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专题四 中考数学选填重难题型之图像信息题
图像信息题主要是以函数图像为依托的一种题型，它以其直观形象的表现形式和丰富的内涵在中考中备受青睐。图像信息题既考查基础知识，又考查思维能力，更考察考生使用数学的意识，解决这类问题，要充分挖掘图像所蕴含的信息，通过读图、想图、析图来找出解题的突破口。 21cnjy.com
图像信息题是选填重难题型之一，通常综合使用数形结合法、特殊化法、排除法等思想方法与技巧。
★类型一：函数图像
函数图像题，认真审题，仔细观察图像，要认识图像的变化趋势，上升或下降，直线或曲线及函数的类型；以形助数、利用函数各项系数的的几何意义结合排除法验证法等往往可以简洁地解决问题，快速得出正确结果.21·cn·jy·com
【例题展示】
例题1：（2017遵义）如图，抛物线经过点，对称轴如图所示.则下列结论：①；②；③；④，其中所有正确的结论是（ ）
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A．①③ B．②③ C.②④ D．②③④
分析：从二次函数图像可以直观地得到开口方向，对称轴的位置，与坐标轴交点等信息。方法1：由图可知a<0；c>0；0<<1,故b>0，所以abc<0,所以①错，排除A.:因为图像经过点（-1,0），所以把点（-1,0）代入得②对，所以，所以，故③④同为对或同为错，由此排除B,C,答案选D
方法2：①错②对方法同上，把x=2代入函数，结合可得③对④对
答案：D
【跟踪练习】
1. （2014，烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点
（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；
③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有_____________2·1·c·n·j·y
分析：本题数形结合，利用图像。由图可知a<0；c>0；b=-4a>0；x<2时y随着x的增大而增大；x>2 时y随着x的增大而减小 ； -10; x>5或 x<-1时，y<0 故正确的有①③21世纪教育网版权所有
答案：①③
2. 如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2= （x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4④2AB=3AC．其中正确结论是______．
分析：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，
∴无论x取何值，y2的值总是正数，①正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a= 故本小题错误；把a= ，x=0代入函数解析式可得③错；根据以上条件可求得AB=6，AC=4，所以2AB=3AC，故④正确故答案为：①④．
答案：①④
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图，且关于x的二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.
其中，正确结论的个数是______个。
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分析：由图像可知a<0,C>0,>0二次函数的最大值为2，抛物线与x轴有两个交点，故①②③都正确
答案：3
4．已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为( )
A B C D
分析：本题采用数形结合及特殊化法。根据条件给k取一个适当的数值，代入即可得结果。由图知，当x=-1时，y>1,所以k<-1，不妨取k=-2，代入二次函数y＝2kx2－4x＋k2 答案选A【来源：21·世纪·教育·网】
答案：A
5.(2017·新疆内高)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论中：①c<0；②2a＋b>0；③4ac1时，y随x的增大而减小，其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)www-2-1-cnjy-com
分析：数形结合法。从二次函数图像可以直观地得到开口方向向下，所以a<0;与x轴有两个交点，所以>0;图像过原点，所以c=0；对称轴的位置，>1,所以2a+b>0，且x>1时，图像先升后降。所以只有②③正确。
答案：②③
6.在平面直角坐标系xOy中,点P(m，0)为x轴正半轴上的一点,过点P做x轴的垂线,分别交抛物线y=-x2+2x和y=-x2+3x于点M，N．21教育网
（1）当时,；
（2）如果点P不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP，PM，PN，MN中恰好有三条线段相等时,则m的值为 ．2-1-c-n-j-y
分析：（1）代入计算即得结果：1；
（2）分类讨论
∵ OP=m,
MN=(－m2+3m)－(－m2+2m) =m,
∴ OP=MN．
①当0＜m ＜2时,
∵PM=－m2+2m ,PN=－m2+3m ．
∴若PM= OP=MN,有－m2+2m=m,解得m=0（舍）,m=1．
若PN= OP=MN,有－m2+3m=m,解得m=0（舍）,m=2（舍）．
②当2＜m ＜3时,不存在符合条件的m值．
③当m＞3时,
∵PM=m2－2m ,PN=m2－3m．
∴若PM= OP=MN,有m2－2m=m,解得m=0（舍）,m=3（舍）．
若PN= OP=MN,有m2－3m=m,解得m=0（舍）,m=4．
综上,当 m=1或m=4,这四条线段中恰有三条线段相等．
答案：（1）1；（2）m=1或m=4
7.如图，点A,B在反比例函数的图像上，过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为M,N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,ΔAOC的面积为6，则k值为 分析：反比例函数结合面积题常用k的几何意义解题。
ΔAOC的面积可以分为ΔAOM和ΔAMC的面积之和。设，即,
=6
答案：48.（2017广州天河二模）二次函数（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程（a≠0）的两根之和（ ）大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定分析：本题数形结合法。方程变形为：，故方程的根即是二次函数（a≠0）和正比例函数y=x的图象的交点的横坐标，由图可知两根之和大于零，选A答案：A9.(2017·天水)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A、B两点，下列结论：①abc>0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2>y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是____.(只填写序号)分析：数形结合法。从二次函数图像可以直观地得到开口方向向下，所以a<0;与y轴交于正半轴，所以c>0;对称轴:x=,所以2a+b=0，故b>0,所以abc<0,①错；与x轴有两个交点，且关于x=1对称，所以>0，另一交点为（-2,0），所以③错;y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值为3，方程ax2＋bx＋c＝3的根是y1＝ax2＋bx＋c的图像与直线y=3的交点的横坐标，由图可知y1＝ax2＋bx＋c的图像与直线y=3有且只有一个交点，所以②对；当1＜x＜4时，抛物线在直线的上方，所以y2 A B C D 分析:本题采用数形结合及排除法。观察图像，模拟运动状态，可知需要分类讨论：直线l从O运动到BD，即0≤t≤4；直线l从BD运动到点C,即4该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；
②当4＜t≤8时，S=16－×（t－4）×（t－4）=t2，即S=－t2+4t+8．
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故A错误．故选：D．答案：D【跟踪练习】1.(2017·随州)在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2 h时，两车相遇；②乙车出发1.5 h时，两车相距170 km；③乙车出发2时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40 km，其中正确的是___________(填写所有正确结论的序号)．分析:函数图像与实际问题综合题，清楚理解横坐标、纵坐标所表示的意义；起点、终点、转折点、交点等特殊点的实际意义。①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，根据条件可知交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，故①错误；
②甲车的速度为240÷4=60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5-1）=80（km/h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论②正确；
③∵（240+200-60）÷（60+80）=（h），
∴乙车出发h时，两车相遇，结论③正确；
④∵80×（4-3.5）=40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论④正确．
综上所述，正确的结论有：②③④．
答案：②③④．2.(2016·淄博)反比例函数y＝(a>0，a为常数)和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点，其中正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3分析:本题主要考查反比例函数系数k的几何意义:反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|,故①②正确；由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及正方形的对角线将正方形的面积二等分知③正确答案：D3.（2013 乌鲁木齐）如图，反比例函数y= （x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为________. 分析:本题主要考查反比例函数系数k的几何意义:反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k| .连接OB．首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得出S△AOE=S△COF=1.5，然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，最后由S△OEF=S矩形AOCB-S△AOE-S△COF-S△BEF，得出结果答案：
4.（2017广州）如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）分析:根据平行四边形的性质可求出点B的坐标，又因为点把线段三等分，利用相似可求出D,E的坐标，从而求得直线CF,直线CG的解析式及点F,G的坐标。答案：①③ 5.(2011,宁波)正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为 ．分析：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，设P1（a，），则CP1=a，OC=，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1=P1C=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=﹣a，则P2的坐标为（，﹣a），然后把P2的坐标代入反比例函数y=，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E=P3F=DE=，通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标（+1，﹣1）答案：（+1，﹣1）6.（2013 百色）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（ ）
A．24 B．48 C．96 D．192 分析:首先求得点A与B的坐标，利用三角函数即可求得∠OAB的度数，又由△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形，易求得OB1=OA=√3，A1B1=A1A，A2B2=A2A，则可得规律：OAn=（2n-1），根据A5A6=OA6-OA5求得△A5B6A6的边长，进而求得周长．答案：C（2014 孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=(x＞0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则 S△OBD的值为_________．分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|． 解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E，易证CE为Rt△OAB的中位线，△OEC∽△OBA， 故S△AOB=4S△COE=2|k|由S△AOB-S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得2k- k=18，
k=12，S△BOD=S△COE=k=6，
答案：6． 8.如图，点P双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=6，则k的值是______．
分析:如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，
∵⊙P与两坐标轴都相切，∴PA=PB，四边形OAPB为正方形，
∵∠APB=∠EPF=90°，∴∠BPE=∠APF，
∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE=AF，
∵OF-OE=6，
∴（OA+AF）-（BE-OB）=6，
即2OA=6，解得OA=3，
∴k=OA×PA=3×3=9．
答案：9．9.如图,已知在平面直角坐标系中,有菱形OABC,点A的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交于点D,双曲线经过点D,交BC的延长线于点E，且,有下列四个结论：①双曲线的解析式为； ②点E的坐标是(5，8)；③; ④.其中正确的结论有 (请写出全部正确的序号)分析:过点C作CF⊥x轴于点F，由OB·AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA= 可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB·AC=160即可求出OB的长． 答案：②③④
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专题四 中考数学选填重难题型之图像信息题
图像信息题主要是以函数图像为依托的一种题型，它以其直观形象的表现形式和丰富的内涵在中考中备受青睐。图像信息题既考查基础知识，又考查思维能力，更考察考生使用数学的意识.解决这类问题，要充分挖掘图像所蕴含的信息，通过读图、想图、析图来找出解题的突破口。 21教育网
图像信息题是选填重难题型之一，通常综合使用数形结合法、特殊化法、排除法等思想方法与技巧。
★类型一：函数图像
函数图像题，认真审题，仔细观察图像，要认识图像的变化趋势，上升或下降，直线或曲线及函数的类型；以形助数、利用函数各项系数的的几何意义结合排除法验证法等往往可以简洁地解决问题，快速得出正确结果.21cnjy.com
【例题展示】
例题1：（2017遵义）如图，抛物线经过点，对称轴如图所示.则下列结论：①；②；③；④，其中所有正确的结论是（ ）
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A．①③ B．②③ C.②④ D．②③④
分析：从二次函数图像可以直观地得到开口方向，对称轴的位置，与坐标轴交点等信息。方法1：由图可知a<0；c>0；0<<1,故b>0，所以abc<0,所以①错，排除A.:因为图像经过点（-1,0），所以把点（-1,0）代入得②对，所以，所以，故③④同为对或同为错，由此排除B,C,答案选D
方法2：①错②对方法同上，把x=2代入函数，结合可得③对④对
答案：D
【跟踪练习】
1. （2014，烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点
（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；
③8a+7b+2c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有_____________21世纪教育网版权所有
2. 如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2= （x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4④2AB=3AC．其中正确结论是______．
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图，且关于x的二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＜0；③m＞2.
其中，正确结论的个数是______个。
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4．已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为( )
A B C D
5.(2017·新疆内高)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论中：①c<0；②2a＋b>0；③4ac1时，y随x的增大而减小，其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)2·1·c·n·j·y
6.在平面直角坐标系xOy中,点P(m，0)为x轴正半轴上的一点,过点P做x轴的垂线,分别交抛物线y=-x2+2x和y=-x2+3x于点M，N．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）当时,；
（2）如果点P不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条线段OP，PM，PN，MN中恰好有三条线段相等时,则m的值为 ．21·世纪*教育网
7.如图，点A,B在反比例函数的图像上，过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为M,N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,ΔAOC的面积为6，则k值为
8.（2017广州天河二模）二次函数（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程（a≠0）的两根之和（ ）大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定9.(2017·天水)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A、B两点，下列结论：①abc>0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜4时，有y2>y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是____.(只填写序号)10.（2017泰安）已知二次函数的与的部分对应值如下表：-1013-3131下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C.3个 D．4个 ★类型二：函数与几何综合及其应用认真审题，仔细观察图像（1）要弄清函数图像上一些特殊点的意义，如起点、终点、转折点、交点等；（2）有关实际问题的函数图像，要清楚理解横坐标、纵坐标所表示的意义。【例题展示】例题2：(2014，兰州)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（ ）
A B C D 分析:本题采用数形结合及排除法。观察图像，模拟运动状态，可知需要分类讨论：直线l从O运动到BD，即0≤t≤4；直线l从BD运动到点C,即4该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．故B、C错误；
②当4＜t≤8时，S=16－×（t－4）×（t－4）=t2，即S=－t2+4t+8．
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故A错误．故选：D．答案：D【跟踪练习】1.(2017·随州)在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2 h时，两车相遇；②乙车出发1.5 h时，两车相距170 km；③乙车出发2时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40 km，其中正确的是___________(填写所有正确结论的序号)．2.(2016·淄博)反比例函数y＝(a>0，a为常数)和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点，其中正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．33.（2013 乌鲁木齐）如图，反比例函数y= （x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为________. 出S△AOE=S△COF=1.5，然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，最后由S△OEF=S矩形AOCB-S△AOE-S△COF-S△BEF，得出结果4.（2017广州）如图，平面直角坐标系中是原点，的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连接，则下列结论：①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）5.(2011,宁波)正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为 ．6.（2013 百色）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（ ）
A．24 B．48 C．96 D．192（2014 孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=(x＞0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则 S△OBD的值为_________．8.如图，点P双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=6，则k的值是______．
9.如图,已知在平面直角坐标系中,有菱形OABC,点A的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交于点D,双曲线经过点D,交BC的延长线于点E，且,有下列四个结论：①双曲线的解析式为； ②点E的坐标是(5，8)；③; ④.其中正确的结论有 (请写出全部正确的序号)
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