2017-2018学年八年级数学下册第17章勾股定理17.2勾股定理的逆定理课时提升作业（含解析）-

勾股定理的逆定理
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为　
(　　)
A.90° B.60° C.45° D.30°
【解析】选C.连接AC,根据勾股定理可以得到:AC=BC=,AB=.
∵()2+()2=()2,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=
45°.
2.如图,正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为　
(　　)
A. B.2 C. D.10-5
【解题指南】延长BG交CH于点E,根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE,可得GE=BE-BG=2,HE=CH-CE=2,∠HEG=90°,由勾股定理可得GH的长.21世纪教育网版权所有
【解析】选B.如图,
延长BG交CH于点E,
在△ABG和△CDH中,
∴△ABG≌△CDH(SSS),AG2+BG2=AB2,
∴∠1=∠5,∠2=∠6,∠AGB=∠CHD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠5+∠6=90°,
又∵∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°,
∴∠1=∠3=∠5,∠2=∠4=∠6,
在△ABG和△BCE中,
∴△ABG≌△BCE(ASA),
∴BE=AG=8,CE=BG=6,∠BEC=∠AGB=90°,
∴GE=BE-BG=8-6=2,同理可得HE=2,
在Rt△GHE中,GH===2.
3.在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,在下列条件中,能够判定△ABC是直角三角形的个数有　(　　)www.21-cn-jy.com
①a2+c2= b2; ②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;
③a∶b∶c=∶1∶1; ④∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【解析】选B.利用勾股定理逆定理很容易得出①正确;当∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3时,由三角形内角和为180°,不难得出∠C为90°,△ABC是直角三角形,②正确;当a∶b∶c=∶1∶1时,可设b=c=k,则a=k,此时b2+c2=2k2=a2,△ABC为直角三角形,③正确;当∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5时,不难计算出∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°,此时△ABC不是直角三角形,④错.2·1·c·n·j·y
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2017·德州模拟)下列命题中,其逆命题成立的是________.(只填写序号)
①同旁内角互补,两直线平行;
②如果两个角是直角,那么它们相等;
③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;
④如果三角形的三边长a,b,c(c为斜边)满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
【解析】①两直线平行,同旁内角互补,正确;②如果两个角相等,那么它们是直角,错误;③如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等,错误;④如果一个三角形是直角三角形,c为斜边,则a2+b2=c2,正确.故答案为①④.21·cn·jy·com
答案:①④
5.一根24米的绳子,折成三边为三个连续偶数的三角形,则三边长分别为________,此三角形的形状为________.【来源：21·世纪·教育·网】
【解题指南】1.设未知数列方程,求出三角形的三边长.
2.根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
【解析】设边长中间的偶数为x,则较小的边长为x-2,较大的边长为x+2,由题意得x-2+x+x+2=24,解得x=8,∴x-2=6,x+2=10;∵6,8,10是勾股数,www-2-1-cnjy-com
∴三角形是直角三角形.
答案:6,8,10　直角三角形
【变式训练】一根30米长的细绳折成3段,
围成一个三角形,其中一条边的长度比较短边长7米,比较长边短1米,请你试判断这个三角形的形状.
【解析】设边长中间的为x,则较短的边长为x-7,较长的边长为x+1,由题意得x-7+x+x+1=30,解得x=12,∴x-7=5,x+1=13;∵5,12,13是勾股数,∴三角形是直角三角形.2-1-c-n-j-y
6.三角形的三边长分别为6,8,10,那么它的最短边上的高为________.
【解析】62+82=102,所以这是个直角三角形,斜边长为10,最短边长为6,因此高就是长为8的另一条直角边.
答案:8
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图所示,在△ABC中,AC=8cm,BC=6cm;在△ABE中,DE为AB边上的高,DE=12cm,△ABE的面积S=60cm2.21cnjy.com
(1)求出AB边的长.
(2)你能求出∠C的度数吗?请试一试.
【解析】(1)∵DE=12,S△ABE=DE·AB=60,
∴AB=10.
(2)∵AC=8,BC=6,62+82=102,
∴AC2+BC2=AB2,
由勾股定理逆定理得∠C=90°.
【知识归纳】勾股定理与其逆定理的联系和区别
联系:(1)两者都与a2+b2=c2有关.
(2)两者所讨论的问题都是直角三角形.
区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系:“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到“这个三角形是直角三角形”,是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法.21*cnjy*com
8.(8分)如图,CD⊥AB,垂足为D,如果CD=12,AD=16,BD=9,那么△ABC是直角三角形吗?请说明理由.
【解题指南】在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2,同理在Rt△BCD中利用勾股定理可求BC2,而AB=AD+BD,易求AC2+BC2=AB2,从而可知△ABC是直角三角形.【来源：21cnj*y.co*m】
【解析】是.理由如下:
∵CD⊥AB,CD=12,AD=16,
∴AC2=CD2+AD2=400,
又∵CD⊥AB,CD=12,BD=9,
∴BC2=CD2+BD2=225,
∵AB=AD+BD=25,
∴AB2=625,
∴AC2+BC2=625=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
【变式训练】如图,在△ABC中,CD是AB边
上的高,且CD2=AD·BD.求证:△ABC是直角三角形.
【证明】在Rt△ACD中,由勾股定理,得AC2=AD2+CD2.
在Rt△BCD中,由勾股定理,得BC2=BD2+CD2.
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2=AB2.21教育网
由勾股定理逆定理知,△ABC是直角三角形.
【培优训练】
9.(10分)观察下列各式,你有什么发现?
32=4+5,52=12+13,72=24+25,92=40+41……
这到底是巧合,还是有什么规律蕴含其中呢?
(1)填空:132=________+______?
(2)请写出你发现的规律.
(3)结合勾股定理有关知识,说明你的结论的正确性.
【解析】(1)132=84+85.
(2)任意一个大于1的奇数的平方可拆成两个连续整数的和,并且这两个连续整数与原来的奇数构成一组勾股数.21·世纪*教育网
(3)设n为大于1的奇数,则n2=+,
∵+n2=+n2
==,
∴n,与构成一组勾股数.