2018年高考数学二轮透析23题对对碰主题15+椭圆、双曲线的标准方程与几何性质

【主题考法】本主题考题形式为选择题或填空题，与函数、向量、正余弦定理、数列、不等式等知识结合重点考查椭圆与双曲线的定义、标准方程、几何性质，考查运算求解能力、推理论证能力，难度为基础题或中档题，分值5分.
【主题考前回扣】
1.椭圆的定义：把平面内与两定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：().
注意：（1）当时，轨迹是线段.(2)当时，轨迹不存在.
2.椭圆的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a2－b2)
范围
|x|≤a；|y|≤b
|x|≤b；|y|≤a
顶点
长轴顶点(±a,0)，短轴顶点(0，±b)
长轴顶点(0，±a)，短轴顶点(±b,0)
对称性
曲线关于x轴、y轴、原点对称
曲线关于x轴、y轴、原点对称
离心率
e＝∈(0，1)，其中c＝
3.双曲线的定义：把平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：().
注意：（1）当时，轨迹是直线去掉线段.(2)当时，轨迹不存在.
4.双曲线的几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
|F1F2|＝2c(c2＝a2+b2)
范围
|x|≥a；y∈R
x∈R；|y|≥a
顶点
实轴顶点(±a,0)，虚轴顶点(0，±b)
实轴顶点(0，±a)，虚轴顶点(±b,0)
对称性
曲线关于x轴、y轴、原点对称
曲线关于x轴、y轴、原点对称
离心率
e＝∈(1，+)，其中c＝
渐近线
等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为，离心率为，渐近线为.
6.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.
【易错点提醒】
1.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a<|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．
3．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
【主题考向】
考向一 椭圆的定义及其标准方程
【解决法宝】1.涉及椭圆上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用椭圆的定义与正余弦定理解题；
求解椭圆的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的的值，最后代入写出椭圆的标准方程.
例1【河南省郑州市2018年二质测】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线交于两点，若的周长为12，则的方程为( )
A. B. C. D.
【分析】利用椭圆的定义及已知条件，即可求出a，由离心率为即可求出c，结合a、b、c关系即可求出b，即可写出椭圆的标准方程.
考向二 椭圆的几何性质
【解决法宝】1.椭圆的离心率是椭圆的主要性质，是反映椭圆的扁平程度的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出和的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围；
要牢记几个最值：
①椭圆上的点到中心的距离的范围：；
②椭圆上的点到一焦点的距离的范围：.
例2．【湖南省郴州市2018届二质检】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【分析】设椭圆的左焦点为，知，结合图象、三角不等式与椭圆定义即可求出a的范围，即可求出椭圆离心率的范围.
【解析】记椭圆的左焦点为，则 ，即， ， ，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.
考向三 双曲线定义及其标准方程
【解决法宝】1.涉及双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用双曲线的定义；
求解双曲线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的的值，最后代入写出双曲线的标准方程.
例3．【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，5】已知是双曲线的两个焦点，在双曲线上，且满足，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】首先设出并由定义可得等式，然后结合已知条件可得出另一个等式，再联立两个等式即可求出的值，最后由三角形的面积计算公式即可得出所求的结果.
考向三 双曲线、抛物线的几何性质
【解决法宝】1.双曲线的离心率是双曲线的主要性质，是反映双曲线的开口大小的一个量，在求解有关离心率的问题时，一般不是直接求出和的值，而是根据题目给出的双曲线的几何特征，建立关于参数的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围；
2.双曲线的渐近线问题，要分焦点在x轴上上和焦点在y轴上分别处理，关键在找关于a,b的关系式.
例4 【2018年天津市十二重点中学联考（一）】设为双曲线上一点， 分别为双曲线的左、右焦点， ，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2或3 D. 或
【分析】由题知P在双曲线右支上，由双曲线定义与几何性质用a，b，c将的外接圆半径与内切圆半径表示出来，即可得到a,c的方程，化为e的方程，即可解出离心率.
【主题集训】
1.【山东省济南市2018届一模】下列曲线中离心率为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于离心率，所以此曲线为椭圆，排除选项A，B；对于选项C，此曲线为椭圆， ，离心率，不符合；对于选项D，为椭圆， 离心率，符合，选D.
2.【北京市西城区156中学2018届上学期期中】如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程化为标准形式为，因为此方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得．所以实数的取值范围是．选．
3.【云南省昆明市2018届第二次统考】已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于， 两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4.【山东省济南市2018届一模】已知椭圆： ，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】椭圆长轴为，焦点恰好三等分长轴，所以 椭圆方程为，故选B.
5. 【河北省衡水中学2018届十模】如图，设椭圆： 的右顶点为，右焦点为， 为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且，即=可得e==．
6.【吉林省长春市2018届质量监测（二）】已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则△内切圆的半径为
A. B. C. D.
【答案】D
7. 【海南省2018届上学期期末】已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】根据椭圆可以知焦点为， 离心率，故选B.
8. 【湖北省长望浏宁四县2018年3月联考】已知双曲线： 的一条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】双曲线： 的一条渐近线，圆化为标准方程为： ∵双曲线： 的一条渐近线与圆相切，∴，即，∴ ，故选：A
9.【山东省济南市2018届一模】已知双曲线： 的两条渐近线是， ，点是双曲线上一点，若点到渐近线距离是3，则点到渐近线距离是（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】A
【解析】双曲线的两条渐近线方程分别为，设为双曲线C上一点，则，即，点M 到两条渐近线距离之积为为常数，所以当点M到渐近线距离是3，则点到渐近线距离是，选A.
10.【广东省广州大学附中等三校2018届上期期中】已知圆的圆心为，设为圆上任一点，点的坐标为，线段的垂直平分线交于点，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
11.【江西省上饶市2018届二模】已知分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线的右支上存在点，满足，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线定义可知， ，又，联立两式，可得，根据双曲线的几何性质可得， ，又离心率范围是，故选A.
12.【天津市十二重点中学2018年联考】已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为,点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
13.【广西梧州市2018届二模】已知双曲线的右顶点为，离心率为，过点与点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由， 得，所以双曲线的渐近线方程为，由得，所以双曲线的方程为，故选C.
14.【安徽省宿州市2018届一质检】在平面直角坐标系中，设分别为双曲线的左、右焦点， 是双曲线左支上一点， 是的中点，且， ，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】∵是的中点， 是的中点，∴∥，又，∴，故为直角三角形，由双曲线的定义可得，∴，在中，可得，即，整理得，∴．选B．
15.【广东省惠州一中等六校2018届三联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
16.【山东省德州市2018届上学期期末】若双曲线的中心为原点， 是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于， 两点，且的中点为则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意设该双曲线的标准方程为， ，则且，则，即，则，即，则，所以，即该双曲线的方程为.故选B.
17.【河北唐山2017届高三上期期末，15】抛物线 与椭圆 有相同的焦点， 抛物线与椭圆交于，若共线，则椭圆的离心率等于 ．
【答案】
【解析】由题意，知，，即．由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和轴垂直，所以，又由抛物线的定义知，所以，即，，解得．
18. 【广东省珠海市2018届三3月质检】过点作斜率为的直线与椭圆： 相交于，两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】设，由题得，，，，.
19.【北京师范大学附中2018届二模】已知，是双曲线的左，右焦点，点在双曲线的右支上，如果，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
20.【江苏省盐城中学2018届上学期期末】已知椭圆与圆，若椭圆上存在点，由点向圆所作的两条切线， 且，则椭圆的离心率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为，所以,在RT 中，由得，由点在椭圆上知， ，所以，解得，又知，故填.
21.【江西省新余市2018届上学期期】设，为椭圆：的焦点，过所在的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
22. 【北京市朝阳区2018年一模】若三个点中恰有两个点在双曲线上,则双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】由于双曲线关于原点对称,故在双曲线上,代入方程解得,又因为,所以渐近线方程为.
23.【2018届广东省揭阳市一模】已知双曲线=的离心率为,左焦点为,当点P在双曲线右支上运动、点Q在圆=上运动时, 的最小值为_____.
【答案】
【解析】依题意可知a=1,b=,设B(0,1),由得,问题转化为求点到圆B上点的最小值,即,故．