2018届浙江高三数学三轮复习专题突破专题2.4+平面向量、复数

专题2.4 平面向量、复数
1.平面向量的概念与运算致误
向量的运算有加、减、数乘及数量积，特别是数量积的运算，由于数量积不满足结合律与消去律，若在计算的过程中不加特别注意，就会出现错误．
例1【2018届高三年级精准复习训练】在中， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， ( )
A. 9 B. C. D.
【答案】B
【解析】等价于等价于等价于,以为坐标原点，直线AB，AC分别为轴, 轴建立平面直角坐标系，则，设，
则，所以最小，此时， ， ， ;故选B.
点评：平面向量的数量积定义涉及到了两向量的夹角与模，是高考的常考内容，题型多为选择填空，主要命题角度为：1.求两向量的夹角；2.两向量垂直的应用；3.已知数量积求模；4.知模求模；5.知模求数量积.
2.平面向量模与夹角的范围
1.求向量的模一般有两种方法，方法一：利用求解；方法二：利用求解.解题过程中问题的转化容易出错，再就是在审题上容易出现错误．
2.求两个向量的夹角一般有两种方法：方法一：；方法二：设=,=，为向量与的夹角，则
解题过程中要注意，一是对于不谈它与其它向量的夹角问题；二是确定向量与的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如： 但是 ；三是平面向量的夹角范围是.
例2. 已知直角梯形,//,,,是腰上的动点，
则的最小值为____________.
【答案】
【解析】
例3.
的夹角.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】
点评：（1）是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用公式求解时，要先求，这些基本量，再代入公式.
3.平面向量的应用
利用平面向量，可以解决平面几何、解析几何中的错装成、平行及夹角问题，解题过程中通常考虑一是几何法，二是坐标法，应充分利用数形结合思想. 如果已知中涉及直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、菱形等，可以尝试建立直角坐标系，求向量的数量积.利用坐标法，正确建系是关键，否则易于导致错解．
例4【2018届江西省南昌市高三第一轮复习训练】若向量与向量的夹角为钝角， ，且当时， ()取最小值，向量满足 ，则当 取最大值时， 等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设=， =， =，如图：
∵向量， 的夹角为钝角，
∴当与垂直时， 取最小值，即
过点B作BD⊥AM交AM延长线于D，则BD=，
∵||=MB=2，∴MD=1，∠AMB=120°，即与夹角为120°．
∵∴=0，
∴|| || cos120°+||2=0，
∴||=2，即MA=2，
∵MA=MB=2，O是AB中点，∴MO⊥AB，
∴∠BOC=∠MOA=90°，
∴| |=BC=OB=．
故答案选：A．
点评：这个题目考查了向量加法的三角形法则,向量垂直的坐标表示,向量模长的求法等知识方法,有一定的计算量.对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识.
例5.如图，平行四边形中，点分别是边的中点，分别与交于两点，你能发现之间的关系吗？
【答案】三者相等
点评：（1）利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，再通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.（2）首先要构造，，它是平面向量的基底.
4. 复数的概念及其运算
正确理解复数的概念，复数是不能比较大小的，复数的代数形式及其运算，复数的运算性质有些可以类
比实数的运算性质，而有些不能类比，是易错点．
例5.已知（为虚数单位，，），在（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，所以，故选B.
点评：1.复数的运算；2.复数的概念.
1. 已知,i是虚数单位，若，则a=
（A）1或-1 （B） （C）- （D）
【答案】A
【解析】试题分析：由得，所以，故选A.
【易错点】 1.复数的概念.2.复数的运算.
2.设是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【易错点】复数的概念.
3．【湖南G10教育联盟2018年4月高三联考】平行四边形中， ， ， ， 是平行四边形内一点，且，如，则的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】∵，
∴==9x2+4y2+2xy×3×2×（﹣）
=（3x+2y）2﹣3 3x 2y≥（3x+2y）2﹣×（3x+2y）2
=×（3x+2y）2；
又=1，
即×（3x+2y）2≤1，
所以3x+2y≤2，当且仅当3x=2y，
即x=，y=时，
3x+2y取得最大值2．
故选：B．
【易错点】1.平面向量的线性运算；2.基本不等式的应用.
4．【2018届重庆市第一中学高三下学期第一次月考】平面上三个单位向量两两夹角都是，则与夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
所以与的夹角为，且，
所以与的夹角为，故选D.
【易错点】1.平面向量的数量积；2.平面向量的夹角.
5．【2018届浙江省诸暨市高三上学期期末】已知，满足，点为线段上一动点，若最小值为，则的面积（ ）
A. 9 B. C. 18 D.
【答案】D
【解析】设 则
所以
，所以
从而的面积 ，选D.
点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
【易错点】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.
6．【2018届浙江省嵊州市高三第一学期期末】如图，已知矩形中， ， ，该矩形所在的平面内一点满足，记， ， ，则（ ）
A. 存在点，使得 B. 存在点，使得
C. 对任意的点，有 D. 对任意的点，有
【答案】C
， ， ， 错误， 正确， ， ， 错误， 错误，
故选C.
【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是几何形式， ，二是坐标形式， （求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
【易错点】1.平面向量的数量积；2.数形结合.
7．【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知， 是两个非零向量，且， ，则的最大值为
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】时， ， 当时， 取得最大值，故选B.
【易错点】1.平面向量模与数量积的转化；2.导数的应用.
8．如图，点在以为直径的圆上，其中，过向点处的切线作垂线，垂足为，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
依题意可证∽，则，即
∵
∴，即，当且仅当时取等号
∴
∴
∴的最大值为1
故选B
点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
【易错点】1.平面向量的数量积；2.基本不等式的应用.
9．【2018届浙江省镇海中学高三上学期期中】在平面内， ，动点， 满足， ，则的最大值是
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】D
【解析】由，
得.
所以是等边三角形，设的边长为，则，得.
整理得： ，即点M在以为圆心，1为半径的圆上，
则的最大值是圆心到B的距离加半径： .
故选B.
点睛：对于直线和圆的位置关系的问题，可用“代数法”或“几何法”求解，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，解题时不要单纯依靠代数计算，若选用几何法可使得解题过程既简单又不容易出错．
【易错点】1.平面向量的数量积；2.数形结合思想的应用.
10．如图，半径为1的扇形中， ， 是弧上的一点，且满足， 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.
(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.
(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
【易错点】1.平面向量的数量积；2.数形结合思想的应用.
11．【2018年北京市朝阳区高三一模】在平面直角坐标系中,已知点, ,动点满足 ,其中,则所有点构成的图形面积为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设,则,
, ,所有点构成图形如图所示（阴影部分）,
,故选.
【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.
【易错点】1.简单线性规划的应用；2.数形结合思想的应用.
12.实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任意两个复数，（，，，，为虚数单位），当且仅当或且，下面命题①；②若，，则；③若，则对于任意，；④对于复数，则其中真命题是（ ）
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
【答案】A.
【易错点】新定义的理解是易错点.
13. 【2017浙江，12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则 ，ab= ．
【答案】5，2
【易错点】复数的概念及其运算.
14.如图,在矩形中,点、分别在线段、上,且满足,若,则___________; ___________.
【答案】 0
【解析】.
，
又∴两式相加得
即
点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【易错点】1.基底的确定；2.平面向量基本定理的应用.
15.【2018届浙江省绍兴市高三3月适应性模拟】已知正三角形的边长为4，是平面上的动点，且，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】如图所示,
建立直角坐标系,设.
由题得，
所以动点O的轨迹是圆，所以
，所以-4x的最大值为.
故填
点睛:本题的难点在于想到利用解析法来解析,本题如果不用解析法解答,用其它方法,比较复杂,很难化简，但是利用解析法，先求出动点的轨迹，后面就简单了. 遇到正三角形、直角三角形、菱形等，可以尝试利用解析法解答.
【易错点】1.数形结合思想的应用；2.平面向量的坐标运算.
16. 2018届浙江省嵊州市高三第一学期期末【】已知向量， 满足， ，则的最大值为_______， 与的夹角的取值范围为__________.
【答案】 1
【易错点】1.平面向量的模与数量积的转化；2.基本不等式的应用.
17.已知单位向量的夹角为，设， ，则与夹角大小为__________．
【答案】
【解析】
，
设与夹角为θ，则
【易错点】1.平面向量的模与数量积的转化；2.平面向量的夹角计算.
18.【2018年石景山区高三理科数学统一测试(一模)】设是由一平面内的个向量组成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．则称是的极大向量.有下列命题：
①若中每个向量的方向都相同，则中必存在一个极大向量；
②给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量，使得中的每个元素都是极大向量；
③若中的每个元素都是极大向量，且中无公共元素，则中的每一个元素也都是极大向量．
其中真命题的序号是_______________．
【答案】②③
【易错点】新定义的理解．