2018届浙江高三数学三轮复习专题突破专题2.5+数列与数学归纳法

专题2.5 数列与数学归纳法
1.求数列通项忽视检验首项致错
在求数列通项公式时，不论用递推公式还是用数列的前项和公式，都应该检验首项是否适合
例1【2018届天津市滨海新区七所重点学校高三联考】已知数列的前项和为,满足 (),数列满足 (),且
（1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;
（2）若,求数列的前项和;
（3）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.
【答案】（1）， ；（2）；（3）
试题解析：（1）由两边同除以，
得，
从而数列为首项，公差的等差数列，所以，
数列的通项公式为．
当时， ，所以．
当时， ， ，
两式相减得，又，所以，
从而数列为首项，公比的等比数列，
从而数列的通项公式为．
(2)
=
由（1）得，
因为对 ，都有，即恒成立，
所以恒成立，
记，所以，
因为 ，从而数列为递增数列
所以当时， 取最小值，于是．
点评：1.本题考查知识点较多，有递推公式求通项公式，及通项公式与前n项和关系，裂项求和，并项求和，等差数列求和，错位相减法，数列与不等式交汇等.
2.由的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分n＝1和n≥2两种情况讨论．当n＝1时, 不适合的情况要分开写,即
(2)要注意和互化具有双向性,既可由化为,也可由求.
2.求解等差（比）数列有关问题时，忽略或造成错误
用基本量法求等差数列或等比数列有关的问题时忽略或而造成求解不全导致错误.
例2已知等差数列满足：，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）或；（2）41.
（2）当时，，显然，不存在正整数，使得.
当时，，令，即，
解得或（舍去）此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.
综上所述，当时，不存在正整数；当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.
点评：本题求解第（1）问，在解方程时，容易丢掉这一结果，导致数列的通项公式缺一种结果.
3.应用等差数列与等比数列性质不当
综合应用等差数列、数列等比数列性质时，因记不准性质或性质混用导致错误.
例3.【2018届山东省曲阜市高三上学期期中】若等差数列满足，则当__________时， 的前项和最大．
【答案】8
【解析】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以
所以，所以，，故数列的前8项最大.
点评：等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
4.用错位相减法求和时弄不清等比数列项数导致错误
错位相减法求和是等比数列求和的基本思想，学生在应用时，做到两式相减后时，弄不清楚相减后的式了中等比数列的项数导致求和出错.
例4【2018届高三训练】已知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q>0，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S3＋a3，S2＋a2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足an＋1＝，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值.
【答案】(1) ；(2)1.
(2)由题意结合和(1)中求得的通项公式可得，错位相减有Tn＝1＋(n－1)2n.则原问题等价于(Tn)min≥m.结合数列{Tn}为递增数列可得m的最大值为1.
试题解析：
(1)由题意可知
2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，
∴S3－S1＋S3－S2＝a1＋a2－2a3，
即4a3＝a1，
于是，∵q>0，∴.
∵a1＝1，∴ .
∴Tn＝1＋(n－1)2n.
要使Tn≥m恒成立，
只需(Tn)min≥m.
∵Tn＋1－Tn＝n·2n＋1－(n－1)·2n＝(n＋1)·2n>0，
∴{Tn}为递增数列，
∴当n＝1时，(Tn)min＝1，
∴m≤1，∴m的最大值为1.
点评：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.
5.周期数列的周期判断失误
有的数列是呈周期性变化的，在求这类数列通项或求和问题时，常因判断不准数列的周期或数列的项数与通项的关系致错.
例5. 数列{an}满足an＋1＝ a1＝，则数列的第2 017项为________．
【答案】　
点评：解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．解答此类问题，常因为判断不清数列的周期性或项数出错.
6. 应用数学归纳法忽视推理基础或不应用归纳假设致误
1.数学归纳法：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)
时命题成立．
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
2.数学归纳法的框图表示：
3.应用数学归纳法过程中，常见错误有两种，一是忽视递推基础，二是不应用归纳假设，即对数学归纳法两步缺一不可重视不够，或对数学归纳法证明原理理解有误.
例6.设正项数列的前项和，且满足.
（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.
【答案】(1) （2）见解析
【解析】试题分析：（1）先根据 关系，将条件转化为项与项递推关系，依次代入求解，可得的值，根据规律猜想，利用项与项递推关系及归纳假设证明n=k+1时情况（2）利用放缩裂项求和：，也可直接利用数学不等式进行证明
（Ⅱ）证法一：因为，
证法二：数学归纳法
证明：（ⅰ）当n=1时，，，
（ⅱ）假设当n=k时，
则当n=k+1时，
要证：只需证：
由于
所以
于是对于一切的自然数，都有.
点评：1.数学归纳法证题时初始值不一定是1.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.
1.已知数列 满足 ，则“ 数列为等差数列” 是“ 数列为 等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【易错点】1、充分条件与必要条件；2、等差数列的通项公式．
2．【2018届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知正项等比数列的公比为3，若，则的最小值等于（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】∵正项等比数列的公比为3，且
∴
∴
∴，当且仅当时取等号.
故选C.
【易错点】1、等比数列的性质的应用；2、基本不等式的应用．
3．【2018届重庆市巴蜀中学高三3月月考】已知在点处的切线方程为， ， 的前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
∴在上单调递减，
∴，即，
令，则，
∴，故．
设，则，
∴在上单调递增，
∴，即，
令，则，
∴，故．
综上选A．
【易错点】1.导数的计算与应用；2.放缩法的应用.
4.已知等差数列的公差，是其前项和，若成等比数列，且，则的最小值是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】，∴，，，，时，最小.选A.
【易错点】求解数列中的最大项或最小项的一般方法
先研究数列的单调性，可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解.
5.设等差数列的前项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【易错点】1、等差数列的性质的应用；2、基本不等式的应用．
6. 设等差数列的前项和为，首项， .则中最小的项为________．
【答案】
【解析】依题意有,即,故,公差,故最小项为中的一个,根据可知,所以最小项为.
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,考查等差数列前项和公式,考查绝对值的几何意义.题目给定连续两项的正负,故先根据等差数列前项和公式得出两个关于的条件,等差数列前项和公式有两个,要注意选择合适的.一正一负两个数的和为正数,那么其中正的绝对值大于负的绝对值.
【易错点】1.等差数列的性质；2.绝对值的概念.
7.【2018届江西省八所重点中学高三下学期联考】对于任一实数序列，定义为序列，它的第项是，假定序列的所有项都是，且，则_________．
【答案】1000
【点睛】本小题主要考查新定义数列的性质,考查等差数列的前项和公式以及通项公式.题目定义的数列为二阶等差数列.高阶等差数列的定义是这样的:对于对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列，如果常数，则的二阶等差数列.用累加法求得数列的通项公式.
【易错点】不能正确理解新定义数列导致错误.
8．【2018届北京市西城15中高三上学期期中】已知个数， ， ， ， ， ， ，则的最小正值是__________．
【答案】13
【易错点】本题的难点也是易错点在把问题转化成
，转化的数学思想是高中数学中的一种重要思想，大家要注意理解掌握和灵活运用.
9.【2018届河南省豫北豫南名校高三上学期精英联赛】在数列中， ， ，且（），则的值是__________．
【答案】
【解析】由得，即数列是等差数列，由，可得，当时， ，当时， ，设数列的前项和为，
，故答案为.
【易错点】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式及求和公式，任何一个环节都易导致错误.
10. 已知等差数列的公差为,若成等比数列,则=_________，数列的前项和的最小值是_________
【答案】
∴数列的前项和的最小值是。
答案： ，
【易错点】等差数列、等比数列的通项公式及求和公式.
11．【2018届贵州省铜仁市第一中学高三上学期第二次月考】已知是等差数列的前项和,且,给出下列五个命题:
①;②;③;④数列中的最大项为;⑤.
其中正确命题的是___________.
【答案】①②
【解析】因为,所以,所以公差d<0,且,则由等差数列的前n项和公式与性质可得,且,又等差数列的前6项为正数,从第7项开始都是负数,所以数列中的最大项为,因此正确命题是①②.
【易错点】等差数列的性质及求和公式，主要是计算错误.
12.【2018届安徽省安庆市高三二模】已知公差不为0的等差数列的首项，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设， ， 是数列的前项和，求使成立的最大的正整数.
【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ）.
试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，则， .
由 ， ， 成等比数列，得，
即，得（舍去）或.
所以数列的通项公式为， .
（Ⅱ）因为，
所以 .
由，即，得.
所以使成立的最大的正整数.
【易错点】1.等比数列的通项公式；2.“放缩法”.
13．已知数列的前n项和为，数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .
【解析】试题分析：（1）由，可得，所以。（2）由（1）得，由错位相减求和可求得。
【易错点】1.忽略检验首项致错；2.“错位相减法”求和出错.
14.【2018届江苏省常州高三上学期期末】记（且）的展开式中含项的系数为，含项的系数为.
（1）求；
（2）若，对成立，求实数的值；
（3）对（2）中的实数用数字归纳法证明：对任意且， 都成立.
【答案】(1) ；(2) ， ， ；(3)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）利用多项式相乘和组合数公式进行求解；（2）代入前三项，得到关于的三元一次方程组进行求解；（3）利用数学归纳法进行求解.
（3）①当时，由（2）知等式成立；
②假设（，且）时，等式成立，即；
当时，由

知 ，
所以 ，
又 ，等式也成立；
综上可得，对任意且，都有成立.
【易错点】1.计算出错；2.应用数学归纳法“初始值”出错或恒等变形过程中出错.
15．【2017年浙江卷】已知数列满足：
证明：当时
（I）;
（II）；
(III)
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明： ．
当n=1时，x1=1>0．
假设n=k时，xk>0，
那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．
因此．
所以，
因此．
（Ⅱ）由得，
．
记函数，
，
函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，因此
，
故．
【易错点】1.计算出错；2.解题方向、方法把握不好，如（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．
16.【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知无穷数列的首项， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ） 记， 为数列的前项和，证明：对任意正整数， .
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析; （I）运用数学归纳法推理论证，
（Ⅱ）由已知，即，可得数列为递增数列。
又 ，易知为递减数列，
则也为递减数列，故当时，
所以当时，
当时， ，成立；
当时，利用裂项求和法即可得证
试题解析：（Ⅰ）证明：①当时显然成立；
（Ⅱ），即，所以数列为递增数列。
又 ，易知为递减数列，
所以也为递减数列，
所以当时，
所以当时，
当时， ，成立；
当时，

综上，对任意正整数，
【易错点】1.计算出错；2.具体方向、方法把握不好，如（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．
17．【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】已知无穷数列的首项， .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ） 记， 为数列的前项和，证明：对任意正整数， .
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.
所以当时，
当时， ，成立；
当时，利用裂项求和法即可得证
试题解析：（Ⅰ）证明：①当时显然成立；
②假设当 时不等式成立，即，
那么当时， ，所以，
即时不等式也成立.
综合①②可知， 对任意成立.
（Ⅱ），即，所以数列为递增数列。
又 ，易知为递减数列，
所以也为递减数列，
当时，

综上，对任意正整数，
【易错点】1.计算出错；2.解题方向、方法把握不好，如（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．
18．已知数列满足， ，数列的前项和为，证明：当时，
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
试题解析：证明：（1）由于，则.
若，则，与矛盾，从而，
，
又， 与同号，
又，则，即.
（2）由于，则.
即， ，
当时，
从而
当时， ，从而.
（3），
叠加： .
【易错点】1.计算出错；2.解题方向、方法把握不好，如（1）利用递推关系不等式；（2）“放缩法”．