2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透专题03+丰富多彩的函数压轴题第二问通关

专题03 丰富多彩的函数压轴题第二问通关
一、利用导数证明不等式
1．已知．
（1）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由；
（2）若是的极值点，证明．
【思路引导】（1）由题意时，得，利用导数得到函数的单调性，进而可判定函数的零点个数；（2）求得函数的导数，由是的极值点，得，得到函数的解析式，令，转化为证明，设，
根据导数得到的单调性和最小值，证得，即可作出证明．
试题解析：（1）当时， ，
， ， ，
， ，
∴在上递减，在上递增，∴恒有两个零点；
（2）∵，∵是的极值点，
∴；∴
故要证： ，令，即证，
设，即证，
，
令， ，
∴在上递增，又，
故有唯一的根， ，
当时， ，当时， ，
∴ ．
综上得证．
2．已知函数．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）当时，证明：不等式在上恒成立．
【思路引导】（1）， ，由单调区间及极值可求得最小值。（2）
由导函数，及， ， ，由根的存在性定理可知存在使得，只需证最小值>，由隐零点回代，即证 。
试题解析：（Ⅰ）当时， ， ，令解得，
0
极小值
故当时， 的最小值为．
（Ⅱ）， ， ，故存在使得，令，则当时， ，
故在单调递增，且， 是的唯一零点，且在处取得最小值，又即可得， ，构造函数： ， ，二次求导可得，故当时， ，即在单调递减，则当时， ，可得在单调递减，
在单调递减， ，得证．
3．已知函数，
（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若数列满足， ，记的前项和为，求证： ．
【思路引导】（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）当时，因为，所以显然不成立，先证明因此时， 在上恒成立，再证明当时不满足题意，从而可得结果；（III）先求出等差数列的前项和为，结合（II）可得，各式相加即可得结论．
试题解析：（Ⅰ）由，得．所以
令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为 ．
（Ⅱ）由得，
当时，因为，所以显然不成立，因此．
令，则，令，得．
当时， ， ，∴，所以，即有．
因此时， 在上恒成立．
②当时， ， 在上为减函数，在上为增函数，
∴，不满足题意．
综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是．
（III）证明：由知数列是的等差数列，所以
所以
由（Ⅱ）得， 在上恒成立．
所以． 将以上各式左右两边分别相加，得
．因为
所以
所以．
4．已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：对于任意的 ，均有．
【思路引导】（1）求出，由的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）函数在[]上单调递增 在[]上恒有．即（）恒成立，令（），只需求出的最小值即可得结果；（3）先证明当 []时， ， 递增，有成立，再讨论两种情况若，不等式恒成立，只需分两种情况证明（]时也恒成立即可．
试题解析：（1）因为函数，则．
又因为，．
所以曲线在（）处的切线方程为： ．
（3）证明： 因为，所以（）．
令（），则．
①当 []时， ， 递增，有，
因为，此时， ， 递增，
有成立．
②当（]时， ， 递减，有，
若，此时， 递增， 显然成立．
若（]，此时记，则在（]上递增，
在（]上递减．此时有，
，
构造，则，
令，求得．故在（]上递减，
在（）上递增，所以，
所以，此时满足，
综上所述，当时，对于任意的 []，均有．
5．已知函数且．
（1）求实数的值；
（2）令在上的最小值为，求证： ．
【思路引导】由题意知： 恒成立等价于在时恒成立，
令，由于，故 ，
可证： 在上单调递增；在上单调递减．故合题意．
（2）由（1）知 ，
所以，
令，可证，使得，且当时， ；当时， ，进而证明 ，
即．试题解析：（1）法1：由题意知： 恒成立等价于在时恒成立，
令，则，
当时， ，故在上单调递增，
由于，所以当时， ，不合题意．
当时， ，所以当时， ；当时， ，所以在上单调递增， 在上单调递减，即 ．
所以要使在时恒成立，则只需，
亦即，
令，则，
所以当时， ；当时， ，即在上单调递减，在上单调递增．
又，所以满足条件的只有2，
即．
法2：由题意知： 恒成立等价于在时恒成立，
令，由于，故 ，
所以为函数的最大值，同时也是一个极大值，故．
又，所以，
此时，当时， ，当时， ，
即： 在上单调递增；在上单调递减．
故合题意．
（2）由（1）知 ，
所以，
令，则，
由于，所以，即在上单调递增；又， ，
所以，使得，且当时， ；当时， ，
即在上单调递减；在上单调递增．
所以 ．（∵）
即，所以 ，
即．
6．已知函数（其中， ）．
（1）当时，求函数在点处的切线方程;
（2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围;
（3）求证：对于任意大于1的正整数，都有．
【思路引导】（1）， ， ，可求得切线方程。（2）即在区间上恒成立。（3）由（1）得 在上恒成立，即。令，得， ，不等式同向相加可得。
试题解析：（1），

，
（2），
函数在上为增函数，
对任意恒成立．
对任意恒成立，
即对任意恒成立．
时， ，
，即所求正实数的取值范围是．
（3）当时， ， ，
当时， ，
故在上是增函数．
当时，令，则当时， ．
所以，
所以， ，
所以，
即，
所以，
即对于任意大于1的正整数，都有．
二、利用导数研究不等式恒成立问题
1．设函数 ．若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【思路引导】（1）先根据导数几何意义得，再由，解得．最后求出导函数零点，列表分析导函数符号变号规律，进而确定单调区间，（2）先分离，再求函数最大值，即得实数的取值范围．
（2）设函数，故对任意，不等式恒成立．
又，当，即恒成立时，
函数单调递减，设，则，
所以，即，符合题意；
当时， 恒成立，此时函数单调递增．
于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；
当时，设，
则 ；
当时， ，此时单调递增，
所以 ，
故当时，函数单调递增．
于是当时， 成立，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为： ．
2．已知函数 ．
（1）若，函数的极大值为，求实数的值；
（2）若对任意的， ，在上恒成立，求实数的取值范围．
【思路引导】（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数的值；（2）先求， 最大值，再变量分离得 ，最后根据导数研究函数最大值，即得实数的取值范围．
试题解析：（1）由题意，
．
①当时，，
令，得；，得，
所以在单调递增单调递减．
所以的极大值为，不合题意．
②当时，，
令，得；，得或，
所以在单调递增， ， 单调递减．
所以的极大值为，得．
综上所述．
（2）令，
当时，，
故上递增，
原问题上恒成立
①当时，，，，
此时，不合题意．
②当时，令，，
则，其中，，
令，则在区间上单调递增
（ⅰ）时，，
所以对，，从而在上单调递增，
所以对任意，，
即不等式在上恒成立．
（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，
所以存在唯一的使得，且时，．
从而时，，所以在区间上单调递减，
则时，，即，不符合题意．
综上所述，．
3．已知函数 ．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程;
（2）讨论函数的单调区间;
（3）求证：若函数在处取得极值，则对恒成立．
【思路引导】（1）求出，，求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（3）由，计算得出，取经检验满足条件， ，则，令利用导数求出的最小值即可得结果．
试题解析：（1）因为，当时， ，
当， ，
所以曲线在点处的切线方程．
（3）因为函数在处取得极值，所以
计算得出，取经检验满足条件．
由已知，则，
令
易得在区间上递减，在区间上递增，
所以即，
所以若函数在处取得极值，对恒成立．
4．已知函数．
（Ⅰ）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程;
（Ⅱ）讨论函数的单调性;
（Ⅲ）设若对恒成立，求的取值范围．
【思路引导】（Ⅰ）求导，先利用求得值，再利用导数的几何意义求其切线方程；（Ⅱ）求导，通过讨论二次方程的两根的大小关系进行求解；（Ⅲ）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再通过求导进行处理．
试题解析：（Ⅰ）由得或（舍去）
经检验，当时，函数在处取得极值．
时，
则
所以所求的切线方程为 整理得．
综上所述，曲线在点 处的切线方程为
（Ⅱ）定义域为，
令得或，则且
①当时， 此时在上单调递增;
②当时， 在和上单调递增，在上单调递减；
③当时， 在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时， 在上单调递增；当时， 在和上单调递增，在上单调递减；当时， 在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅲ）由题意， ，即，
即对任意恒成立，令则
令则即在上单调递减， 上单调递增，
当时取得最小值
解得
又的取值范围为
综上所述，实数的取值范围为
5．已知函数， ，函数的图象在点处的切线的斜率为，函数在处取得极小值．
（1）求函数， 的解析式；
（2）已知不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【思路引导】（1）由已知有求出，由求得，所以， ；（2）令，将问题转化为对任意的恒成立， ，对实数分情况讨论，得出单调性，求出最小值，从而得出的范围。
试题解析：（1）， ， ， ， ．
（2）由（1）知，
令 ， ．
问题转化为对任意的恒成立．
．
①当时， ， 在上单调递减， ，满足题意．
②当时， ， 在上单调递减， ，满足题意．
③当时， 在上恒成立， 在上恒成立．
所以在单调递减，在上单调递增，所以，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围为．
6．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意的正实数都成立，求实数的最大整数；
（3）当时，若存在实数且，使得，求证： ．
【思路引导】（1）当时，，通过求导得出函数的单调性；（2）由可得对任意的正实数都成立，等价于对任意的正实数都成立，设，求出，即可求出实数的最大整数；（3）由题意，（ ），得出在上为减函数，在上为增函数，若存在实数， ，则介于之间，根据函数单调性列出不等式组，即可求证．
试题解析：（1）当时，
当时， ，
∴函数在区间上为减函数．
当时， ，令，
当时， ；当时， ，
∴函数在区间上为减函数，在区间上为增函数．
且，综上， 的单调减区间为，单调增区间为．
（2）由可得对任意的正实数都成立，即对任意的正实数都成立．
记，则 ，可得，
令
∴在上为增函数，即在上为增函数
又∵，
∴存在唯一零点，记为 ，
当时， ，当时， ，
∴在区间上为减函数，在区间上为增函数．
∴的最小值为．
∵，
∴，可得．
又∵
∴实数的最大整数为2．
(3)由题意，（ ），
令， 由题意可得， ，
当时， ；当时，
∴函数在上为减函数，在上为增函数．
若存在实数， ，则介于之间，不妨设．
∵在上单减，在上单增，且，
∴当时， ，
由，可得，故，
又∵在上单调递减，且
∴．
∴，同理，则，解得
∴．
三、利用导数研究能成立问题
1．已知函数．
(1)若函数有一个极小值点和一个极大值点，求的取值范围；
(2)设，若存在，使得当时， 的值域是，求的取值范围．
【思路引导】（1）求出函数的导数，由函数有两个极值点，得到关于的不等式组，求得实数，再作出验算即可．（2）求出的导数，通过讨论的范围确定函数的单调区间，得到关于的不等式，解出即可．
试题解析：(1) ，则
令，若函数 有两个极值点，则方程必有两个不等的正根，于是 解得
当时， 有两个不相等的正实根，设为，不妨设，
则．
当时， 在 上为减函数；
当时， 在上为增函数；
当时， 函数在上为减函数．
由此， 是函数的极小值点， 是函数的极大值点．符合题意．
综上，所求实数的取值范围是
（2）
①当时， ．当时， 在上为减函数；
当时， 在上为增函数．
所以，当时， 的值域是．
不符合题意．
当时， ．
(i)当，即时， ， 当且仅当时取等号．
所以在上为减函数．从而在 上为减函数．符合题意
(ii)当，即时，当变化时， 的变化情况如下表：
1
-
0
+
0
-
减函数
极小值0
增函数
极大值
减函数
若满足题意，只需满足，且 (若，不符合题意)，即，
且．又，所以，此时
所以实数的取值范围是
2．设函数．
(1)若，求函数在的切线方程；
(2)若函数在上为单调递减函数，求实数的最小值；
(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【思路引导】（1）若，写出函数，求出切点和斜率，即可写出切线方程;(2) 函数可化为，在上为单调递减函数，即导函数小于等于0在在上恒成立，分离参变量，转化为构造出的新函数最值问题，对新函数求导，判断单调性求出最值即可;(3) 存在，使得成立，即，又，即f(x)min ，根据的导函数对参数进行讨论，分别得出单调性进而求出最小值，代入不等式求出a的范围．
试题解析：(1)若，则，，，，
所以所求切线为
（2）函数可化为，在上为单调递减函数，在上恒成立，恒成立，令，则，
可知在单调递增，在单调递减，所在，
最小值是
(3)命题等价于“当时，有f(x)minf′(x)max+a”，
由(Ⅰ)知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，，
=，
问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f(x)min ”，
①a 时，由(2)，f(x)在[e，e2]上为减函数，
则f(x)min=f(e2)=
∴．
②当
由于在上为增函数，所以的值域为
即
若，即，恒成立，所以为增函数，于是
，不合题意
若，，由的单调性和值域知
存在唯一，使得，且
，，为减函数
，，为增函数
所以
与矛盾
综上，实数a的取值范围为．
3．已知函数 ．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）是否存在实数，使得至少有一个，使成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【思路引导】（1）首先求函数的导数，再通分，得到 根据解不等式，得到函数单调区间；（2）首先求存在性命题的否定，即有成立，将不等式转化为恒成立，设 ，根据函数的导数，分 ，求得函数的最小值，令最小值大于等于0，求得的取值范围，再求其补集．
试题解析：（1）函数的定义域为，
1）当时，由得， 或，由得，
故函数的单调递增区间为和，单调减区间为
2）当时， ， 的单调增区间为
（Ⅱ）先考虑“至少有一个，使成立”的否定“， 恒成立”。即可转化为恒成立。
令，则只需在恒成立即可，
当时，在时， ，在时，
的最小值为，由得，
故当时， 恒成立，
当时， ， 在不能恒成立，
当时，取，有， 在不能恒成立，
综上所述，即或时，至少有一个，使成立。
4．函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
（2）已知当（其中是自然对数）时，在上至少存在一点，使成立，求的取值范围；
【思路引导】（1）易知的定义域为，再求导由 得： 或 ，讨论两根和定义域的关系，由导数的正负求单调区间即可；
（2）题中条件等价于当时， ，进而求即可；
（3）构造辅助函数，并求导得，当时， ， 为减函数，有，变形即可证得．
试题解析：（1）易知的定义域为．
．
由 得： 或 ．
∵，∴．
∴时， 为增函数；
时， 为减函数；
时， 为增函数，
∴函数的递增区间为和，
递减区间为．
（3）当时，函数．构造辅助函数，
并求导得．
显然当时， ， 为减函数．
∴ 对任意，都有成立，即．
即．
又∵，
∴．
5．已知 (，且为常数)．
(1)求的单调区间；
(2)若在区间内，存在且时，使不等式成立，求的取值范围．
【思路引导】(1)求导，分类讨论可得到的单调区间；
(2)由(1)知， 在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，构造新函数
，则在区间上存在单调递减区间，可转化为
有解，即有解，令，讨论其性质可得，故．
试题解析：(1)∵ (且为常数)，∴，∴①若时，当，；当时， ，即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．
②若时，当， ；当时， ，即时，函数单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)由(1)知， 在区间上单调递减，不妨设，则，∴不等式可化为，即，令，则在区间上存在单调递减区间，∴有解，即，∴有解，令，则，由得，当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减，∴，故．
6．已知函数在上为增函数，且， ， ， 为自然对数的底数．
（1）求的值；
（2）若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．
【思路引导】（1）在上为增函数，故在上恒成立，由此求出的值；（2）令 ，当时，此时不存在，使得成立；当时，可知在上恒成立， 在上单调递增，只需即可求出m的范围．
试题解析：（1）由已知在上恒成立，即，
∵，∴，
故在上恒成立，只需，
即，∴，由知．
（2）令 ，
当时，由有，且，
∴此时不存在，使得成立．
当时， ，
∵，∴，又，
∴在上恒成立，
故在上单调递增，∴，
令，则，
故所求的取值范围是．
四、利用导数研究函数的零点
1．已知函数 ．
（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数有两个不同零点， ，且，求证： ，其中是的导函数．
【思路引导】（I）利用导数的几何意义即可得出的图象在处的切线方程；（Ⅱ）由于的图象与轴交于两个不同的点， ，可得方程的两个根为， ，得到，可得，经过变形只要证明，通过换元再利用导数研究其单调性即可得出．
试题解析：（Ⅰ）当时， ， ，切点坐标为，切线的斜率，∴切线方程为，即．
（Ⅱ）∵的图象与轴交于两个不同的点， ，∴方程的两个根为， ，则，两式相减得，又， ，则，下证（*），即证明，令，∵，∴，即证明在上恒成立，∵，又，∴，∴在上是增函数，则，从而知，故（*）式，即成立．
2．已知函数．
（1）若在处取极值，求在点处的切线方程；
（2）当时，若有唯一的零点，求
注表示不超过的最大整数，如
参考数据：
【思路引导】（1）求导，利用对应导函数为0求出值，再利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，讨论导函数的符号变化确定函数的单调性和极值，通过极值的符号确定零点的位置，再利用零点存在定理进行求解．
试题解析：（1）因为，所以，解得，则，即在点处的切线方程为，即；
（2），
令，则
由，可得
在上单调递减，在上单调递增
由于，故时，
又，故在上有唯一零点，设为，
从而可知在上单调递减，在上单调递增
由于有唯一零点，故且
又．．．．．．
令，可知在上单调递增
由于， ，
故方程的唯一零点，故
3．设a >0，已知函数 (x>0)．
(Ⅰ)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)试判断函数在上是否有两个零点，并说明理由．
【思路引导】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）假设2个零点，推出矛盾即可．
试题解析：（Ⅰ），
，
，
设，则，
①当时， ， ，即，
∴在上单调递增；
②当时， ，
由得，
，
可知，由的图象得：
在和上单调递增；
在 上单调递减．
（Ⅱ）解法：函数在上不存在两个零点
假设函数有两个零点，由（Ⅰ）知， ，
因为，则，即，
由知，所以，
设，则（＊），
由，得，
设，得，
所以在递增，得，即，
这与（＊）式矛盾，
所以上假设不成立，即函数没有两个零点．
4．已知函数，
（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求， 的值；
（Ⅱ）若， 求函数的零点的个数．
【思路引导】（Ⅰ）先求出的导数，由， ，可解得；（Ⅱ）先确定函数至少一个零点，在分五种情况讨论： ， ， ， ， ，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出函数的最值与极值，结合函数图象可得各种情况下函数的零点的个数．
（2）若，则
①若，则所以单调递增，而， ，
所以有一个零点，所以有两个零点；
②若，由，知， ，所以在单调递减，
在单调递增；所以函数的最小值为
（ⅰ）当即时， ，所以无零点，
所以函数只有一个零点
（ⅱ）当时，即，所以有一个零点，所以函数有两个零点
（ⅲ）当时，即时， ，所以有两个零点，所以函数有三个零点
综上，当或时，函数只有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点
（利用函数图像的交点个数讨论酌情给分）
5．已知函数 有两个不同的零点．
（1）求的取值范围；
（2）设， 是的两个零点，证明： ．
【思路引导】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性，结合函数草图可筛选出符合题意的的取值范围；（2）构造函数设， ，可利用导数证明∴，∴，于是，即， 在上单调递减，可得，进而可得结果．
试题解析：（1）【解法一】函数的定义域为： ．
，
①当时，易得，则在上单调递增，
则至多只有一个零点，不符合题意，舍去．
②当时，令得： ，则
+
0
-
增
极大
减
∴ ．
设，∵，则在上单调递增．
又∵，∴时， ； 时， ．
因此：
（i）当时， ，则无零点，
不符合题意，舍去．
（ii）当时， ，
∵ ，∴在区间上有一个零点，
∵ ，
设， ，∵，
∴在上单调递减，则，
∴，
∴在区间上有一个零点，那么， 恰有两个零点．
综上所述，当有两个不同零点时， 的取值范围是．
（1）【解法二】
函数的定义域为： ． ，
①当时，易得，则在上单调递增，
则至多只有一个零点，不符合题意，舍去．
②当时，令得： ，则
+
0
-
增
极大
减
∴ ．
∴要使函数有两个零点，则必有，即，
设，∵，则在上单调递增，
又∵，∴；
当时：
∵ ，
∴在区间上有一个零点；
设，
∵，∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴，
∴ ，
则，∴在区间上有一个零点，
那么，此时恰有两个零点．
综上所述，当有两个不同零点时， 的取值范围是．
（2）【证法一】
由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时， 是增函数；
当时， 是减函数；
不妨设： ，则： ；
设， ，
则：
．
当时， ，∴单调递增，又∵，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵， ， 在上单调递减，
∴，∴．
（2）【证法二】
由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时， 是增函数；
当时， 是减函数；
不妨设： ，则： ；
设， ，
则
．
当时， ，∴单调递增，
又∵，∴，∴，
∵，
∴ ，
∵， ， 在上单调递减，
∴，∴．
6．已知函数，直线是曲线的的一条切线．
（1）求的值；
（2）设函数，证明：函数无零点．
【思路引导】（1）若直线是曲线的的一条切线，设，则，解得实数的值；（2）由（1）知．
，令，研究的性质可得在上单调递减，在上单调递增，故．可得故，即函数无零点．
试题解析：（1），设切点为，则，
解得， ．
∴为所求．
（2）由（1）知．
，令，
∵当时， ，∴函数在上单调递增，
又， ，∴存在唯一零点，
且当时， ，当时， ．
即当时， ；当时， ，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴函数无零点．
五、利用导数研究方程的根
1．已知：函数．
（）求函数的极值．
（）证明：当时，．
（）当时，方程无解，求的取值范围．
【思路引导】（1）根据导函数判断函数的单调性，然后可得极值．（2）构造函数，利用导数证明是上的增函数，故可得当时，，从而证得不等式成立．（3）由当时，方程无解，可得当时，恒成立．然后根据分类讨论或分离参数可得实数的取值范围为．
试题解析：（）∵，
∴，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
∴当时，函数有极小值，且极小值为，无极大值．
（）证明：设函数，则，
由（）知在取得极小值，也为最小值，
∴，
∴是上的增函数，
∴当时，，
∴．
（）当时，方程无解，
即时，无解，
即时，恒成立．
令，
则，
①时，，在递增，故，满足题意；
②时，由（）得时符合题意．
综上所述，．
∴实数的取值范围为．
2．已知．
（1）若方程在上有实数根，求实数的取值范围；
（2）若在上的最小值为，求实数的值．
【思路引导】：⑴化简方程，令求导，算出单调性，转化为函数与在有交点，利用斜率求得参量取值范围(2)求导，分别讨论、、
三种情况的最小值，求解符合题目的参数的值
解析：（1）方程可化为，
令，
则 ，
由可得，由可得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值为，而， ，
要使方程在上有实数根，
只需使得函数与在有交点，
∵点与连线的斜率为，
点与连线的斜率为，且，
∴结合图像可得时，函数与有交点．
∴方程在上有实数根时，
实数的取值范围是
（2）由可得，
①若，则在上恒成立，即在单调递减，
则的最小值为，故，
满足；
②若，则在上恒成立，即在单调递增，
则的最小值为，故，不满足，舍去；
③若，则时， ； 时， ．
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的最小值为 ，即．
令，则，
∴在上单调递增，∴，
，而，故不可能成立．
综上可知，实数的值为．
3．已知函数（）．
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）当时，试问方程是否有实数根？若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．
【思路引导】（1）求出函数的导数，设，根据函数在上单调递减，可得在上小于等于0恒成立，从而可得，即可得到实数的取值范围；（2）当时， ，整理得，设，利用单调性求得；设，利用单调性求得，根据与在不同的值处取得，即可得到方程无实根．
（2）没有实数根．
当时， ，整理得．
设，则，
当时， ，则在上单调递减；
当时， ，则在上单调递增．
∴．
设，则，
当时， ，则在上单调递增；
当时， ，则在上单调递减，
∴，
∵与在不同的值处取得
∴根据函数图象可知恒成立
∴方程无实根．
4．设函数．
（Ⅰ）当时， 恒成立，求范围；
（Ⅱ）方程有唯一实数解，求正数的值．
【思路引导】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出k的范围即可；（2）lnx+x=0时，不合题意，当lnx+x≠0时，m= 有唯一解，此时x＞x0，记h（x）=，根据函数的单调性求出m的值即可．
解析：（1）a=2时，f（x）=lnx﹣x2+x，
f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=﹣2x+1，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
故f（x）max=f（1）=0，
若f（x）≤k恒成立，则k≥0；
（2）方程mf（x）=（1﹣）x2有唯一实数解，
即m（lnx+x）=x2有唯一实数解，
当lnx+x=0时，显然不成立，设lnx+x=0的根为x0∈（，1）
当lnx+x≠0时，m=有唯一解，此时x＞x0
记h（x）=，
h′（x）=，
当x∈（0，1）时，x（x﹣1）＜0，2xlnx＜0，h′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，x（x﹣1）＞0，2xlnx＞0，h'（x）＞0，
∴h（x）在（x0，1）上递减，（1，+∞）上递增．
∴h（x）min=h（1）=1，
当x∈（x0，1）时，h（x）∈（1，+∞），
当x∈（1，+∞）时，h（x）∈（1，+∞），
要使m=有唯一解，应有m=h（1）=1，
∴m=1．
5．已知函数， ．
（Ⅰ）当在处的切线与直线垂直时，方程有两相异实数根，求的取值范围；
（Ⅱ）若幂函数的图象关于轴对称，求使不等式在上恒成立的的取值范围．
【思路引导】（1）方程有两相异实数根等价于有两个零点；（2）令，不等式在上恒成立，即求的最小值，
，对a分类讨论研究函数的单调性，从而确定出函数的最值．
试题解析：（Ⅰ）由题设可得，令，
则令得 ，
0
递减
极小值
递增
，
且 有两个不等实根 即 ．
（Ⅱ）由题设有，令，
则，令 ，则
又， ， 在在单调递增，
又，
当，即时， ，
所以在内单调递增， ，所以．
②当，即时，由在内单调递增，
且，
使得，
0
递减
极小值
递增
所以的最小值为，
又，所以 ，
因此，要使当时， 恒成立，只需，即即可．
解得，此时由，可得．
以下求出a的取值范围．
设， ， 得，
所以在上单调递减，从而，
综上①②所述， 的取值范围．
6．已知函数
（1）求函数f(x)是单调区间；
（2）如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合；
（3）是否存在正数k，使得关于x的方程有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由．
【思路引导】（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间，（2）分离参变得求函数值域，利用导数求值域，（3）由于为恒正递增函数， 是 上恒正减函数，因此可得矛盾，即推得不存在.
试题解析：（1）函数的定义域是
对求导得
由 ，由
因此 是函数的增区间；
（－1，0）和（0，3）是函数的减区间
（2）因为
所以实数m的取值范围就是函数的值域
对
令
∴当x=2时取得最大值，且
又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，
进而有无限趋近于－∞．因此函数的值域是
即实数m的取值范围是
（3）结论：这样的正数k不存在。
证明：假设存在正数k，使得关于x的方程
有两个不相等的实数根，则

根据对数函数定义域知都是正数。
又由（1）可知，当
∴=
再由k>0，可得
由于 不妨设 ，由①和②可得
利用比例性质得
即
由于上的恒正增函数，且
又由于 上的恒正减函数，且 ∴
∴，这与（*）式矛盾。因此满足条件的正数k不存在．
六、利用导数研究函数图象及性质
1．已知函数．
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由．
（参考数据： ， ）．
【思路引导】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解；（2）利用参数分离法，转化为两个函数有两个不同的交点即可；（3）的图象在的图象的下方，等价为对任意的， 恒成立，利用参数分离法，结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可．
试题解析：（1）因为，所以，则所求切线的斜率为，
又，故所求切线的方程为．
（2）因为，则由题意知方程在上有两个不同的根．
由，得，
令，则，由，解得．
当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，
所以当时， 取得最小值为．
又， （图象如右图所示），
所以，解得．
（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立．
即对恒成立．
令，则，
令，则，
因为在上单调递增， ， ，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，
所以当时， 单调递减；当时， 单调递增，
则取到最小值 ，…14分
所以，即在区间内单调递增．
所以，
所以存在实数满足题意，且最大整数的值为．
2．已知函数， ．
（1）设，求的最小值；
（2）若曲线与仅有一个交点，证明：曲线与在点处有相同的切线，且．
【思路引导】（Ⅰ） ，函数定义域为R，求导数， ，分别令， ，根据函数单调性，确定函数的最小值；（Ⅱ）由曲线与仅有一个交点，可设函数，函数的定义域为，于是对函数求导，研究的单调性及导数为0的根，从而确定函数的最值，曲线与在点处有相同的切线，再求的取值范围．
试题解析：（Ⅰ） ，
当时， ， 单调递减；
当时， ， 单调递增，
故时， 取得最小值．
（Ⅱ）设，则，
由（Ⅰ）得在单调递增，又， ，
所以存在使得，
所以当时， ， 单调递减；
当时， ， 单调递增，
所以)的最小值为，
由得，所以曲线与在点处有相同的切线，
又，所以，
因为，所以．
3．已知函数．
(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方．
【思路引导】（1）定义域为(0，＋∞)，f′(x) ，可求得单调区间有望极小值。（2）函数的图像在函数的图像的下方，即f(x)
(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝，
当x>1时，F′(x)<0，
故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的，
又F(1)＝－<0，
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立
即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．
4．已知函数
（1）若直线与曲线都只有两个交点，证明：这四个交点可以构成一个平行四边形，并计算该平行四边形的面积；
（2）设函数在[1，2]上的值域为，求的最小值．
【思路引导】（1）先求出函数的极值，再根据直线与曲线都只有两个交点得和的值，然后求出四个交点的坐标，即可证明这四个交点可以构成一个平行四边形及计算出该平行四边形的面积；（2）化简，然后求导，求出的极值，对进行分类讨论，求出单调性及最值，表示出，根据的取值，即可求出的单调性及最小值．
试题解析：（1）证明：令得
令得；令
∴的极大值为，极小值为．
∵，令或3；
令
∴这四个交点分别为（0，0），（3，0），（-1，-4），（2，-4）
∵3-0=2-（-1）=3
∴这四个交点可以构成一个平行四边形，且其面积为
(2)解：因为
所以
令，得或，
①当时，
当时， ，所以在上单调递减；
当时， ，所以在上单调递增．
又因为，所以
所以
因为
所以在上单调递减，所以当时， 的最小值为
②当时，
当时， ，所以在上单调递减；
当时， ，所以在上单调递增．
又因为，所以
所以
因为
所以在上单调递增，所以当时，
③当时，
当时， ，所以在上单调递减；
所以
所以
因为
所以在上的最小值为
综上， 的最小值为
5．设函数．
（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）求证： ．
【思路引导】（1）将问题转化为不等式在上恒成立，求实数的取值范围的问题。可构造函数，经分类讨论得到恒成立时的取值范围即可。（2）先证明对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，结合（1）③的结论，当， 时在上成立，然后令可得成立，再令即可得不等式成立。
试题解析：（1）令，
则，
令，
则
①当时，有 ，于是在上单调递增，从而，
因此在上单调递增，
所以，符合题意。
②当时，有 ，于是在上单调递减，从而，
因此在上单调递减，
所以，不合题意；
③当时，令，
则当时， ，于是在上单调递减，
从而，
因此在上单调递减，
所以，而且仅有，不合题意．
综上所求实数的取值范围是．
（2）对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数，不等式恒成立，
即恒成立，
变形为恒成立，
在（1）③中，令， ，
则得在上单调递减，
所以，
即，
令，则得成立．
当时，可得．
即，
所以成立。
6．已知函数， ．
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）设函数， ．若函数的最小值是，求的值；
（3）若函数， 的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数， 为坐标原点．求的取值范围．
【思路引导】求函数的单调区间可利用求导完成，求函数的最值可通过求导研究函数的单调性求出极值，并与区间端点函数值比较得出最值；解决问题，先求出斜率的取值范围，根据垂直关系得出斜率的取值范围，转化为恒成立问题，借助恒成立思想解题．
试题解析：（1）当时， ， ．
因为在上单调增，且，
所以当时， ；当时， ．
所以函数的单调增区间是．
①当，即时，
函数的最小值，
即，解得或（舍），所以；
②当，即时，
函数的最小值，解得（舍）．
综上所述， 的值为．
（3）由题意知， ， ．
考虑函数，因为在上恒成立，
所以函数在上单调增，故．
所以，即在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则在上恒成立，
所以在上单调减，所以．
设，
则在上恒成立，
所以在上单调增，所以．
综上所述， 的取值范围为．