2017-2018学年下学期高二数学（理）人教版（期中复习）每日一题2018年4月19日+生活中的优化问题

4月19日 生活中的优化问题
高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆

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1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y=f(x),且f'(100)=-1,这个数据说明在第100天时
A．公司已经亏损 B．公司的盈利在增加
C．公司的盈利在逐渐减少 D．公司有时盈利有时亏损
2．某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为48 m3,高为3 m,如果箱底每平方米的造价为15元,箱壁每平方米的造价为12元,那么箱子的最低总造价为
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
3．张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件，已知原球形工件的半径为，则张师傅的材料利用率的最大值等于（注：材料利用率=）
A． B．
C． D．
4．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)=x3-x2+8
(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是
A．8 B．
C．-1 D．-8
5．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为
A．cm B．cm
C．cm D．cm
6．某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元.如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团)，要使旅行社的收费最多，则旅游团组团人数为
A．130 B．140
C．150 D．160
7．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为和，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆汽车，则该公司能获得的最大利润为__________万元.
8．如图，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为__________.
9．如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是,从点沿海岸正东处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为,步行的速度是,用(单位:)表示他从小岛到城镇的时间,(单位:)表示此人将船停在海岸处距点的距离.经过计算将船停在海岸处某地,可使从小岛到城镇所花时间最短,则这个最短时间是__________．
10．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体,其底面半径原为且以每秒等速率缩短,而长度以每秒等速率增长.已知定海神针的底面半径只能从缩到为止,且知在这段变形过程中,当底面半径为时其体积最大.假设孙悟空将定海神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________.
11．某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．
（1）求的表达式；
（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
12．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．
（1）当时，求比值取最小值时的值；
（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）
13．一块圆柱形木料的底面半径为12cm,高为32cm,要将这块木料加工成一只毛笔筒,在木料一端正中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一,设小圆柱底面半径为r,高为h,要求笔筒底面的厚度超过2cm．
(1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;
(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中,上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/cm2),桶内侧面喷漆费用为2a (元/ cm2),而桶内底面铺贴金属薄片,其费用是7a (元/ cm2)(其中a为正常数)．
①将笔筒的后续加工费用y (元)表示为r的函数;
②求出当r取何值时,能使笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值．
1．【答案】C
【解析】因为f'(100)=-1,所以函数图象在x=100处的切线的斜率为负值,说明公司的盈利在逐渐减少.
2．【答案】D
【解析】设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为 l元,
根据题意,得l=15×+12×2(3x+)=240+72(x+)(x>0), l'=72(1-).
令l'=0,解得x=4或x=-4(舍去).
当04时,l'>0.
故当x=4时,l有最小值，为816.
故当箱底是边长为 4 m 的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价为816元.
4．【答案】C
【解析】由题意，f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1，因为0≤x≤5，所以x=1时，f′(x)的最小值为-1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1，故选C．
5．【答案】D
【解析】设高为hcm，底面半径为rcm，则h2+r2=400.又体积V=πr2h，则V=π(400-h2)h，
令V′=0，得唯一极值点h=，此时体积最大，故选D．
6．【答案】C
【解析】设参加旅游的人数为x，旅游团收费为f(x)，则依题意有f(x)=1000x-5(x-100)x (100≤x≤180)，
令f′(x)=1500-10x=0，得x=150，
又f(100)=100000，f(150)=112500，f(180)=108000，
所以当参加人数为150时，旅游团的收费最多，可达112500元，故选C．
7．【答案】45.6
【解析】设在甲地销售汽车m辆，则在乙地销售汽车(15－m)辆，总利润y＝5.06m－0.15m2＋2(15－m)＝－0.15m2＋3.06m＋30(0≤m≤15，m∈N).求导数，得y′＝－0.3m＋3.06.令y′＝0，解得m＝10.2.当0≤m＜10.2时， y′＞0；当10.2＜m≤15时，y′＜0.
故当m＝10.2时，y取得极大值，也是最大值.
由于m为自然数，且当m＝10时，y＝45.6；当m＝11时，y＝45.51.
所以当公司在甲地销售汽车10辆，在乙地销售汽车5辆时，该公司获得的利润最大，最大利润为45.6万元.
8．【答案】和
【解析】设点B(x，4-x2)(0令S′=0，得x=，故当一边长为，另一边长为时，S=-2x3+8x取得最大值.
9．【答案】
【解析】由题意知,所花时间,求导得,令
，解得,当时,；当时,,所以当时,取得最小值,此时,即最短时间为h.
10．【答案】4
【解析】设定海神针原长度为.经过秒体积最小，且.
体积.
所以.
由题意得时.
解得.代入,得.
所以当时,；当时,.
又当时，；当时，，
所以当,即底面半径为时体积最小.
11．【解析】（1）由题意得，
整理得.
12．【解析】（1）当时，，
∴.
列表得：
2
0
单调递减
极小值
单调递增
∴在上单调递减，在上单调递增，∴在时取得最小值.
（2），根据（1）知在上单调递减，在上单调递增，
∵确保恰好3年不需要进行保护，∴，解得.
故实数的取值范围为．

(2)①根据题意,得笔筒的后续加工费用,
整理得,即定义域为.
②由①知,,
令，得,列表如下：
单调递减
极小值
单调递增
由表知,当时,取得极小值，即最小值，为..
故当时,能使笔筒的后续加工费用最小,最小值为元．