9.1.2 不等式的性质同步练习
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9.1.2 不等式的性质同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.不等式的性质１:不等式的两边加(或减)同一个数 (或式子),不等号的方向不变 ．即:如果a＞b, 那么a±c ＞ b±c．
２.不等式的性质２:不等式的两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 ．即:如果a＞b, c＞０,那么ac ＞ bc( 或 ＞ ) ．
３.不等式的性质３:不等式的两边乘(或除以)同一个 负 数,不等号的方向 改变 即:如果a＞b, c＜０,那么ac ＜ bc( 或 ＞ ) ．
基础知识和能力拓展训练
一．选择题（共10小题）
1．已知实数a，b，若a＞b，则下列结论错误的是（ ）
A．a﹣7＞b﹣7 B．6+a＞b+6 C． D．﹣3a＞﹣3b
2．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得|a|＞|b|
C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＞b，得a2＞b2
3．若x+a＜y+a，ax＞ay，则（ ）
A．x＞y，a＞0 B．x＞y，a＜0 C．x＜y，a＞0 D．x＜y，a＜0
4．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（ ）
A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax
5．给出四个命题：
①若a＞b，c=d，则ac＞bd；
②若ac＞bc，则a＞b；
③若ac2＞bc2，则a＞b；
④若a＞b，则ac2＞bc2．
正确的命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．由a＞b得ac2＞bc2 B．由ac2＞bc2得a＞b
C．由﹣a＞2得a＜2 D．由2x+1＞x得x＞1
7．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
8．如果0＜x＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．若|a﹣2|=2﹣a，则数a在数轴上的对应点在（ ）
A．表示数2的点的左侧
B．表示数2的点的右侧
C．表示数2的点或表示数2的点的左侧
D．表示数2的点或表示数2的点的右侧
10．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
二．填空题（共5小题）
11．已知0≤m﹣n≤2，2≤m+n≤4，则当m﹣2n达到最小值时，3m+4n= ．
12．若﹣1＜x＜0，则x，x2，的大小关系为（用“＜”连接） ．
13．设A=x2﹣2xy﹣y2，B=﹣2x2+xy﹣y2，当x＜y＜0时，则A B（填“＞”“＜”或“=”）
14．已知x+y+z=0，且x＞y＞z，则的取值范围是 ．
15．若a＜b＜0，则3a﹣2 3b﹣2，a2 b2（填“＞”或“＜”号）
三．解答题（共4小题）
16．根据不等式的基本性质，把下列各式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）x﹣2＜3x﹣3；
（2）﹣x+2＜x﹣6；
（3）3x+3＜0；
（4）﹣2x+1＜x+4．
17． 已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜，试化简：|a﹣1|+|a+2|．
18．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a﹣b＞0，则a b；
（2）若a﹣b=0，则a b；
（3）若a﹣b＜0，则a b．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运动这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
解：a＞b，
A、a﹣7＞b﹣7，故A选项正确；
B、6+a＞b+6，故B选项正确；
C、＞，故C选项正确；
D、﹣3a＜﹣3b，故D选项错误．
故选：D．
2．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
解：A、等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A错误；
B、如a=2，b=﹣3，a＞b，得|a|＜|b|，故B错误；
C、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故C正确；
D、如a=2，b=﹣3，a＞b，得a2＞b2，故D错误．
故选：C．
3．
【考点】 不等式的性质．
【分析】由不等式的性质1，x＜y，再由性质3得，a＜0．
解：∵x+a＜y+a，
∴由不等式的性质1，得x＜y，
∵ax＞ay，
∴a＜0．
故选：D．
4．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的两边都除以或乘以同一个负数，不等式的符号要发生改变求出即可．
解：∵x＜a＜0，
∴两边都乘以x得：x2＞ax，
故选：A．
5．
【考点】 不等式的性质；O1：命题与定理．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
解：①c=d=0时，不成立，故①错误；
②c＜0时不成立，故②错误；
③不等式两边都除以一个正数，故③正确；
④c=0时，不成立，故④错误；
故选：C．
6．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
解；A、a＞b，c=0时，ac2=bc2，故A错误；
B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边没诚乘以﹣2，故C错误；
D、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误；
故选：B．
7．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的基本性质进行计算即可．
解：（a+1）x＜a+1，
当a+1＜0时x＞1，
所以a+1＜0，解得a＜﹣1，
故选：B．
8．
【考点】 不等式的性质．
【分析】利用不等式的基本性质，分别求得x、x2及的取值范围，然后比较，即可做出选择．
解：∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜x（不等式两边同时乘以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
0＜1＜（不等式两边同时除以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
∴x2．
故选：B．
9．
【考点】 不等式的性质；13：数轴；15：绝对值．
【分析】根据绝对值的性质，求出a的取值范围，进而确定点a在数轴上的位置．
解：∵|a﹣2|=2﹣a，
∴a﹣2≤0，即a≤2．
所以数a在数轴上的对应点为表示数2的点或表示数2点的左侧．
故选：C．
10．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据已知得出3a+2b=2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，两边都除以2即可得出答案．
解：∵3a+2b=2c+3d，
∵a＞d，
∴2a+2b＜2c+2d，
∴a+b＜c+d，
∴＜，
即＞，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．
【考点】 不等式的性质．
【分析】先将m﹣2n用m﹣n和m+n表示出来，再得出当m﹣2n达到最小值时m，n的值．代入代数式求值即可．
解：∵m﹣2n=（m﹣n）﹣（m+n）
要使m﹣2n最小，则m﹣n取最小值0，m+n取最大值4，
得m=n=2，
得3m+4n=14
故答案为：14．
12．
【考点】 不等式的性质．
【分析】运用x的取值确定x，x2，的大小即可..
解：∵﹣1＜x＜0，
∴x2是正数，x与是负数且的绝对值大，
∴＜x＜x2．
故答案为：＜x＜x2．
13．
【考点】 不等式的性质．
【分析】运用作差法来判定A，B的大小．
解：A﹣B=x2﹣2xy﹣y2﹣（﹣2x2+xy﹣y2）=3x2﹣3xy=3x（x﹣y），
∵x＜y＜0，
∴3x2﹣3xy=3x（x﹣y）＞0
∴A＞B，
故答案为：＞．
14．
【考点】 不等式的性质．
【分析】先求出y=﹣x﹣z，得出==﹣1﹣，再利用x＞0，z＜0，求解．
解：∵x+y+z=0，
∴y=﹣x﹣z，
∴==﹣1﹣，
∵x＞y＞z，x+y+z=0，
∴x＞0，z＜0，
∵x=﹣（y+z）＜﹣2z，
∴﹣＜2，
∵z=﹣（x+y）＞﹣2x，
∴﹣，
∴﹣＜﹣1﹣＜1，即﹣＜＜1，
故答案为：﹣＜＜1．
15．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的基本性质进行逐一分析即可．
解：∵a＜b＜0，3＞0，
∴3a＜3b，
∴3a﹣2＜3b﹣2；
∵a＜b＜0，
∴a2＞b2．
故答案为：＜；＞．
三．解答题（共4小题）
16．
【考点】 不等式的性质．
【分析】（1）根据不等式的性质1和不等式的性质3可以解答本题；
（2）根据不等式的性质1和不等式的性质3可以解答本题；
（3）根据不等式的性质1和不等式的性质2可以解答本题；
（4）根据不等式的性质1和不等式的性质3可以解答本题．
解：（1）x﹣2＜3x﹣3
两边同时加上2，得
x＜3x﹣1
两边同时减去3x，得
﹣2x＜﹣1
两边同时除以﹣2，得
x＞；
（2）﹣x+2＜x﹣6
两边同时减去2，得
﹣x＜x﹣8
两边同时减去x，得
﹣2x＜﹣8
两边同时除以﹣2，得
x＞4；
（3）3x+3＜0
两边同时减去3，得
3x＜﹣3
两边同时除以3，得
x＜﹣1；
（4）﹣2x+1＜x+4
两边同时减去1，得
﹣2x＜x+3
两边同时减去x，得
﹣3x＜3
两边同时除以﹣3，得
x＞﹣1．
17．
【考点】 不等式的性质．
【分析】不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜，可得1﹣a＜0，所以a＞1；然后根据绝对值的求法，求出|a﹣1|+|a+2|的值是多少即可．
解：∵由（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜，
∴1﹣a＜0，
∴a＞1，
∴|a﹣1|+|a+2|
=（a﹣1）+（a+2）
=2a+1．
18.．
【考点】 不等式的性质．
【分析】（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，等式的两边同时加上b即可；
（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
解：（1）因为a﹣b＞0，
所以a﹣b+b＞0+b，
即a＞b；
（2）因为a﹣b=0，
所以a﹣b+b=0+b，
即a=b；
（3）因为a﹣b＜0，
所以a﹣b+b＜0+b，
即a＜b．
（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）
=4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1
=b2+3
因为b2+3＞0，
所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．
故答案为：＞、=、＜．
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9.1.2 不等式的性质同步练习
姓名：__________班级：__________学号：__________
本节应掌握和应用的知识点
１.不等式的性质１:不等式的两边加(或减)同一个数 (或式子),不等号的方向不变 ．即:如果a＞b, 那么a±c ＞ b±c．
２.不等式的性质２:不等式的两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 ．即:如果a＞b, c＞０,那么ac ＞ bc( 或 ＞ ) ．
３.不等式的性质３:不等式的两边乘(或除以)同一个 负 数,不等号的方向 改变 即:如果a＞b, c＜０,那么ac ＜ bc( 或 ＞ ) ．
基础知识和能力拓展训练
一．选择题（共10小题）
1．已知实数a，b，若a＞b，则下列结论错误的是（ ）
A．a﹣7＞b﹣7 B．6+a＞b+6 C． D．﹣3a＞﹣3b
2．下列不等式变形正确的是（ ）
A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得|a|＞|b|
C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＞b，得a2＞b2
3．若x+a＜y+a，ax＞ay，则（ ）
A．x＞y，a＞0 B．x＞y，a＜0 C．x＜y，a＞0 D．x＜y，a＜0
4．当x＜a＜0时，x2与ax的大小关系是（ ）
A．x2＞ax B．x2≥ax C．x2＜ax D．x2≤ax
5．给出四个命题：
①若a＞b，c=d，则ac＞bd；
②若ac＞bc，则a＞b；
③若ac2＞bc2，则a＞b；
④若a＞b，则ac2＞bc2．
正确的命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
6．根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）
A．由a＞b得ac2＞bc2 B．由ac2＞bc2得a＞b
C．由﹣a＞2得a＜2 D．由2x+1＞x得x＞1
7．如果不等式（a+1）x＜a+1的解集为x＞1，那么a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a＞﹣1
8．如果0＜x＜1，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．若|a﹣2|=2﹣a，则数a在数轴上的对应点在（ ）
A．表示数2的点的左侧
B．表示数2的点的右侧
C．表示数2的点或表示数2的点的左侧
D．表示数2的点或表示数2的点的右侧
10．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
二．填空题（共5小题）
11．已知0≤m﹣n≤2，2≤m+n≤4，则当m﹣2n达到最小值时，3m+4n= ．
12．若﹣1＜x＜0，则x，x2，的大小关系为（用“＜”连接） ．
13．设A=x2﹣2xy﹣y2，B=﹣2x2+xy﹣y2，当x＜y＜0时，则A B（填“＞”“＜”或“=”）
14．已知x+y+z=0，且x＞y＞z，则的取值范围是 ．
15．若a＜b＜0，则3a﹣2 3b﹣2，a2 b2（填“＞”或“＜”号）
三．解答题（共4小题）
16．根据不等式的基本性质，把下列各式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
（1）x﹣2＜3x﹣3；
（2）﹣x+2＜x﹣6；
（3）3x+3＜0；
（4）﹣2x+1＜x+4．
17． 已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜，试化简：|a﹣1|+|a+2|．
18．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若a﹣b＞0，则a b；
（2）若a﹣b=0，则a b；
（3）若a﹣b＜0，则a b．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．
请运动这种方法尝试解决下面的问题：
比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
解：a＞b，
A、a﹣7＞b﹣7，故A选项正确；
B、6+a＞b+6，故B选项正确；
C、＞，故C选项正确；
D、﹣3a＜﹣3b，故D选项错误．
故选：D．
2．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
解：A、等式的两边都减2，不等号的方向不变，故A错误；
B、如a=2，b=﹣3，a＞b，得|a|＜|b|，故B错误；
C、不等式的两边都乘以﹣2，不等号的方向改变，故C正确；
D、如a=2，b=﹣3，a＞b，得a2＞b2，故D错误．
故选：C．
3．
【考点】 不等式的性质．
【分析】由不等式的性质1，x＜y，再由性质3得，a＜0．
解：∵x+a＜y+a，
∴由不等式的性质1，得x＜y，
∵ax＞ay，
∴a＜0．
故选：D．
4．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的两边都除以或乘以同一个负数，不等式的符号要发生改变求出即可．
解：∵x＜a＜0，
∴两边都乘以x得：x2＞ax，
故选：A．
5．
【考点】 不等式的性质；O1：命题与定理．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
解：①c=d=0时，不成立，故①错误；
②c＜0时不成立，故②错误；
③不等式两边都除以一个正数，故③正确；
④c=0时，不成立，故④错误；
故选：C．
6．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
解；A、a＞b，c=0时，ac2=bc2，故A错误；
B、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，右边没诚乘以﹣2，故C错误；
D、不等式的两边都加或都减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误；
故选：B．
7．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的基本性质进行计算即可．
解：（a+1）x＜a+1，
当a+1＜0时x＞1，
所以a+1＜0，解得a＜﹣1，
故选：B．
8．
【考点】 不等式的性质．
【分析】利用不等式的基本性质，分别求得x、x2及的取值范围，然后比较，即可做出选择．
解：∵0＜x＜1，
∴0＜x2＜x（不等式两边同时乘以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
0＜1＜（不等式两边同时除以同一个大于0的数x，不等号方向不变）；
∴x2．
故选：B．
9．
【考点】 不等式的性质；13：数轴；15：绝对值．
【分析】根据绝对值的性质，求出a的取值范围，进而确定点a在数轴上的位置．
解：∵|a﹣2|=2﹣a，
∴a﹣2≤0，即a≤2．
所以数a在数轴上的对应点为表示数2的点或表示数2点的左侧．
故选：C．
10．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据已知得出3a+2b=2c+3d，推出2a+2b＜2c+2d，求出a+b＜c+d，两边都除以2即可得出答案．
解：∵3a+2b=2c+3d，
∵a＞d，
∴2a+2b＜2c+2d，
∴a+b＜c+d，
∴＜，
即＞，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．
【考点】 不等式的性质．
【分析】先将m﹣2n用m﹣n和m+n表示出来，再得出当m﹣2n达到最小值时m，n的值．代入代数式求值即可．
解：∵m﹣2n=（m﹣n）﹣（m+n）
要使m﹣2n最小，则m﹣n取最小值0，m+n取最大值4，
得m=n=2，
得3m+4n=14
故答案为：14．
12．
【考点】 不等式的性质．
【分析】运用x的取值确定x，x2，的大小即可..
解：∵﹣1＜x＜0，
∴x2是正数，x与是负数且的绝对值大，
∴＜x＜x2．
故答案为：＜x＜x2．
13．
【考点】 不等式的性质．
【分析】运用作差法来判定A，B的大小．
解：A﹣B=x2﹣2xy﹣y2﹣（﹣2x2+xy﹣y2）=3x2﹣3xy=3x（x﹣y），
∵x＜y＜0，
∴3x2﹣3xy=3x（x﹣y）＞0
∴A＞B，
故答案为：＞．
14．
【考点】 不等式的性质．
【分析】先求出y=﹣x﹣z，得出==﹣1﹣，再利用x＞0，z＜0，求解．
解：∵x+y+z=0，
∴y=﹣x﹣z，
∴==﹣1﹣，
∵x＞y＞z，x+y+z=0，
∴x＞0，z＜0，
∵x=﹣（y+z）＜﹣2z，
∴﹣＜2，
∵z=﹣（x+y）＞﹣2x，
∴﹣，
∴﹣＜﹣1﹣＜1，即﹣＜＜1，
故答案为：﹣＜＜1．
15．
【考点】 不等式的性质．
【分析】根据不等式的基本性质进行逐一分析即可．
解：∵a＜b＜0，3＞0，
∴3a＜3b，
∴3a﹣2＜3b﹣2；
∵a＜b＜0，
∴a2＞b2．
故答案为：＜；＞．
三．解答题（共4小题）
16．
【考点】 不等式的性质．
【分析】（1）根据不等式的性质1和不等式的性质3可以解答本题；
（2）根据不等式的性质1和不等式的性质3可以解答本题；
（3）根据不等式的性质1和不等式的性质2可以解答本题；
（4）根据不等式的性质1和不等式的性质3可以解答本题．
解：（1）x﹣2＜3x﹣3
两边同时加上2，得
x＜3x﹣1
两边同时减去3x，得
﹣2x＜﹣1
两边同时除以﹣2，得
x＞；
（2）﹣x+2＜x﹣6
两边同时减去2，得
﹣x＜x﹣8
两边同时减去x，得
﹣2x＜﹣8
两边同时除以﹣2，得
x＞4；
（3）3x+3＜0
两边同时减去3，得
3x＜﹣3
两边同时除以3，得
x＜﹣1；
（4）﹣2x+1＜x+4
两边同时减去1，得
﹣2x＜x+3
两边同时减去x，得
﹣3x＜3
两边同时除以﹣3，得
x＞﹣1．
17．
【考点】 不等式的性质．
【分析】不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，由（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜，可得1﹣a＜0，所以a＞1；然后根据绝对值的求法，求出|a﹣1|+|a+2|的值是多少即可．
解：∵由（1﹣a）x＞2，两边都除以（1﹣a），得x＜，
∴1﹣a＜0，
∴a＞1，
∴|a﹣1|+|a+2|
=（a﹣1）+（a+2）
=2a+1．
18.．
【考点】 不等式的性质．
【分析】（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（2）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，等式的两边同时加上b即可；
（3）等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时加上b即可；
（4）求出4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的差的正负，即可比较4+3a2﹣2b+b2与3a2﹣2b+1的大小．
解：（1）因为a﹣b＞0，
所以a﹣b+b＞0+b，
即a＞b；
（2）因为a﹣b=0，
所以a﹣b+b=0+b，
即a=b；
（3）因为a﹣b＜0，
所以a﹣b+b＜0+b，
即a＜b．
（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）
=4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1
=b2+3
因为b2+3＞0，
所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．
故答案为：＞、=、＜．
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