2017-2018学年下学期高二数学（理）人教版（期中复习）每日一题2018年4月18日+导数在研究函数中的应用

4月18日 导数在研究函数中的应用
高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆

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1．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是
A． B．
C．，(0，＋∞) D．∪(0，＋∞)
2．已知函数（e是自然对数的底数），则f（x）的极大值为
A．2e-1 B．
C．1 D．2ln2
3．已知函数的图象是选项中四个图象之一,且其导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是
A． B．
C． D．
4．已知实数a、b、c、d成等差数列,且函数y=ln(x+2)-x取得极大值时对应的点的坐标为(b,c),则a+d等于
A．-1 B．0
C．1 D．2
5．若函数在上单调递减,则的取值范围是
A． B．
C． D．
6．设f(x)、g(x)是R上的可导函数,,分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足,则当aA．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
7．若函数在上单调递减,则称为函数.下列函数中为函数的序号为
①；②；③；④.
A．①②④ B．①③
C．①③④ D．②③
8．已知定义域为的奇函数,则的解集为
A． B．
C． D．
9．已知函数==,若成立,则的最小值为
A． B．
C． D．
10．如图是的导函数的图象,则的极小值点的个数为__________.
11．函数在上的最大值是__________.
12．已知函数在x=1处取得极值,则__________.
13．已知定义在上的可导函数满足不等式的解集为则= __________.
14．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则实数的取值范围是__________.
15．已知函数.
（1）若在处取得极值，求的值;
（2）若在区间上单调递增,求的取值范围.
16．已知函数.
（1）若函数是偶函数,试求的值;
（2）当时,求证:函数在上单调递减.
17．已知函数?.
（1）求函数在上的最值;
（2）求函数的极值点.
18．已知函数．
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）当时,设，求在区间上的最大值．
19．已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)比较与的大小,并加以证明.
1．【答案】C
【解析】因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.所以f′(x)＝3x2＋4x.
由f′(x)＝3x2＋4x>0，解得x<－或x>0，即f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，故选C．
3．【答案】B
【解析】由的图象可知,在区间上,,因此函数在上是增函数,又当x=0时,由图象可知,此时导数值最大,因此答案为B．
4．【答案】B
【解析】因为a、b、c、d成等差数列,所以a+d=b+c;因为y=ln(x+2)-x取得极大值时对应的点的坐标为(b,c),所以,解得.所以a+d=b+c=0.选B．
5．【答案】B
【解析】,则，
因为函数在上单调递减，所以，所以.故选B.
6．【答案】C
【解析】由题意得,即单调递减,因为a7．【答案】B
【解析】对于①,若,则在上单调递减,满足题意,即①为函数,排除D；对于②,若,则,构造函数，求导可得在上单调递减,在上单调递增,即②为非函数,排除A；对于③,若,则在上单调递减,即③为函数；对于④,若,则,构造函数,求导可得在上单调递减,在上单调递增,即④为非函数,排除C.故选B．
8．【答案】D
【解析】由题意可得，则，则函数的定义域为，
又是奇函数，所以，即，
所以，，
所以函数在上是增函数，
则不等式等价于，
所以，求解可得，
故不等式的解集为.故选D．
10．【答案】
【解析】极小值点的附近函数是左减右增,故时,函数取得极小值,即极小值点有个.
11．【答案】
【解析】∵,∴,
∴当时,单调递增,
当时,单调递减,
∴.
12．【答案】
【解析】因为,所以,
又因为函数在x=1处取得极值,
所以,求解可得,
当时,,
则函数是减函数,不存在极值,故不符合题意;
当时,,易知函数在x=1左、右两边是左增右减,则在x=1处取得极值,符合题意.则.
13．【答案】3
【解析】由可设，则.
在上单调递减,所以得.
15．【解析】（1），所以,
因为在处取得极值,所以,得.
经检验符合题意,所以.
（2），
因为在区间上单调递增,所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，只需,即，解得,
所以实数的取值范围为.
16．【解析】（1）∵函数是偶函数，∴恒成立，∴.
（2）.
设,则.
∵,
∴由,即，得;
由,即，得.
∴在上单调递减，在上单调递增.
∴当时，，即在上单调递减;
当时，，即在上单调递减.
∴当时,函数在上单调递减.
17．【解析】（1）依题意,,令,解得.
因为,
且,
故函数在上的最大值为,最小值为.
（2）依题意,?,
,
当时,令,则.
因为,所以,
其中.
因为,所以,
所以当时,；当时,,
所以函数在上是增函数,在上是减函数,
故为函数的极大值点,函数无极小值点.
18．【解析】（1）当时, ，所以，则,
又,则切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），则,令,得.
当时,,,则为减函数,
所以的最大值为.
当时, ,列表如下：
↗
极大值
↘
所以的最大值为.
当时, , 恒成立,则为增函数,
所以的最大值为.

(2).
证明如下:
设,为增函数,
则可设,
∵,∴.
当时,;当时,.
∴,
又,∴,
∴,
∵,∴,
∴,∴.