2018届浙江高三数学三轮复习专题突破专题2.7+立体几何与空间向量

专题2.7 立体几何与空间向量
1. 立体图形的截面问题
高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及线面平行与面面平行的性质定理的考查。考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线.另一种方法就是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线。一般情况下这两种方法要结合应用.
例1.已知正三棱柱的底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成角的截面面积是___________________。
【答案】
点评：判断截面的形状，应该将现有截面进行延伸，必须找出与整个几何体表面的截线.
2.三视图
高考对三视图的要求是：（1）理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影的含义，掌握平行投影的含义；（2）理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.会用斜二测法画出它们的直观图.从学生反馈情况看，主要错误是不能正确视图，还原几何体.突破这一瓶颈的有效途径，一是熟悉规则，二是多做一些练习.
例2.【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
B． C． D．
【答案】B
【解析】
点评：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解
3.常见几何体的体积计算公式
几何体面积或体积的计算，是高考命题的热点，一般说来难度不大，但在解题过程中，出错率较高，主要原因是，公式记忆不清楚，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错；另外，计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求.
例3.【2018届山西省高三第一次模拟】某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
点评：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
例4.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.
【答案】
【解析】
点评：对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.
4.有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视三个条件中的某一条件的说明.
判定直线与平面平行的主要依据是判定定理，它是通过线线平行来判定线面平行，这是所指的直线是指平面外的一条直线与平行于平面内的一条直线，在应用该定理证线面平行时，这三个条件缺一不可.
例5.【2017江苏，15】 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
【答案】（1）见解析（2）见解析
点评：平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
5.定理使用不当
线面位置关系定理使用不当，一是推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件；二是线面位置关系的证明思路出错，缺乏转化的思想意识，不知道要证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误.?防范失误的措施：证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如要证明的是线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上），通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的.解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等.
例6.如图，在三棱柱中，为棱的中点，，.
求证：(1) 平面；
(2)∥平面.
连接交与点，连接，在中，分别为的中点，所以，
又平面，平面，所以∥平面．
点评：垂直关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.其中 （1）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
（2）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
（3）本题第一小问证明垂直关系时要注意选择合适的直线证明，所找直线必须在平面内，而且要相交.
6.多面体与球的切接问题
多面体与球的切接问题是高考常见问题，属于高频考点，有一定的难度.
1.求多面体的外接球的半径的基本方法有三种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.
2. 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
例7. 如图是某几何体的三视图.
（1）求该几何体外接球的体积；
（2）求该几何体内切球的半径.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（1）由三视图可知，几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，以三条两两垂直的侧棱的长构造一个长方体，则该长方体的对角线长等于其外接球的直径，算出半径的长。（2）设内切球的半径为，球心为，连接，把三棱锥分成四个小三棱锥，由这四个小三棱锥的体积和等于三棱锥的体积，求出内切球的半径。
试题解析：（1）由三视图可知，几何体是三条侧棱两两垂直的三棱锥，如图，设为三棱锥.
以为长、宽、高构造一个长方体，则该长方体的对角线长等于其外接球的直径，
设该外接球半径为.
∴，∴.
∴外接球的体积为.
点评：本题主要考查了三视图以及几何体的外接球和内切球半径问题，属于中档题。本题在求三棱锥外接球半径时，采用的是构造长方体，由该长方体的对角线长等于其外接球的直径，求内切球半径时，根据，把三棱锥分成四个小三棱锥，四个小三棱锥的体积和等于三棱锥的体积，再算出内切球半径
7.空间向量在立体几何中的应用
解决关于向量问题时，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识.二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想.向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.用空间向量解决立体几何问题一般可按以下过程进行思考：①要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？④怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论.
例8.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，.
（1）证明：平面；
（2）设二面角为，求直线与平面所成角的大小.
【答案】（1）见解析；（2）．
解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，其中，则，于是，从而，
故，又，所以平面.
（2），设为平面的法向量，则，
即且，令，则，
设为平面的法向量，则，
即且，令，则，
所以，因为面面，故，即，故，
于是，，，所以．
因为与平面所成角和互余，故与平面所成角的角为.
点评：1、线面垂直的判定定理；2、二面角；3、直线与平面所成角。
1. 已知直线m、n和平面，则m∥n的必要非充分条件是（ ）
A．m、n与成等角 B. m⊥且n⊥
C. m∥且n D．m∥且n∥
【答案】A
【易错点】考虑不全面，定理不熟悉.
2.【2018届河南省六市高三一模】在空间中， 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】若，则位置关系不定；若，则位置关系不定；
若，则或若，则，选D.
【易错点】考虑不全面，定理不熟悉.
3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，且，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】C
【易错点】定理不熟悉.
4.【2018年北京市朝阳区高三一模】某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
抠点法，在长方体中抠点,1.由正视图可知: 上没有点;
【易错点】空间想象能力不强,不能正确画出几何体直观图.
5.【2018届河北省邯郸市高三第一次模拟】设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】取线段AB中点D，设P在底面ABC 射影为O，设AB=a,则， 为二面角的平面角， ，
,选C.
【易错点】空间想象能力不强，不能正确做出二面角的平面角.
6．【2018届河南省六市高三一模】在三棱锥中， ， ， ， ， ，且三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球半径是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】取SC中点O，则OA=OB=OC=OS,即O为三棱锥的外接球球心，设半径为r,则
选C.
【易错点】空间想象能力不强，不能正确建立含球半径的方程.
7.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知是球表面上四点，点为的中点，若, ，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
故选B.
【易错点】不能正确得到多面体和组合球的内在联系.
8.【2018年湖北省长望浏宁四县高三3月联合调研】已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若为底面的中心，则PA与平面所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，
在Rt△AA1P中，tan∠APA1==，
∴∠APA1=60°．
故选：B．
点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.
【易错点】不能正确利用几何体的直观图确定线面角.
9. 平面四边形中，,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）

【答案】A
【解析】
所以，平面 ,所以,三角形 是直角三角形，
取 的中点E,连接,则有
所以四面体的顶点同在以E为球心，以为半径的球面上，
所以该球的体积为： ，故选A.
考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间几何体的体积.
【易错点】空间想象能力不强，球体知识掌握不灵活.
10【2018届云南省保山市高三第二次统测】四棱锥中， 平面，底面是边长为2的正方形， ， 为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
【易错点】不能正确构造三角形求角.
11.【2018届北京市建华实验学校高三零模】已知正方体的棱长为2,长度为的线段的一个端点在棱上运动,另一个端点在正方形内运动,则中点的轨迹与正方体的表面所围成的较小的几何体的的体积等于______.
【答案】
【易错点】空间想象能力不强，球体知识掌握不灵活.
12.【2018届云南省昆明市高三二统】如图，等腰所在平面为， ， . 是的重心.平面内经过点的直线将分成两部分，把点所在的部分沿直线翻折，使点到达点（平面）.若在平面内的射影恰好在翻折前的线段上，则线段的长度的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为等腰所在平面为， ， . 是的重心，所以可得，连接，在中， ， ，当与重合时最大为，此时 最小， 与重合）作于，此时最小为最大为， 的长度的取值范围是，故答案为.
【易错点】空间想象能力不强，翻折前后“几何量”的变与不变.
13．【2018届广西高三下学期第二次模拟】在等腰三角形 中， ， ，将它沿 边上的高 翻折，使 为正三角形，则四面体 的外接球的表面积为__________．
【答案】
【易错点】1.空间想象能力不强，翻折前后“几何量”的变与不变.2.不能正确得到多面体和组合球的内在联系.
14．【2018届河南省濮阳市高三第二次模拟】已知三棱锥的底面为等边三角形，，，两两相等且互相垂直，若该三棱锥的外接球半径为，则球心到截面的距离为__________．
【答案】
【解析】 因为正三棱锥中，两两垂直，
所以此正三棱锥的外接球即为为三边的正方体的外接球，
因为外接球的半径为，所以正方体的边长为，即，
球心到截面的距离即为正方体中心到截面的距离，
设点到截面的距离为，
则正三棱锥的体积为：,
为边长为的正三角形，所以，
所以，所以球心到截面的距离为．
【易错点】不能正确得到多面体和组合球的内在联系.
15.【2018届广东省广州市广州大学附属中学、铁一中学、广州外国语中学高三上学期期中】如图，三棱锥的顶点，，，都在同一球面上，过球心且，是边长为等边三角形，点、分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为__________．
【答案】
，
当且仅当时取等号，∴三棱锥体积的最大值为．
【易错点】1.不能正确确定几何体中几何元素的关系，建立体积表达式；2.不能正确应用基本不等式.
16.【2018届浙江省镇海中学高三上学期期末】四棱锥中，平面ABCD，，，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为的两部分，则=_______．
【答案】
令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．
∴．
∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，
∴cos＜＞=即解得b=．
∴S△ADQ=．
S梯形ABCD﹣S△ADQ=．
∵S1＜S2，∴S1=，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．
故答案为（3﹣4）：4．
点睛：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ，确定点Q在y轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答.
【易错点】不能正确建系，并利用空间向量方法解题.
17.已知三棱锥，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，
， ，二面角的大小为.
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求二面角的正切值.
【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）过点作底面垂足为，可知为二面角平面角的补角，得直线与面所成角的大小为；（2）为二面角的平面角， 。
（Ⅱ）过作于点,连接，则为二面角的平面角，
平面, ,
设与相交于 ,
在中，
则二面角的正切值为.
【易错点】1.不能正确确定“角”；2.不能正确进行计算.
18．【2018届浙江省台州市高三上学期期末】如图，正方形的边长为4，点， 分别为， 的中点，将， ，分别沿， 折起，使， 两点重合于点，连接.
（1）求证： 平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：（Ⅰ） ， 平面，
又平面, ,
由已知可得， 平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面平面，则为与平面所成角，
设， 交于点，连，则， ，
又平面， 平面， ，
在△中， ，
与平面所成角的正弦值为．
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面角的求法，属于难题. 证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
【易错点】1.不能正确确定“角”；2.不能正确进行计算.
19．【2018届浙江省嘉兴市高三上学期期末】如图，在矩形中，点在线段上， ， ，沿直线将翻折成，使点在平面上的射影落在直线上.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
试题解析：（Ⅰ）证明：在线段上取点，使，连接交于点.
正方形中， ， 翻折后， ， ，
又 ， 平面，
又 平面， 平面平面
又平面平面 ，
点在平面上的射影落在直线上，
又点在平面上的射影落在直线上，
点为直线与的交点，
平面即平面， 直线平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是二面角的平面角的平面角.
，在矩形中，可求得， .
在中， ，
二面角的平面角的余弦值为.
点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定线面角.
【易错点】1.不能正确确定“角”；2.不能正确进行计算；3.垂直关系相关定理.
20.【2018届浙江省嵊州市高三第一学期期末】如图，在菱形中， ， 平面， ， 是线段的中点， .
（1）证明： 平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
试题解析：（1）设与的交点为，连接.因为， 平面，所以平面.
（2）取的中点为，连接，则.
以为坐标原点，分别以， ， 为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.取，则， ， ， .
所以， .
设平面的法向量，则，即，解得.
可取法向量.
又，则
故直线与平面所成角的正弦值为.
【易错点】平行关系的判定，利用空间向量求角.