2018届浙江高三数学三轮复习专题突破专题2.3+三角函数与三角形

专题2.3 三角函数与三角形
1. 三角函数的符号致误
进行三角运算时，正确使用同角三角函数间的基本关系，诱导公式及两角和与差的三角公式是关键，同时一定要注意三角函数符号的判断.
例1.已知角的张终边经过点， 且为第二象限．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
试题解析：（1）由三角函数定义可知，解得， 为第二象限角， .
（2）由知， .
点评：正确使用诱导公式，不注意角的范围来正确确定符号，是本题的易错点.
2.三角函数的图象变换致误
三角函数的图象变换中的左右平移变换的方向与符号的对应关系是极易搞混的，还有就是平移的单位个数问题也是容易错误的地方，再就是在审题上容易出现错误的情况．
例2.将函数的图象向右平移个单位得到的图象，若在和上都单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
点评：由的图象变换出 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.
正确利用图象的平移和伸缩变换以及三角函数的图象与性质解决问题
3.三角恒等变形公式致误
利用三角恒等变形公式对三角函数式进行化简，求值，证明的过程中，往往因为公式记忆不准确，从而导致错解．
例3【湖南G10教育联盟2018年4月高三联考】已知，则__________．
【答案】
又tan=tan（﹣）===2﹣，
∴tan（+α）===2﹣4．
故答案为：2﹣4．
点评：熟练的运用诱导公式以及和差倍半的三角函数公式解决问题.
4.忽视角的范围
确定三角函数式的性质，往往需要先化简，化简过程中，三角函数公式易于出错，另外，当给定角的范围时，也易于因忽视这一点而导致错误.
例4.【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟】已知向量，函数.
（1）求的对称中心；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【解析】试题分析：（1）由，令即可得对称中心；
（2）由，得，进而根据正弦函数的图象即可得最值.
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以时，即， 的最大值为，
当时，即时， 的最小值为.
点评：本题考查的知识点比较多，主要考查二倍角公式、两角差的正弦公式及三角函数的最值，属于中档题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.
5.解三角形时致误
解三角形时不仅要正确使用正弦定理和余弦定理，还应注意：内角和定理，大边对大角，大角对大边，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边等，若不注意这些是及易犯错的．
例5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足。
（1）求A的大小；
（2）若sin（B+C）=6cosBsinC，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由切化弦及正弦定理化角，可得。（2）由， ，再由正弦定理化为cosB,结合角B的余弦定理化边可求。
（2）由（1）知
①又由得
②
由①②得 ， 即
解得
点评：（1）正弦定理的简单应用，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．
（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
1.函数在区间[0，]上的最小值是（　　）
A. ﹣1 B. C. 1 D. 0
【答案】B
【易错点】1.三角恒等变换；2.角的范围.
2.【2018届陕西省榆林市高三高考模拟第二次测试】 设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将的图象向右平移个单位后对应的函数为函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，所以有，即，又，故，故选A.
【易错点】由图象变换写解析式是易错点，一是平移的方向，二是平移的单位数.
3.已知，则等于( )
A.7 B. C. D.
【答案】B
【解析】因，所以，
【易错点】用平方关系求值是易错点.
4.函数f（x）=Asin（）（A>0， >0, 0< < ）的图象如图所示，则下列有关
f（x）性质的描述正确的是（ ）
A. =
B. x= ，kZ为其所有对称轴
C. ，kZ为其减区间
D. f（x）向左移可变为偶函数
【答案】D
【解析】由图可知，A=1, ，又，又0< < ，所以，
， 。所以A错， 所有对称轴为，B错。
要求减区间只需，即，即减区间为，所以C错。的图像向左平移个单位得，即为偶函数，选项D对，选D.
【易错点】对正弦函数的性质掌握的不熟
5.【2018届安徽省安庆市高三二模】已知函数（ ）图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】A
【易错点】1、三角函数的图象与性质；2、图象的变换．
6.若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【易错点】正确画出函数图象是易错点.
7.已知函数的部分图象如图，则（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】B
【解析】由题意得，，因为，周期为，一个周期的和为零，所以0，选B.
【易错点】三角函数解析式及周期性质
8.已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则 (　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【易错点】本题主要通过求三角函数的解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用三角函数性质求解析的方法：1、利用最值求出 ；2、利用周期公式求出；3、利用特殊点或对称性求出，在求解每一个参数时，一定根据题设条件，考虑参数的范围，这样才能保证解析式的唯一性.
9.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝，S为△ABC的面积，则S＋cos Bcos C的最大值为__________________
【答案】
【解析】，由，可得，设外接球的半径为，则，解得， ，故的最大值为，故答案为.
【易错点】1.正弦定理与余弦定理的应用；2.和差倍半的三角函数公式.
10. 已知，函数在上单调递减，则的取值范围是_______．
【答案】
， ， ， 若函数在上单调递减，则满足，即，即，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查三角函数的性质及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的．
【易错点】余弦函数的图象和性质.
11．已知函数，项数为的等差数列满足，且公差，若，则当__________时， ．
【答案】14
【解析】函数是奇函数，故图象关于原点对称，且图象过原点．
而等差数列有项， ，
由等差数列的性质可得，
所以，
则必有，
故．
答案：14.
【易错点】1.函数奇偶性和等差数列性质的利用；2.对称在数学解题中的应用．
12.【2018届浙江省宁波市高三上学期期末】如图，在平面四边形中， ， ， ，点为中点， 分别在线段上，则的最小值为__________．
【答案】1
，得或，又，当时取等号，所以所求最小值为.
故答案为.
【易错点】1.正余弦定理解三角形；2.应用函数方程思想解题.
13. 设函数的图象关于直线对称,它的周期是,有下列说法:
①的函数图象过点;
②在上是减函数;
③的一个对称中心是;
④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.
其中正确的序号是________.（正确的序号全填上）
【答案】①③
函数的解析式为：
当x=0时f(0)= ，所以①正确.
当,，函数不是单调减函数，②不正确；
当x=时f(x)=0.函数的一个对称中心是(,0)，③正确；
f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sin(ωx+φ ωφ)的图象，不是函数y=3sinωx的图象，④不正确；
故答案为：①③.
点睛：函数的性质
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴
(4)由求增区间; 由求减区间.
【易错点】正弦函数的图象和性质.
14.【2018届重庆市巴蜀中学高三三月月考】在中，角所对的边分别为，若.
（1）求角的大小；
（2）已知， 的面积为8，求边长的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先利用降幂公式，再使用差角的余弦和和角的余弦解答. （2）先利用余弦定理化简，得到b的值，再根据面积得到a的值.
（2）∵，
∴
∵，
∴.
【易错点】三角形边角关系的转化.
15.【2018届陕西省榆林市高三高考模拟第二次测试】在中，角. ， 所对的边分别为, ， ,且.
（1）求B；
（2）若， ， ，求的面积.
【答案】(1) ；(2) .
解析：（1）因为，所以，而，故，所以.
（2）由，得，化简得，解得，或（舍去），所以.
【易错点】三角形边角关系的转化.
16. 设函数．
（）求的最小正周期．
（）当时，求函数的最大值和最小值．
【答案】（1）的最小正周期；（2）的最大值是，最小值是.
【解析】试题分析：（1）由二倍角公式将式子化简，再由周期的公式得到结果；（2）∵，∴, ，进而得到最值.
（）∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴当时， 的最大值是，最小值是．
【易错点】1.三角函数的恒等变换；2.角的范围.
17. 如图所示，在四边形中， ，且， ， ．
（）求的面积．
（）若，求的长．
【答案】（1）；（2）
试题解析：
（）∵， ，
∴，
∴，
∴的面积．
（）∵在中， ， ， ，
∴由余弦定理可得，
∴，
在中， ， ， ，
∴由余弦定理可得，
即，
化简得，
解得．
故的长为．
【易错点】1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和定理及三角形面积公式.
18.【2018届北京市京源学校高三十月月考】 已知函数, .
（Ⅰ）求函数的最大正周期与单调增区间值;
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】（Ⅰ）最小正周期是: ,；（Ⅱ）最小值为0，最大值为1.
试题解析：（Ⅰ）
的最小正周期是: ,
令得, ,
所以单调增区间为;
【易错点】1.三角函数的恒等变换；2.角的范围.
19.【2018届湖南省三湘名校教育联盟高三第三次联考】如图， 分别为中角的对边， ， .
（1）求的值；
（2）求的外接圆的半径.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）根据条件求得，在中，由正弦定理得即可得解；
（2）在中，由余弦定理解得，在中， 即可得解.
试题解析：
（1）∵,∴,
∴,
在中，由正弦定理得，∴.
（2）在中， .
在中， .
【易错点】1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦公式．