2018年高考数学二轮透析23题对对碰主题16+抛物线定义、标准方程、几何性质

【主题考法】本主题考题形式为选择题或填空题，与向量、函数、不等式结合主要考查抛物线的定义、标准方程、几何 性质及直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力、数形结合思想与转化与化归思想，是中档题或难题，分值为5分.
【主题考前回扣】
1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上)的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
焦点在正半轴上
焦点在负半轴上
焦点在正半轴上
焦点在正半轴上
标准方程
（）
（）
（）
（）
图形
性质
顶点
（0,0）
对称轴
轴
轴
焦点
（，0）
（-，0）
（0，）
（0，-）
准线
=-
=
=-
=
范围
≥0，∈R
≤0，∈R
≥0，∈R
≤0，∈R
离心率
=1
是抛物线上一点，
=
=
=
=
3.已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A、B两点(如右图所示)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有以下结论：
(1)|AB|＝x1＋x2＋p，或|AB|＝(α为AB所在直线的倾斜角)；
(2)x1x2＝；
(3)y1y2＝－p2.
（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
4.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.
5.直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝ |x1－x2|＝ ·＝·|y1－y2|＝·.
【易错点提醒】
1.忽视抛物线的焦点位置导致应用定义与几何性质出错.
2.直线与抛物线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行.
【主题考向】
考向一 抛物线的定义与标准方程
【解决法宝】1.如何利用抛物线的定义解题：（1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征，并验证其满足抛物线的定义，然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；
（2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件，进行有效的转化，探求最值问题.
2.抛物线的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的的值，最后代入写出抛物线的标准方程.
例1【北京市朝阳区2018年高三一模】已知为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,若,则线段的中点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【分析】由题知直线是抛物线C的准线，过分别过作准线的垂线,垂足为,则由抛物线定义知，，由梯形的中位线定理即可求出AB的中点到直线x+1=0的距离.
考向二 抛物线的几何性质
【解决法宝】抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，无渐近线，的几何意义是焦点到准线的距离.
例2 【广东省江门市2018届一模】是抛物线的焦点，点抛物线上，点在抛物线的准线上，若，则（ ）
A. B. C. D.
【分析】设P、F在准线上的摄影分别为M，K，则，则，由P的几何意义知|FK|=1，即可求出|MP|，由抛物线定义与已知条件，即可求出|PF|和|QF|，即可求出|PQ|.
【解析】如图，设抛物线的准线和对称轴的交点为K．过点P作准线的垂线，垂足为M，则，由，得，即，所以，故，所以．选A．
考向三 直线与抛物线的位置关系
【解决法宝】解决直线与抛物线的位置关系问题，常采用“设而不求”的方法，步骤如下：
（1）先根据条件设出直线方程或抛物线方程，联立两个方程，消去或，整理成关于的二次方程；
（2）设直线与椭圆的交点坐标为，根据根与系数的关系，写出两根和与两根积的表达式；
（3）将题中的条件用的坐标表示，然后化简整理．但要注意的是，对于直线与抛物线的位置关系的判定时，联立方程后首先要看二次项系数是否为0.
例3【新疆乌鲁木齐地区2018届二诊】是过抛物线焦点的弦，其垂直平分线交轴于点，设，则的值是（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 与的值有关
【分析】设出A,B点的坐标，用坐标表示出直线AB的斜率，写出AB的垂直平分线方程，求出G的坐标，求出FG的距离，与AB长作比较，即可作出判断.
【主题集训】
1.【宁夏吴忠市2018届联考】抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由有，所以，即抛物线的焦点到准线的距离为，选D.
2.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，6】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，若两点的横坐标之和为，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【解析】由抛物线定义得，选D.
3.【陕西省榆林市2018届二模】若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】 由抛物线的定义可知，点到焦点的距离为，点到轴的距离为，所以，解得，故选A.
4.【辽宁省抚顺市2018届3月模拟】已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段的中点的横坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
5.【河北邯郸市2017届高三9月联考，4】设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，若的面积为2，则点的坐标为（ ）
A．（1,2）或（1，-2） B．（1,4）或（1，-4）
C.（1,2） D．（1,4）
【答案】.
【解析】设点的坐标为， 则因为的面积为2，所以，即，所以，所以点的坐标为（1,2）或（1，-2），故应选.
6.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，9】若双曲线（）的左、右焦点分别为，且线段被抛物线的焦点分成的两段，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7.【山西省太原市2018届3月模拟（一）】已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由抛物线定义得 ,在三角形AFB中
，所以，选D.
8.．【2018年江西省抚州市八校联考】已知双曲线 (，)与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，
所以，则，解得，双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，则双曲线的离心率为，故选C.
9.【河南省南阳市2018届上学期期末】抛物线的焦点为，过且倾斜角为60°的直线为，，若抛物线上存在一点，使关于直线对称，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
10.【山东省威海市2018届期末】设抛物线的焦点为，是上两点，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线方程为，将代入方程，得，，故选C.
11.【贵州省黔东南州2018届一模】过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆的圆心为，半径为.点到的准线的距离与之积为25，则（ ）
A. 40 B. 30 C. 25 D. 20
【答案】A
【解析】由抛物线的性质知，点到的准线的距离为，依题意得，又点到的准线 的距离为，则有，故，故选A．
12.【江西省重点中学协作体2018届一联考】已知抛物线 ，则P到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
13.【江西上饶市2018届一模】已知点是抛物线上的一点，若以其焦点为圆心，以为半径的圆交抛物线的准线于、两点，若且满足，当的面积为时，则实数的值为( )
A. 4 B. C. D.
【答案】B
14.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，15】过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为 ．
【答案】
【解析】为的中点，所以，因此解得
15.【河北省武邑中学2018届下学期开学考】已知抛物线： 上一点，直线： ， ： ，则到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题得直线： 是抛物线的准线,设P到直线的距离为PA，点P到直线的距离为PB,所以到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时，距离之和最小. 此时，最小值为，故选D.
16.【安徽省宿州市2018届一质检】已知抛物线，圆，直线自上而下顺次与上述两曲线交于四点，则下列各式结果为定值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C

17.【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模】抛物线的焦点为，点， 为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为____________
【答案】13
【解析】由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长，填13.
18.【四川省绵阳市一中2018届二高一模】设是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是________．
【答案】
【解析】的准线是，到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到的距离之和等于 ，即点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为，故答案为.
19.【云南省保山市2018届二统测】已知是抛物线： 的焦点，点的坐标为，点是上的任意一点，当在点时， 取得最大值，当在点时， 取得最小值，则， 两点间的距离为__________．
【答案】
20.【安徽省滁州市2018届上学期期末】已知抛物线： （）的焦点为，准线： ，点在抛物线上，点在准线上，若，直线的倾斜角为，则__________．
【答案】
【解析】如图，设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为，∴，双，∴ ，又由已知，即，∴.
21.【山东烟台市二高2018届一模】已知过点 的直线与抛物线 交于 、 两点，线段 的垂直平分线经过点 ， 为抛物线的焦点，则 __________．
【答案】
22.【河南南阳市西峡一高2018届一模】抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是_______.
【答案】1
【解析】设 ，如图，根据抛物线的定义，可知，再梯形中，有，中，，又因为，所以 ，所以，故最大值是1。
23.【河北省定州中学2018届下学期开学考】已知抛物线的焦点为，点 是抛物线上一点，以为圆心的圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为 ，若，则_______．
【答案】1