2017-2018学年八年级数学下册第19章一次函数学科素养思想方法（含解析）

一次函数
学科素养·思想方法
一、数形结合思想
【思想解读】化数为形,以形思数,是解决数学问题的关键.数形结合思想不仅为分析问题、解决问题提供了有利条件,而且是培养创新意识、开发智力的重要途径.
【应用链接】直角坐标系的建立实现了数与形紧密结合,使抽象的数形象化、直观化.在一次函数中体现尤为明显.
【典例1】(2017·宝丰一模)某单位举行“健康人生”徒步走活动,某人从起点体育村沿建设路到市生态园,再沿原路返回,设此人离开起点的路程s(千米)与走步时间t(小时)之间的函数关系如图所示,其中从起点到市生态园的平均速度是4千米/小时,用2小时,根据图象提供的信息,解答下列问题.
(1)求图中的a值.
(2)若在距离起点5千米处有一个地点C,此人从第一次经过点C到第二次经过点C,所用时间为1.75小时.
①求AB所在直线的函数解析式;
②请你直接回答,此人走完全程所用的时间.
【思路点拨】(1)根据路程=速度×时间即可求出a值.
(2)①根据速度=路程÷时间求出此人返回时的速度,再根据路程=8-返回时的速度×时间即可得出AB所在直线的函数解析式;
②令①中的函数解析式中s=0,求出t值即可.
【自主解答】(1)a=4×2=8.
(2)①此人返回的速度为(8-5)÷=3(千米/小时),AB所在直线的函数解析式为s=8-3(t-2)=-3t+14.
②当s=-3t+14=0时,t=.
答:此人走完全程所用的时间为小时.
【变式训练】
甲、乙两车从A地出发,沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地,l1, l 2分别表示甲、乙两车行驶路程y(千米)与时间x(小时)之间的关系(如图所示).根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)求l 2的函数解析式(不要求写出x的取值范围).
(2)甲、乙两车哪一辆先到达B地?该车比另一辆车早多长时间到达B地?
【解析】(1)设l 2的函数解析式是y=k2x+b,由图象知l 2经过两点,,则解之得k2=100,b=-75.
∴l 2的函数解析式是y=100x-75.
(2)乙车先到达B地;
∵300=100x-75,∴x=.
设l 1的函数解析式是y=k1x,∵图象过点,∴k1=80,即y=80x.当y=400时,400=80x,∴x=5.
∴5-=(小时),∴乙车比甲车早小时到达B地.
二、转化思想
【思想解读】转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想,就解题的本质而言,解题意味着转化,把生疏问题转化为熟悉问题,把抽象问题转化为具体问题,把复杂问题转化为简单问题,把一般问题转化为特殊问题,把高次问题转化为低次问题,把未知条件转化为已知条件,把一个综合问题转化为几个基本问题,把顺向思维转化为逆向思维等,因此学会数学转化,有利于实现学习迁移,从而可以较快地提高学习质量和数学能力.
【应用链接】利用直角坐标系,可以把数量问题转化为图形问题解决;或把求点的坐标转化为求线段的长;求两个函数图象的交点转化为解方程组等问题.
【典例2】(2017·河南模拟)如图1,同一直线上依次有A,C,B三个车站,且A,B间的距离为240千米,甲,乙两车分别从A,B两地同时出发,匀速相向行驶,甲车2小时可到达图中C站,乙车需1小时到达C站,乙车的速度是甲车的,甲、乙两车距C站的距离与行驶的时间x(小时)之间的函数关系如图2所示.
(1)求线段MF所代表的函数解析式.
(2)求点D的坐标,并说明它表示的实际意义.
【思路点拨】(1)根据题意列出有关甲车速度v的一元一次方程,即可求得甲车速度,进而求得M,F点的坐标,根据待定系数法即可求得解析式.
(2)两函数的图象相交,说明两辆车相遇.
【自主解答】(1)设甲车速度为v千米/时,
则乙车速度为v千米/时,根据题意得2v+v×1=240.解得v=90.所以AC=2×90=180(千米),
所以M(0,180),F(2,0),设直线MF的解析式为y=kx+b,则解得∴线段MF所代表的函数解析式为y=-90x+180(0≤x≤2).
(2)240÷(90+60)=1.6.
当x=1.6时,y=-90×1.6+180=36,所以点D的坐标为(1.6,36).
点D表示当两车行驶了1.6小时时,在距离C站36千米处相遇.
【变式训练】百舸竞渡,激情飞扬.为纪念爱国诗人屈原,邵阳市在资江河隆重举行了“海洋明珠杯”龙舟赛.如图是甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系图象,请你根据图象回答下列问题:
(1)1.8分钟时,哪支龙舟队处于领先地位?
(2)在这次龙舟比赛中,哪支龙舟队先到达终点?
(3)比赛开始多少时间后,先到达终点的龙舟队就开始领先?
【解析】(1)1.8分钟时,甲龙舟队处于领先地位.
(2)乙龙舟队先到达终点.
(3)设甲龙舟队的解析式为y=k1x,则1000=4k1,k1=250.∴甲龙舟队的解析式为y=250x.
设乙龙舟队2.2分钟及以后的解析式为y=k2x+b,
则解得k2=375,b=-425,
∴乙龙舟队2.2分钟及以后的解析式为y=375x-425.
依题意有∴
∴比赛开始3.4分钟后,乙龙舟队开始领先.
三、分类讨论思想
【思想解读】在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的,这样字母的取值不同也会影响问题的解决,由上述几类问题可知,就其解题方法及转化手段而言都是一致的,即把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.
【应用链接】分类讨论是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,不重复、不遗漏是分类的基本原则.
【典例3】(2017·长春模拟)甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地,甲以a千米/时的速度匀速行驶,途中出现故障后停车维修,修好后以2a千米/时的速度继续行驶;乙在甲出发2小时后匀速前往B地,设甲、乙两车与A地的路程为s(千米),甲车离开A地的时间为t(小时),s与t之间的函数图象如图所示.
(1)求a和b的值.
(2)求两车在途中相遇时t的值.
(3)当两车相距60千米时,t=__________小时.
【思路点拨】(1)根据速度=路程÷时间即可求出a值,再根据时间=路程÷速度算出b到5.5之间的时间段,由此即可求出b值.
(2)观察图形找出两点的坐标,利用待定系数法即可求出s乙关于t的函数关系式,令s乙=150即可求出两车相遇的时间.
(3)分0≤t≤3、3≤t≤4和4≤t≤5.5三段求出s甲关于t的函数关系式,令|s甲-s乙|=60即可得出关于t的带绝对值符号的一元一次方程,解之即可求出t值,再求出0≤t≤2时,s甲=50t=60中t的值.综上即可得出结论.
【自主解答】(1)a==50,b=5.5-=4.
(2)设乙车与A地的路程s与甲车离开A地的时间t之间的函数关系式为s乙=kt+m,
将(2,0),(5,300)代入s=kt+m,
解得:
∴s乙=100t-200(2≤t≤5).
当s乙=100t-200=150时,t=3.5.
答:两车在途中相遇时t的值为3.5.
(3)当0≤t≤3时,s甲=50t;
当3≤t≤4时,s甲=150;
当4≤t≤5.5时,s甲=150+2×50(t-4)=100t-250.
∴s甲=
令|s甲-s乙|=60,即|50t-100t+200|=60,
|150-100t+200|=60或|100t-250-100t+200|=60,
解得:t1=,t2=(舍去),t3=(舍去),t4=(舍去);
当0≤t≤2时,令s甲=50t=60,解得:t=.
综上所述:当两车相距60千米时,t=或.
【变式训练】某校部分住校生放学后到学校锅炉房打水,每人接水2升,他们先同时打开两个放水笼头,后来因故障关闭一个放水笼头.假设前后两人接水间隔时间忽略不计,且不发生泼洒,锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分)的函数图象如图.请结合图象,回答下列问题:
(1)根据图中信息,请你写出一个结论.
(2)问前15位同学接水结束共需要几分钟?
(3)小敏说:“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟.”你说可能吗?请说明理由.
【解析】(1)具有开放性,答案不唯一.锅炉内原有水96升,接水2分钟后,锅炉内的余水量为80升,接水4分钟后,锅炉内的余水量为72升,2分钟前水流量为每分钟8升等.
(2)当0≤x≤2时,设函数解析式为y=k1x+b1,把x=0,y=96和x=2,y=80代入得,解得
∴y=-8x+96(0≤x≤2);
当x>2时,设函数解析式为y=k2x+b2,
则解得
∴y=-4x+88(x>2).
∵前15位同学接完水时余水量为96-15×2=66(升),∴66=-4x+88,解得x=5.5.
答:前15位同学接完水需要5.5分钟.
(3)①若小敏他们是一开始接水的,则接水时间为8×2÷8=2(分),即8位同学接完水,只需要2分钟,与接水时间恰好3分钟不符.
②若小敏他们是在若干位同学接完水后开始接水的,设8位同学从t分钟开始接水.
当0此时符合题意.
当t>2时,则8×2÷4=4(分),即8位同学接完水,需4分钟,与接水时间恰好3分钟不符.
所以小敏的说法是可能的,即从1分钟开始8位同学连续接完水恰好用了3分钟.