2018届浙江高三数学三轮复习专题突破专题2.8+计数原理与古典概率

专题2.8 计数原理与古典概率
不能正确区分排列与组合导致错误
涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
例1. 【2018届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次联考】“中国梦”的英文翻译为“ ”，其中又可以简写为，从“ ”中取6个不同的字母排成一排，含有“” 字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ）
A. 360种 B. 480种 C. 600种 D. 720种
【答案】C
【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有,故选B.
点评：解答本题的关键在于认清分步完成、讲究顺序．
2.混淆“二项式系数与项的系数”致误
的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别.
例2.【2018届四川省成都市龙泉驿区第二中学校高三3月市“二诊”】在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在展开式中，二项式系数的最大值为 a，∴a==20．
展开式中的通项公式：Tr+1=，令6﹣r=5，可得r=1．
∴含x5项的系数为b==﹣12，
则．
故选：B．
点评：1、二项式定理；2、本题中出现了二项式系数和含项的系数，对比可进一步明确两个不同的概念．
3.基本事件判断不准致误
基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.本题中基本事件是个位数与十位数之和为奇数的两位数.
例3.【2018届宁夏吴忠市高三下学期模拟】若从数字， ， ， ， ， 中任取三个不同的数作为二次函数的系数，则与轴有公共点的二次函数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】实验发生包含的事件是从， ， ， ， ， 中任取三个不同的数作为二次函数的系数，对应二次函数共有个
当时，此时满足条件的取值有， ， ， ，有种情况
共有种情况满足题意
概率为
故选.
点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式。本题是一个古典概型，实验发生包含的事件是从， ， ， ， ， 中任取三个不同的数作为二次函数的系数，对应二次函数共有个，满足条件的事件是与轴有公共点的二次函数需满足，按照时， 时，两种情况进行讨论，得到结果
点评：求解古典概型问题的关键是找出样本空间中的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.
4.因事件之间的关系不清致误
求事件的概率的关键在于搞清事件的关系，合理选择概率公式进行求解；如：互斥事件有一个发生的概率使用加法公式，相互独立事件同时发生的概率使用乘法公式.
例4.【2018届湖南省邵阳市高三上学期期末】设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为__________．
【答案】
点评：本题已“每次检测相互独立”，因此，易于想到利用相互独立事件的概率计算公式解答.
5.解析不规范而致错
求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义：思路一：将所求事件化为彼此互斥事件的和，再用互斥事件的概率加法公式求解；思路二：先求对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式进行求解.
例5.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．
点评：本题在解答中容易出现以下错误：如(1)P＝＝.(2)m、n组成的数对的所有结果共有16个，满足的结果有11个．∴P＝.第(1)问在解题时，格式不规范，思维不流畅，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．而在第(2)问中，由于没有将事件n＜m＋2的概率转化为n≥m＋2的概率，导致数据复杂、易错．
6.均值、方差的概念及计算公式混淆导致错误
设离散型随机变量X的分布列为
…
…
…
…
分布列的两个性质①，；②.
（1）均值：为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若服从两点分布，则；
若，则.
（2）方差：描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若服从两点分布，则．
若，则．
（3）六条性质
(1) (为常数)
(2) 若，其中为常数，则也是随机变量，且.
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6) 若，其中为常数，则也是随机变量，且．
例6.【2017浙江，8】已知随机变量满足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2． 若0则（ ）
A．<，< B．<，>
C．>，< D．>，>
【答案】A
【解析】
，选A．
点评：这是两点分布，利用期望的性质及方差的计算公式“做差”比较.
1. 若随机变量的分布列为
则__________．
【答案】
【解析】由分布列的性质可得 由两点分布的方差可得
【易错点】1.分布列的性质；2.两点分布的方差.
2.【2018年4月湖南G10教育联盟高三联考】若的展开式中常数项为，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
故选：D．
【易错点】1.二项式定理；2.二项展开式通项公式.
3．【2018届重庆市巴蜀中学高三3月月考】甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有（ ）
A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 24种
【答案】D
【解析】分两类求解．①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有种；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人分别各去一个景点，故方案有．由分类加法计数原理可得总的方案数为24种．选D．
【易错点】1.计数原理、排列组合问题；2.计算能力.
4．【2018届河北省邯郸市高三第一次模拟】若的展开式中的系数为80，其中为正整数，则的展开式中各项系数的绝对值之和为（ ）
A. 32 B. 81 C. 243 D. 256
【答案】C
【解析】由题意得，
的展开式中各项系数的绝对值之和为，选C.
【易错点】1.二项式定理；2.二项展开式通项公式.
5．【2018届河北省邯郸市高三第一次模拟】某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（ ）
A. 0.56 B. 0.336 C. 0.32 D. 0.224
【答案】D
【解析】该选手只闯过前两关的概率为，选D.
【易错点】相互独立事件的概率.
6．的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为(　　)
A. 56 B. 51
C. 87 D. 78
【答案】A
【解析】由题意可得, ,解得n=8,
故展开式的通项为Tr+1=x8-r·x8-2r.
令8-2r=-2,可得r=5.
故的系数为=56.
本题选择A选项.
点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
【易错点】1.二项式定理；2.二项展开式通项公式.
7．【2018届北京市十一所学校高三零模】若展开式中的所有二项式系数和为,则该展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【易错点】1.二项式定理；2.二项展开式通项公式.
8.如图3是一个从AB的“闯关游戏”，规则规定：每过一关前都要抛掷一个在各面上分别标有1，2，3，4的均匀的正四面体．在过第n关时，需要抛掷n次正四面体，如果这n次面朝下的数字之和大于，则闯关成功，否则称闯关失败． A???……B
某人按规则进行闯关游戏，下列说法：
（1）他闯第一关成功的概率为；
（2）他仅过第一关的概率为；
（3）他在这项游戏中最多能过三关；
（4）他连过前两关，第三关失败的概率是．
其中，正确的说法的个数为 (??? )
A．1 ? ????B．2 ???? ? C．3 ????? D．4
【答案】D
故从而该人仅过第一关的概率为，所以（2）正确；他连过前两关，第三关失败的概率为，所以（4）正确．因正四面体出现的点数最大为4，而，因此，当时，次出现的点数之和大于已不可能，所以（3）正确．
【易错点】1.相互独立事件的概率；2.对立事件的概率.
9.【2018届四川省雅安中学高三下学期第一次月考】在“淘淘”微信群的某次抢红包活动中，所发红包被随机的分配为元， 元， 元， 元， 元共五份，每人只能抢一次，若红包抢完时，则其中小淘、小乐两人抢到红包金额之和不少于元的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得所发红包的总金额为元，被随机分配为元， 元， 元， 元， 元共五份，供小淘、小乐等五人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中小淘、小乐二人抢到的金额之和不少于元的概率的情况有： ， ， ，共有种.
∴小淘、小乐二人抢到的金额之和不少于元的概率是
故选B.
【易错点】1.简单组合问题；2.古典概型.
10．【2018届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三3月“二诊”】已知， ，则曲线为椭圆的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【易错点】1.椭圆的标准方程；2.古典概型.
11.设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：每次取球时，取到红球的概率为、黑球的概率为，所以取出红球的概率服从二项分布，即,所以，故选C.
【易错点】二项分布.
12.【2018届北京市北京101中学3月份高三零模】定义“规范数列”如下: 共有项,其中项为0, 项为且对任意 中的个数不少于的个数,若则不同的“规范01数列”共有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【点睛】对于排列组合难题时，先看能否转化为排列组合问题，如果不能，可以考虑由特殊到一般寻找规律.
【易错点】1.计数原理、排列组合问题；2.计算能力.
13.【2018届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次联考】的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,又的二项式展开式的通项公式,当且仅当r=1,k=1时符合题意, 的展开式中的系数为,故选C.
【易错点】1.二项式定理；2.二项展开式通项公式.
14. 【江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学2018届高三4月联考】口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为__________．
【答案】
【解析】袋中有2个红球，3个白球，1个黄球，在第一次取出红球的条件下，还剩下1个红球，3个白球，1个黄球，故第二次取出的情况共有5种其中第二次取出的是白球有3种故第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为.
故答案为.
【易错点】古典概型.
15．【2018届北京市一零一中学高三3月月考】在（x+）（2x-1）5展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为_______.
【答案】30
【易错点】1.二项式定理；2.二项展开式通项公式.
16．【2018届重庆市第一中学高三下学期第一次月考】已知随机变量，且随机变量，则的方差 _________
【答案】12
【解析】 由随机变量，则随机变量的方差为，
又因为，所以随机变量的方差为.
【易错点】二项分布.
17．【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】的展开式中的系数为___________．
【答案】
【解析】对于,它的通项公式为.
所以的系数为2=-12. 故填-12.
【易错点】1.二项式定理；2.二项展开式通项公式.
18．【2018年天津市十二重点中学高三联考一】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）
【答案】
【解析】①若末位数字为时，则共有个五位数；
②若末位数字为时，则当十位数字为时，只有；当十位数字为时，只有；当十位数字为时，有和两个五位数，共有个五位数.
③若末位数为时，则当十位数字为时，只有,；当十位数字为时，有和两个五位数；当十位数字为时，只有，共有个五位数.
综上，这样的五位数共有个.
故答案为.
【易错点】1.计数原理、排列组合问题；2.计算能力.
19．【2018届上海市虹口区高三上学期期末】某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是____________．
【答案】18
【易错点】1.计数原理、排列组合问题；2.计算能力.
20.【2018届甘肃省兰州市2高三一诊】已知样本数据，，……的方差是，如果有 ，那么数据，，……的均方差为__________．
【答案】2
【解析】因为样本数据，，……的方差是，且，所以，，……的方差为数据，，……的均方差为，故答案为.
【易错点】随机变量的数学期望、方差计算.
21．【2018届内蒙古赤峰市高三上学期期末】机动车驾驶的考核过程中,科目三又称道路安全驾驶考试,是机动车驾驶人考试中道路驾驶技能和安全文明驾驶常识考试科目的简称假设某人每次通过科目三的概率均为,且每次考试相互独立,则至多考两次就通过科目三的概率为__________．
【答案】
【易错点】1.相互独立事件的概率；2.对立事件的概率.
22．【2018届浙江省杭州市高三上学期期末】在一次随机试验中，事件发生的概率为，事件发生的次数为，则期望__________ ，方差的最大值为 __________．
【答案】
【解析】记事件发生的次数为可能的值为
期望
方差
故期望，方差的最大值为
【易错点】随机变量的数学期望、方差计算.
23．【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知随机变量的分布列为:
则___________， __________.
【答案】
【解析】由题意， ， ，
，故答案为（1），（2）.
【易错点】随机变量的分布列、数学期望.
24．【2018届河南省南阳市第一中学校高三第七次考试】已知5件产品中2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，
则__________．
【答案】
【解析】 ,

因此
【易错点】随机变量的分布列、数学期望.
25．【2018年1月广东省普通高中学业水平】笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为____________.
【答案】
【易错点】1.相互独立事件的概率；2.对立事件的概率.