1）求在上的最小值；
（2）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值．
【思路引导】（1）对函数求导，由于不能因式分解，但是能观察出零点，进一步求二阶导可知导函数单调，所以导函数只有唯一零。（2）由，所以方程 有两个不同的实根 ，通过韦达定理把待证不等式消去，再分离参数t，可解。
试题解析：（Ⅰ）
, ∴
∴在单调递增，又
∴， 在单调递减
， 在单调递增
∴
（Ⅱ）
根据题意，方程 有两个不同的实根 ，
所以，且 ， ， ．
由
可得，又
所以上式化为对任意的恒成立．
（I）当 时，不等式恒成立， ；
（III）当 时， 恒成立，即．
由（II），当 时， ，所以 ．
综上所述
7．已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若时, ,求的取值范围.
【思路引导】（Ⅰ）由已知得，即可求解的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设，求得，根据题意，得，利用导数分类讨论，的奥函数的单调性与最值，即可求得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由已知得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ,
设,
则
由题意知, ,即,
令,则,
当即时,
由得, ,
由得, ,
所以在单调递减,在单调递增,
所以在区间上的最小值,
所以当时, 即恒成立.
当即时, 恒成立,即在单调递增,
所以在区间上的最小值,
所以当时, 即恒成立.
当即时, 恒成立即在单调递增,
所以在区间上的最小值,
所以当时, 不可能恒成立.
综上所示, 的取值范围是.
【总结】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）
四、利用最值，求解函数图象相关问题
1．已知函数和．
（）若，求证的图像永远在图像的上方．
（）若和的图像有公共点，且在点处的切线相同，求的取值范围．
【思路引导】（1）原题等价于恒成立，研究函数的单调性使得函数的最小值大于0即可；（2）根据导数的几何意义得到设的坐标为,，且，消去，可得，可得，有解即可.
解析：（）若，有，
令，
，
当时， ， 单调递增，
当时， ， 单调递减，
可得在处取得极小值，且为最小值，
且，
即有恒成立，则的图象在图象上方．
（）设的坐标为， ， ，
， ，
∵，且，
消去，可得，
可得，
令，
，
当时， ， 递增，
当时， ， 递减．
可得在处取得极小值，且为最小值，
，
∴．
2．已知函数（为自然对数的底, 为常数）.
（Ⅰ）讨论函数的单调性;
（Ⅱ）对于函数和,若存在常数,对于任意,不等式都成立,则称直线是函数的分界线,设,问函数与函数是否存在“分界线”？若存在,求出常数;若不存在,说明理由.
【思路引导】（Ⅰ）当时，得在上单调递增，再分和两种情况讨论，即可求解函数的单调性；（Ⅱ）把存在恒成立，转化为恒成立，进而只需判断是否恒成立，设出新函数，利用导数得到函数单调性和最值，即可求解实数的值．
试题解析：（Ⅰ）当时, ,则在上单调递增
当时, ,令
若,则随的变化情况如下表：
则在单调递减,在单调递增
若,则随的变化情况如下表：
则在单调递增,在单调递减
综上,当时, 在R上单调递增;当时, 在单调递减,在单调递增;当时, 在单调递增,在单调递减
则在处取得最小值,且
则恒成立,即证恒成立
故存在分界线,且, ,
一、导数为器，求解最值
1．已知函数（，且）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在上的最大值.
【思路引导】(I)利用的二阶导数来研究求得函数的单调区间.(II) 由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，由此可知.利用导数和对分类讨论求得函数在不同取值时的最大值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得在上单调递减，在上单调递增，
由此可知.
∵， ，
∴.
设，
则 .
∵当时， ，∴在上单调递增.
又∵，∴当时， ；当时， .
①当时， ，即，这时， ；
②当时， ，即，这时， .
综上， 在上的最大值为：当时， ；
当时， .
2．已知函数．
（）当时，求的单调区间．
（）当时，求函数在区间上的最小值．
（）在条件（）下，当最小值为时，求的取值范围．
【思路引导】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，根据单调性可求得函数在区间上的最小值；（3）分三种情况讨论的范围，分别利用导数求出函数的最小值，排除不合题意的情况，即可筛选出符合题意的的取值范围.
试题解析：（ ）由函数可知，
函数的定义域是，且，
当时， ，
令，得；令，得，
∴的单调增区间为，单调减区间是；
当时，令得或，
若，即，则恒成立，∴在上单调递增，
若，即，则和时， ，当时， ，
∴在和上单调递增，在上单调递减；
若，即，则和时， ，当时， ，
∴在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时， 的单调区间为，单调减区间是，
当时， 的单调增区间为和，单调减区间是；
当时， 的单调增区间是；
当时， 的单调增区间是和，单调减区间是．
∴在的最小值是，
综上所述，当时， 在上的最小值是；
当时， 在上的最小值是；
当时， 在上的最小值是．
（）由（）可知，当时， 在上单调递增，
∴在上的最小值是；
当时， 在上单调递减，在上单调递增，
∴在上最小值是；
当时， 在上单调递减，
∴在上的最小值是；
综上，若在区间上的最小值是，则，
故的取值范围是．
3．已知函数.
（Ⅰ）设函数，试讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设函数 ，求函数的最小值.
【思路引导】（Ⅰ） ， ，讨论导函数的正负从而得函数单调性；
（Ⅱ）函数，令，则，从而通过求和的最小值进而可得的最小值.
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为， ，
故 ．
令，得或，
当时， ， 在上为单调增函数，
当时， ， 在上为单调减函数，
当时， ， 在上为单调增函数，
故函数在上单增，在上单减，在上单增．
（Ⅱ）函数，
由（Ⅰ）得函数在上单增，在上单减，在上单增，
∵时， ，而，
故函数的最小值为，
令，得 ，
当时， ， 在上为单调减函数，
当时， ， 在上为单调增函数，
∴函数的最小值为，
故当时，函数的最小值为.
4．已知函数．
（）当时，求曲线在点处的切线方程．
（）求的单调区间．
（）求证：当时，函数存在最小值．
【思路引导】（1）分别求得和，由点斜式可得直线方程；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，由导函数的正负求单调区间即可； （3）结合（2）得到函数f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），而x∈（-∞，-a）时，f（x）=ex[x（x+a）+a]>0，从而求出f（x）的最小值是f（-2）；法二：根据函数的单调性求出f（x）的最小值是f（-2）即可．
试题解析：（）当时， ， ，
∴， ，
∴曲线在点处的切线方程为： ，
即．
③当，即时，令，
得或；
令，得，
∴的单调增区间是和，
单调减区间是．
综上所述，当时，函数在上递增；
当时， 的单调增区间是和，单调减区间是；
当时， 的单调增区间是和，单调减区间是．
（）由（）得：当时，函数在上有，
且，
∵，
∴时， ， ， ，
∴时，函数存在最小值．
【总结】利用导数求函数在闭区间上的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数，本题中是将一个函数拆为两个函数分别求得最值，又恰好在同一处取到.
二、构造函数，利用最值求证不等关系
1．已知函数.
（1）当时，试判断函数的单调性；
（2）若，求证：函数在上的最小值小于.
【思路引导】（1）第（1）问，直接求导，再利用二次求导求函数的单调性. (2)第（2）问，对a分类讨论，再利用导数求出求每一种情况下函数的单调性，从而证明函数在上的最小值小于.
（2）由（1）知在上单调递増，
因为，所以，
所以存在，使得，即，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时
，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，
所以，即当时，
故函数在上的最小值小于.
2．已知函数， .
（1）求函数的单调区间；
（2）比较与的大小，并加以证明；
【思路引导】（１）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号，对应确定单调区间，（２）构造差函数，求导得单调性，根据零点存在定理确定零点区间以及满足条件，根据单调性确定函数最小值取法，最后确定最小值大于零.
试题解析：（1），
令，得， ；
令，得或；
令，得.
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）.
证明如下：
设 ，∵为增函数，
∴可设，∵， ，∴.
当时， ；当时， .
∴ ，
又，∴，
∴ .
∵，∴，
∴， .
3．已知函数， .
（1）比较与的大小，并加以证明；
（2）当时， ，且 ，证明： .
【思路引导】（1）构造差函数，求导得单调性，根据零点存在定理确定零点区间以及满足条件，根据单调性确定函数最小值取法，最后确定最小值大于零.（2）先确定函数单调性，得，再根据，确定.
试题解析：（1）.
证明如下：设 ，∵为增函数，
∴可设，∵， ，∴.
当时， ；当时， .
∴ ，
又，∴，
∴ .
∵，∴，
∴， .
（2）证明：设 ，
令，得， ，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
，设，
∵ ，
∴ ，即 .
当时， ，则.
当时， ，∵，∴，∴.
当或时，不合题意.
从而.
4．已知函数 .
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）讨论函数的单调区间;
（3）求证：若函数在处取得极值,则对恒成立.
【思路引导】（1）求出,,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（3）由，计算得出,取经检验满足条件， ,则,令利用导数求出的最小值即可得结果.
试题解析：（1）因为,当时, ,
当, ,
所以曲线在点处的切线方程.
（2）因为在, ,
当时, 在上单调递减.
当时, .
当时, , 单调递减;
当时, , 单调递增;
综上所述,当时, 单调减区间,无增区间.
当时, 单调增区间,单调减区间.
5．设函数， .
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记的最小值为，证明： .
【思路引导】（1）函数的定义域为，对函数求导得，对实数分分两种情况讨论，得出单调性；（2）由（1）知， ， ， ，所以单调递减，又， ，所以存在，使得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减；所以，再证明出。
试题解析（1）的定义域为， ，
当时， ， 在上单调递增；
当时，当， ， 单调递减；
当， ， 单调递增；
综上，当时， 在上单调递增；
当时， 在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知， ，
即.
解法一： ， ，
∴单调递减，
又， ，所以存在，使得，
∴当时， ， 单调递增；
当时， ， 单调递减；
∴ ，又，即， ，
∴ ，令，则在上单调递增，
又，所以，∴.
解法二：要证，即证，即证： ，
令，则只需证，
，
当时， ， 单调递减；
当时， ， 单调递增；
所以 ，
所以，即.
6．已知函数 .
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数，记函数在上的最小值为，求证： .
【思路引导】（1）求导得，结合，由点斜式可得切线方程；
（2）由，得，令， ，则在上单调递增，又，则存在使得成立，从而得，求导求范围即可.
试题解析：（1）由题意知， ，∴，
∴， ，则所求切线方程为，即.
（2）由题意知， ，
∴.
令，∴，则在上单调递增，
又，则存在使得成立，
∵，∴.
当时， ，当时， ，
∴.
令，则，
∵，∴，∴.
7．已知函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，证明．
【思路引导】（I）首先求函数的导数 ，分和两种情况求函数的单调区间；（Ⅱ）由（I）知当时，函数的最大值是 ，即，再构造函数，利用函数的导数求函数的最大值小于等于0.
试题解析：（1）f(x)的定义域为，
若，则当时，，故在单调递增
若，则当时，；当时，
故在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为
所以等价于，即
设，则
当时，；当，.
所以在（0,1）单调递增，在单调递减.
故当时，取得最大值，最大值为
所以当时，
从而当时，，即
【总结】利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
三、利用最值，求解恒成立问题
1．已知函数， ，函数的图象在点处的切线的斜率为，函数在处取得极小值.
（1）求函数， 的解析式；
（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【思路引导】（1）由已知有求出，由求得，所以， ；（2）令，将问题转化为对任意的恒成立， ，对实数分情况讨论，得出单调性，求出最小值，从而得出的范围。
①当时， ， 在上单调递减， ，满足题意.
②当时， ， 在上单调递减， ，满足题意.
③当时， 在上恒成立， 在上恒成立.
所以在单调递减，在上单调递增，所以，不满足题意.
综上所述，实数的取值范围为.
2．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若恒成立，求的最小值．
【思路引导】（1）通过两次求导可得在上单调递增，又，∴当时， 递减，当时递增， 的极小值为，无极大值；（2）恒成立等价于恒成立，当在上单调递增，不合题意，当可得，即， ，令，只需利用导数求出即可的结果.
试题解析：（1）， 恒成立，
∴在上单调递增，又，∴当时， 递减，
当时， 递增，∴的极小值为，无极大值.
（2）即，
令，即证当时， 恒成立，
则，当在上单调递增，当时， ，与矛盾.
②当在上单调递减，当上单调递增，
∴，即，
∴，令，
∴，令得，
令得，∴，
即当时， 的最小值为．
3．已知函数， .
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【思路引导】（1）先根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即得在上恒成立，参变分离得，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数的取值范围.
试题解析：（1）由，得.
由题意， ，所以.
（2）.
因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立.
问题等价于函数，
即在上为增函数，
所以在上恒成立.即在上恒成立.
所以，即实数的取值范围是.
（3）不等式等价于，整理得.构造函数，
由题意知，在上存在一点，使得.
.
因为，所以，令，得.
①当，即时， 在上单调递增.只需，解得.
②当即时， 在处取最小值.
令即，可得.
令，即，不等式可化为.
因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.
③当，即时， 在上单调递减，只需，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
4．已知函数， 为自然对数的底数.
（1）若当时， 恒成立，求的取值范围；
（2）设，若对恒成立，求的最大值.
【思路引导】（1）因为，所以恒成立，由于，所以设，则恒成立，根据一次函数单调性即得的取值范围；（2）令，则原问题转化为对恒成立.根据二次求导可得， ，即得，再利用导数求函数最大值，即得的最大值.
试题解析：（1）由题意得，且，注意到
设，则，则为增函数，且.
讨论如下：
①若， ，得在上单调递增，有，得在上单调递增，有，合题意；
（2）当时， ，即.
令，则原问题转化为对恒成立.
令， .
若，则，得单调递增，当时， ， 不可能恒成立，舍去；
若，则；
若，则易知在处取得最小值，所以， ，将看做新的自变量，即求函数的最大值，
则，令，得.
所以在上递增，在上递减，所以，
即的最大值为，此时， .
5．设函数（）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若对任意及任意， ，恒有成立，求实数的取值范围.
【思路引导】(1)函数的定义域为,当时, ,由此求得函数的单调区间,并求得当时函数取得最小值为,无极大值.(2)利用导数求得函数在区间上的最大值与最小值,得到的最大值为,故,分离常数得,而,所以.
【试题解析】（1）函数的定义域为
当时， ， .
当时， ， 单调递减；
当时， . 单调递增.
∴，无极大值.
（2），
当时， 在上单减，
是最大值， 是最小值.
∴
∴，
而经整理得，由得，
所以.
6．已知函数．
（1）求在上的最小值；
（2）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值．
【思路引导】（1）对函数求导，由于不能因式分解，但是能观察出零点，进一步求二阶导可知导函数单调，所以导函数只有唯一零。（2）由，所以方程 有两个不同的实根 ，通过韦达定理把待证不等式消去，再分离参数t，可解。
试题解析：（Ⅰ）
, ∴
∴在单调递增，又
∴， 在单调递减
， 在单调递增
∴
（Ⅱ）
根据题意，方程 有两个不同的实根 ，
所以，且 ， ， ．
由
可得，又
所以上式化为对任意的恒成立．
（I）当 时，不等式恒成立， ；
（III）当 时， 恒成立，即．
由（II），当 时， ，所以 ．
综上所述
7．已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若时, ,求的取值范围.
【思路引导】（Ⅰ）由已知得，即可求解的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设，求得，根据题意，得，利用导数分类讨论，的奥函数的单调性与最值，即可求得实数的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）由已知得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ,
设,
则
由题意知, ,即,
令,则,
当即时,
由得, ,
由得, ,
所以在单调递减,在单调递增,
所以在区间上的最小值,
所以当时, 即恒成立.
当即时, 恒成立,即在单调递增,
所以在区间上的最小值,
所以当时, 即恒成立.
当即时, 恒成立即在单调递增,
所以在区间上的最小值,
所以当时, 不可能恒成立.
综上所示, 的取值范围是.
【总结】导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）
四、利用最值，求解函数图象相关问题
1．已知函数和．
（）若，求证的图像永远在图像的上方．
（）若和的图像有公共点，且在点处的切线相同，求的取值范围．
【思路引导】（1）原题等价于恒成立，研究函数的单调性使得函数的最小值大于0即可；（2）根据导数的几何意义得到设的坐标为,，且，消去，可得，可得，有解即可.
解析：（）若，有，
令，
，
当时， ， 单调递增，
当时， ， 单调递减，
可得在处取得极小值，且为最小值，
且，
即有恒成立，则的图象在图象上方．
（）设的坐标为， ， ，
， ，
∵，且，
消去，可得，
可得，
令，
，
当时， ， 递增，
当时， ， 递减．
可得在处取得极小值，且为最小值，
，
∴．
2．已知函数（为自然对数的底, 为常数）.
（Ⅰ）讨论函数的单调性;
（Ⅱ）对于函数和,若存在常数,对于任意,不等式都成立,则称直线是函数的分界线,设,问函数与函数是否存在“分界线”？若存在,求出常数;若不存在,说明理由.
【思路引导】（Ⅰ）当时，得在上单调递增，再分和两种情况讨论，即可求解函数的单调性；（Ⅱ）把存在恒成立，转化为恒成立，进而只需判断是否恒成立，设出新函数，利用导数得到函数单调性和最值，即可求解实数的值．
试题解析：（Ⅰ）当时, ,则在上单调递增
当时, ,令
若,则随的变化情况如下表：
则在单调递减,在单调递增
若,则随的变化情况如下表：
则在单调递增,在单调递减
综上,当时, 在R上单调递增;当时, 在单调递减,在单调递增;当时, 在单调递增,在单调递减
则在处取得最小值,且
则恒成立,即证恒成立
故存在分界线,且, ,
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