数列通项公式的求法
图片预览
文档简介
数列通项公式的求法
考点1：由数列的前几项求数列的通项
【观察法】（关键是找出各项与项数n的关系：横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。）
例1、根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)，，，，，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5,55,555,5 555，….
解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．21·cn·jy·com
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为an＝.www.21-cn-jy.com
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝.
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，21cnjy.com
故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
例2、数列0，，，，…的一个通项公式为( )．
an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*)
C．an＝(n∈N*) D．an＝(n∈N*)
解析 将0写成，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C.
练习1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，… （2）
（3） （4）
答案：（1） （2） （3） （4）.
考点2：由an与Sn的关系求通项an
【公式法】 知利用公式 .
例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.
（1）. （2）
答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.
例2、设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)依题意，2S1＝a2－－1－，
又S1＝a1＝1，所以a2＝4；
(2)由题意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
所以当n≥2时，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an－nan＋1＝－n(n＋1)，
即－＝1，又－＝1，
故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
练习1．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝( )．
A. B. C. D．30
解析1： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30.
答案 D
练习2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝( )．
A．－10 B．6 C．10 D．14
解2： a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.
答案 C
练习3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )．
A．2n－1 B.n－1 C.n－1 D.
解析3： ∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即＝(n≥2)，
又a2＝，∴an＝×n－2(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1≠×－1＝，
∴an＝
∴Sn＝2an＋1＝2××n－1＝n－1.
答案 B
练习4、设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则数列{an}的通项公式为________．21教育网
解析4：∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，两式左右两边分别相减得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由题意知，a1＝，符合上式，2·1·c·n·j·y
∴an＝(n∈N*)． 答案 an＝
考点3：由递推公式求数列的通项公式
【累加法】（型如的递推关系）
简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 【来源：21·世纪·教育·网】
例1. 若在数列中，，，求通项 .
答案：=
例2.已知数列满足，，求此数列的通项公式.
答案：
练习1、在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________；
解析：由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.21·世纪*教育网
又a1＝2＝＋1，符合上式，
因此an＝＋1.
【累积法】 （形如=(n)·型）
（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
例1、在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式.
答案：
例2、已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式. .
答案：
练习：1、设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.www-2-1-cnjy-com
解析1：∵(n＋1)a＋an＋1·an－na＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，
又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
即＝，∴····…·＝××××…×，∴an＝.
练习2、已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )．
A．2n－1 B.n－1 C．n2 D．n
解析2： 法一 (构造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，
∴＝，∴数列是常数列．且＝＝1，∴an＝n.
法二 (累乘法)：n≥2时，＝，＝. … ＝，＝，
两边分别相乘得＝n，又因为a1＝1，∴an＝n.
答案 D
【构造法1】（形如,其中)型）
若c=1时，数列{}为等差数列;
若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
方法如下：设,得,与题设比较系数得，
所以：,即构成以为首项，以c为公比的等比数列.
例1：已知数列的递推关系为，且求通项. 答案：21世纪教育网版权所有
练习1、课本习题A4，B1.
练习2、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝________.
解析：an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，
由＝3，即an＋1＋1＝3(an＋1)，
当n≥2时，an＋1＝3(an－1＋1)，
∴an＋1＝3(an－1＋1)＝32(an－2＋1)＝33(an－3＋1)＝…＝3n－1(a1＋1)＝2×3n－1，
∴an＝2×3n－1－1；
当n＝1时，a1＝1＝2×31－1－1也满足．
∴an＝2×3n－1－1.
【构造法2】（形如 an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)型）
an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得－＝q，数列为等差数列．
例2：已知数列满足且=1，求数列的通项公式及前n项和. 提示：等式两边同除以，，
练习1：已知数列的前n项和=，求数列的通项公式.
答案：
练习2：已知数列满足,求数列的通项公式
提示：等式两边取对数，
【构造法3】相邻项的差为特殊数列（形如，其中型）
可化为()=(),其中是方程的两根
例3：在数列中，，，，求.
提示：变为.
练习1：课本复习题B6.
【构造法4】倒数为特殊数列【形如】
例4：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
解：∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，
∴是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝(n∈N*)．
练习1：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式.
答案
考点4：求周期数列的通项公式
若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分为奇数项和偶数项来讨论.
形如型①若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来求通项.
例1： 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.
练习1：(2014·课标全国Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
[解析] ∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝＝
＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.
[答案]
考点1：由数列的前几项求数列的通项
【观察法】（关键是找出各项与项数n的关系：横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。）
例1、根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)，，，，，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5,55,555,5 555，….
解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．21·cn·jy·com
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为an＝.www.21-cn-jy.com
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝.
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，21cnjy.com
故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
例2、数列0，，，，…的一个通项公式为( )．
an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*)
C．an＝(n∈N*) D．an＝(n∈N*)
解析 将0写成，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C.
练习1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，… （2）
（3） （4）
答案：（1） （2） （3） （4）.
考点2：由an与Sn的关系求通项an
【公式法】 知利用公式 .
例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.
（1）. （2）
答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.
例2、设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)依题意，2S1＝a2－－1－，
又S1＝a1＝1，所以a2＝4；
(2)由题意2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
所以当n≥2时，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an－nan＋1＝－n(n＋1)，
即－＝1，又－＝1，
故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
练习1．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则＝( )．
A. B. C. D．30
解析1： 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30.
答案 D
练习2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝( )．
A．－10 B．6 C．10 D．14
解2： a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10.
答案 C
练习3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )．
A．2n－1 B.n－1 C.n－1 D.
解析3： ∵Sn＝2an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＝2an，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即＝(n≥2)，
又a2＝，∴an＝×n－2(n≥2)．
当n＝1时，a1＝1≠×－1＝，
∴an＝
∴Sn＝2an＋1＝2××n－1＝n－1.
答案 B
练习4、设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则数列{an}的通项公式为________．21教育网
解析4：∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，两式左右两边分别相减得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由题意知，a1＝，符合上式，2·1·c·n·j·y
∴an＝(n∈N*)． 答案 an＝
考点3：由递推公式求数列的通项公式
【累加法】（型如的递推关系）
简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 【来源：21·世纪·教育·网】
例1. 若在数列中，，，求通项 .
答案：=
例2.已知数列满足，，求此数列的通项公式.
答案：
练习1、在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________；
解析：由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.21·世纪*教育网
又a1＝2＝＋1，符合上式，
因此an＝＋1.
【累积法】 （形如=(n)·型）
（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.
（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.
例1、在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式.
答案：
例2、已知数列中，，前项和与的关系是 ，试求通项公式. .
答案：
练习：1、设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.www-2-1-cnjy-com
解析1：∵(n＋1)a＋an＋1·an－na＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，
又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
即＝，∴····…·＝××××…×，∴an＝.
练习2、已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是( )．
A．2n－1 B.n－1 C．n2 D．n
解析2： 法一 (构造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1，
∴＝，∴数列是常数列．且＝＝1，∴an＝n.
法二 (累乘法)：n≥2时，＝，＝. … ＝，＝，
两边分别相乘得＝n，又因为a1＝1，∴an＝n.
答案 D
【构造法1】（形如,其中)型）
若c=1时，数列{}为等差数列;
若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.
方法如下：设,得,与题设比较系数得，
所以：,即构成以为首项，以c为公比的等比数列.
例1：已知数列的递推关系为，且求通项. 答案：21世纪教育网版权所有
练习1、课本习题A4，B1.
练习2、在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项an＝________.
解析：an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，
由＝3，即an＋1＋1＝3(an＋1)，
当n≥2时，an＋1＝3(an－1＋1)，
∴an＋1＝3(an－1＋1)＝32(an－2＋1)＝33(an－3＋1)＝…＝3n－1(a1＋1)＝2×3n－1，
∴an＝2×3n－1－1；
当n＝1时，a1＝1＝2×31－1－1也满足．
∴an＝2×3n－1－1.
【构造法2】（形如 an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)型）
an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得－＝q，数列为等差数列．
例2：已知数列满足且=1，求数列的通项公式及前n项和. 提示：等式两边同除以，，
练习1：已知数列的前n项和=，求数列的通项公式.
答案：
练习2：已知数列满足,求数列的通项公式
提示：等式两边取对数，
【构造法3】相邻项的差为特殊数列（形如，其中型）
可化为()=(),其中是方程的两根
例3：在数列中，，，，求.
提示：变为.
练习1：课本复习题B6.
【构造法4】倒数为特殊数列【形如】
例4：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求数列{an}的通项公式．
解：∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，
∴是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝(n∈N*)．
练习1：已知数列｛｝中且（），，求数列的通项公式.
答案
考点4：求周期数列的通项公式
若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分为奇数项和偶数项来讨论.
形如型①若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来求通项.
例1： 数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.
练习1：(2014·课标全国Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
[解析] ∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝＝
＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.
[答案]