2017-2018学年七年级数学下册第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.1相交线一课一练基础闯关（含解析）（新版）新人教版

相交线
一课一练·基础闯关
题组对顶角、邻补角的识别
1.(2017·广安月考)如图所示，∠1与∠2是对顶角的图形的个数有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选A.根据对顶角的定义：有公共顶点，一个角的两边是另一个角两边的反向延长线可知：第三个图是对顶角.
2.(2017·贺州中考)下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是　(　　)
【解析】选D.根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其他都不是.
3.下列说法中错误的是(　　)
A.互为邻补角的两个角一定是互补的角
B.互补的两个角不一定是邻补角
C.相邻的两个角一定是邻补角
D.两条直线相交形成的四个角中，一个角有两个邻补角
【解析】选C.邻补角在位置上是相邻的，大小上是互补的，必须同时满足这两个条件的两个角才互为邻补角.
【规律总结】邻补角与补角的关系
(1)区别：
①概念不同：互为补角说明两角之和等于180°，而互为邻补角说明两角既“互补”又“相邻”；
②图形不同：互为补角的两个角不一定相邻，而互为邻补角的两个角一定相邻；
③数量不同：一个角的邻补角最多有两个，而一个角的补角可超过两个.
(2)联系：
①互为补角与互为邻补角的两个角，它们的和都是180°；
②互为邻补角是互为补角的特殊情况，互为补角包括互为邻补角.
4.(2017·奉贤区月考)如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE的对顶角是________.　
【解析】由图形可知，∠AOE的对顶角是∠BOF.
答案：∠BOF
5.如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)∠AOD的对顶角是______；
∠EOC的对顶角是______.
(2)∠AOC的邻补角是______；
∠EOB的邻补角是______.
【解析】根据对顶角及邻补角的定义进行辨别.
答案：(1)∠BOC　∠DOF
(2)∠AOD和∠BOC　∠EOA和∠BOF
题组对顶角、邻补角性质的应用
1.(2017·迁安市一模)如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1+∠2=80°，
则∠3等于(　　)
A.100°　　 　B.120°　　 　C.140°　　　 D.160°
【解析】选C.由对顶角相等，得
∠1=∠2，又因为∠1+∠2=80°，
所以∠1=40°.
由邻补角的定义，得∠3=180°-∠1=180°-40°=140°.
【变式训练】(2017·钦州月考)两条直线相交，如果其中一组对顶角之和是
220°，则这两条直线相交所得到的四个角的度数分别是______.
【解析】设对顶角中的一个是x，
由对顶角的性质，得
2x=220°，
解得x=110°，
由邻补角的性质，得
180°-110°=70°.
答案：110°　70°　110°　70°
2.图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是________.
【解析】根据对顶角相等的性质可得.
答案：对顶角相等
3.如图，直线a，b，c两两相交，∠1=80°，∠2=2∠3，则∠4=________.　
【解析】因为∠1=80°，所以∠2=∠1=80°，因为∠2=2∠3，所以∠3=40°，
所以∠4=180°-∠3=140°.
答案：140°
4.(2017·昆山市期末)如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=
72°，∠DOF=90°.
(1)写出图中任意一对互余的角.
(2)求∠EOF的度数.
【解析】(1)因为∠DOF=90°，
所以∠BOF+∠BOD=90°，
所以∠BOF和∠BOD互余.(答案不唯一)
(2)因为∠DOB=∠AOC=72°，
OE平分∠BOD，
所以∠DOE=∠BOD=36°，
所以∠EOF=90°-36°=54°.
5.如图，直线l1与l2相交于点O.
(1)若∠1+∠3=2(∠2+∠4)，求∠1，∠2的度数.
(2)若∠3-∠2=m°，求∠1，∠2的度数(用含m°的式子表示).
【解题指南】(1)根据对顶角的性质→∠1与∠3的关系，∠2与∠4的关系→结合已知条件∠1+∠3=2(∠2+∠4)→得出∠1与∠2的关系：∠1=2∠2→再根据邻补角的性质：∠1+∠2=180°→得答案.
(2)根据邻补角的性质：∠3+∠2=180°→结合∠3-∠2=m°→得出∠2的大小→再根据邻补角的性质，可得答案.
【解析】(1)由对顶角相等，得∠1=∠3，∠2=∠4，
由∠1+∠3=2(∠2+∠4)，得∠1=2∠2，
由邻补角互补，得∠1+∠2=180°，
即2∠2+∠2=180°，∠2=60°，
由邻补角互补，得∠1=180°-∠2=120°.
(2)由邻补角互补，得∠3+∠2=180°，又因为∠3-∠2=m°，所以∠2=90°-，∠1=180°-∠2=180°-=90°+.
【知识归纳】(1)结合图形及邻补角和对顶角的定义，找出图形中互为对顶角和邻补角的角，再运用对顶角相等，邻补角互补结合题目中的已知条件进行计算.(2)求一个角的度数，应设法将这个角转化为其他几个角的度数的和或差，然后分别求出这几个角的度数.(3)有些求角度的问题用方程法求解简单明了，注意方程思想的运用.
如图所示，l1，l2，l3交于点O，∠1=∠2，∠3∶∠1=8∶1，求∠4的度数.
【解析】设∠1=∠2=x°，则∠3=8x°.
由∠1+∠2+∠3=180°，得
10x=180.解得x=18.
所以∠1=∠2=18°.
所以∠4=∠1+∠2=2x°=36°.
　如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD.
(1)填空：∠AOC=50°，∠FOD=________.
(2)∠AOC=α°.则∠EOD=________(用含α的式子表示).
(3)探究∠EOD与∠FOD的大小关系，并说明理由.
【解析】(1)因为∠AOC=50°，所以∠BOD=∠AOC=50°，
因为OF平分∠BOD，所以∠FOD=∠BOD=25°.
答案：25°
(2)因为OE平分∠AOD，所以∠EOD=∠AOD，
因为∠AOD=180°-∠AOC=(180-α)°，
所以∠EOD=(180-α)°=°.
答案：°
(3)∠EOD+∠FOD=90°.
理由：因为OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，所以∠DOE=∠AOD，∠DOF=∠BOD，因为∠BOD+∠AOD=180°，所以∠DOE+∠DOF=(∠BOD+∠AOD)=90°.
【母题变式】如图，若∠MON=90°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，试问：A，O，B在同一条直线上吗？请说明理由.
【解析】A，O，B在同一条直线上.
理由如下：因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠AOC=2∠COM，∠BOC=2∠CON.
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=2(∠COM+∠CON)=2∠MON=180°，
即A，O，B在同一条直线上.
[变式一]如图，O是直线AB上的一点，∠MON=90°，OM平分∠AOC，试问：ON平分∠BOC吗？请说明理由.
【解析】ON平分∠BOC.
理由如下：因为OM平分∠AOC，所以∠AOM=∠COM.
又因为∠BON=180°-∠MON-∠AOM=90°-∠AOM，
∠CON=∠MON-∠COM=90°-∠COM，
所以∠BON=∠CON，即ON平分∠BOC.
[变式二]已知∠AOB与∠BOC互补，且两个角有公共顶点和一条公共边，∠AOB=
3∠BOC，求这两个角的平分线的夹角的度数.
【解析】分两种情况讨论
若∠AOB和∠BOC互为邻补角，则其情形如图(1)所示.
射线OD，OE分别平分∠AOB和∠BOC，由一对邻补角的平分线互相垂直可知
∠DOE=90°.
若∠AOB和∠BOC只是互为补角但不是邻补角，则其情形如图(2)所示.
射线OD，OE分别是∠AOB和∠BOC的平分线.
可设∠BOC=x，则∠AOB=3x，可得x+3x=180°，
解得x=45°.
所以∠AOB=135°，∠BOC=45°，
∠DOE=∠AOB-∠BOC=×135°-×45°=45°.
综上可知，这两个角的平分线的夹角为90°或45°.