2017-2018学年七年级数学下册第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.2垂线一课一练基础闯关（含解析）（新版）新人教版

垂线
一课一练·基础闯关
题组垂直的定义、性质及其应用
1.如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是(　　)
A.∠AOD=90° B.∠AOC=∠BOC
C.∠BOC+∠BOD=180° D.∠AOC+∠BOD=180°
【解析】选C.因为∠AOD=90°，
所以AB⊥CD，选项A正确；
因为∠AOC与∠BOC是邻补角，且∠AOC=∠BOC，
所以∠AOC=∠BOC=90°，所以AB⊥CD，选项B正确；
因为∠AOC与∠BOD是对顶角，且∠AOC+∠BOD=180°，
由对顶角相等可知，∠AOC=∠BOD=90°，
所以AB⊥CD，选项D正确；
而∠BOC与∠BOD是邻补角，满足∠BOC+∠BOD=180°，不能判定AB⊥CD.
2.(2017·潜江月考)下列关系中，互相垂直的两条直线是　 (　　)
A.互为对顶角的两角的平分线
B.两直线相交成的四角中相邻两角的角平分线
C.互为补角的两角的平分线
D.相邻两角的角平分线
【解析】选B.A.互为对顶角的两角的平分线所成角为180°；
B.两直线相交成的四角中相邻两角的角平分线互相垂直；
C.若互为补角的两角不是邻补角，则它们的平分线不垂直；
D.相邻两角不是邻补角，则它们的角平分线不垂直.
3.(2017·贵港一模)如图，直线a与b相交于点O，直线c⊥b，且垂足为点O，若∠1=35°，则∠2=______.
【解析】因为直线a与b相交于点O，直线c⊥b，∠1=35°，
所以∠2=180°-90°-35°=55°.
答案：55°
【变式训练】(2017·吉林一模)如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD=43°，则∠COB=______度.
【解析】因为OM⊥AB，
所以∠AOM=90°，
因为∠MOD=43°，
所以∠AOD=90°+43°=133°，
所以∠COB=∠AOD=133°.
答案：133
4.(2017·仙游县月考)如图所示，已知直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于点O，且∠1比∠2大20°，则∠AOC=______.　
【解析】因为OE⊥AB，
所以∠EOB=90°，则∠1+∠2=90°，
又∠1=∠2+20°，则∠2+20°+∠2=90°，
所以∠2=35°，
所以∠AOC=∠2=35°.
答案：35°
5.如图所示，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，OM⊥ON，∠BOC=26°，求∠AOD的度数.　
【解析】因为OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
所以∠AOB=2∠AOM=2∠BOM，
∠COD=2∠CON=2∠DON.
因为OM⊥ON，所以∠MON=90°.
所以∠CON+∠BOC+∠BOM=90°.
因为∠BOC=26°，
所以∠CON+∠BOM=90°-26°=64°.
所以∠DON+∠AOM=64°.
所以∠AOD=∠DON+∠AOM+∠MON=64°+90°=154°.
题组垂线的画法、性质及其应用
1.过一条线段外一点，画这条线段的垂线，垂足在(　　)
A.这条线段上 B.这条线段的端点
C.这条线段的延长线上 D.以上都有可能
【解析】选D.垂足应该在这条线段所在的直线上，至于在哪个位置，要根据线段的端点的位置确定.
2.已知△ABC中，BC=6，AC=3，CP⊥AB，垂足为点P，则CP的长可能是(　　)
A.2 B.4 C.5 D.7
【解析】选A.如图，根据垂线段最短可知：PC≤3，所以CP的长可能是2.
3.如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段________的长度，这样测量的依据是________.　
【解析】由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出分析和判断.他的跳远成绩是线段BN的长度.
答案：BN　垂线段最短
4.如图所示，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=a，BC=b，则BD的范围是__________，理由是________________.
【解析】根据垂线段最短，可以得到BD的范围大于b小于a.
答案：b题组点到直线的距离
1.(2017·北京中考)如图所示，点P到直线l的距离是(　　)
A.线段PA的长度 B.线段PB的长度
C.线段PC的长度 D.线段PD的长度
【解析】选B.由题意，得点P到直线l的距离是线段PB的长度.
2.(2017·惠民县月考)如图所示，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，图中能表示点到直线(或线段)的距离的线段有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.5条
【解析】选D.AC是A到直线BC的距离，BC是B到直线AC的距离，CD是C到直线AB的距离，BD是B到直线CD的距离，AD是A到直线CD的距离.
【变式训练】(2017·沧州校级月考)如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有______条.
【解析】图中表示点到直线的距离的线段有：
表示点A到BC的距离的线段是AC；
表示点B到AC的距离的线段是BC；
表示点C到AB的距离的线段是CD；
表示点A到CD的距离的线段是AD；
表示点B到CD的距离的线段是BD；
表示点D到BC的距离的线段是DE；
表示点C到DE的距离的线段是CE；
表示点B到DE的距离的线段是BE.
共8条.
答案：8
3.点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P到直线l的距离是(　　)
A.2cm B.小于或等于2cm
C.大于2cm D.大于或等于2cm
【解析】选B.根据垂线段最短，PC=2cm，若PC⊥l，则点P到l的距离是2cm，若PC与直线l不垂直，则点P到直线l的距离小于2cm.
4.(2017·广安月考)已知线段AB与直线CD互相垂直，垂足为点O，且AO=5cm，BO=3cm，则线段AB的长为__________.　
【解析】当点O在线段AB内时，AB=AO+BO=5cm+3 cm=8 cm，当点O在线段AB外时，AB=AO-BO=5cm-3 cm=2 cm.
答案：8cm或2 cm
5.如图，BC⊥AC，CB=4cm，AC=3 cm，AB=5 cm，求点C到AB的距离.　
【解题指南】先过点C作CD⊥AB于点D，根据BC⊥AC和三角形的面积公式得出AC·BC=AB·CD，即可求出点C到AB的距离.
【解析】过点C作CD⊥AB于点D，
因为BC⊥AC，
所以AC·BC=AB·CD，
因为CB=4cm，AC=3cm，AB=5cm，
所以3×4=5·CD，
所以CD=cm，
所以点C到AB的距离是cm.
　如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC∶∠AOD=7∶11.
(1)求∠COE.
(2)若OF⊥OE，求∠COF.
【思想荟萃】根据角度的比，设未知数，应用方程的思想解决角度计算问题.
【解析】(1)因为∠AOC∶∠AOD=7∶11，∠AOC+∠AOD=180°，
所以设∠AOC为7x°，则∠AOD为11x°，根据题意得：7x+11x=180，解得x=10，所以∠AOC=70°，∠AOD=110°.
所以∠BOD=∠AOC=70°，
∠BOC=∠AOD=110°.
又因为OE平分∠BOD，
所以∠BOE=∠DOE=∠BOD=35°.
所以∠COE=∠BOC+∠BOE=110°+35°=145°.
(2)因为OF⊥OE，所以∠FOE=90°.
所以∠FOD=∠FOE-∠DOE=90°-35°=55°.
所以∠COF=180°-∠FOD=180°-55°=125°.
【母题变式】已知OA⊥OB，OC⊥OD.
(1)如图①，若∠BOC=50°，求∠AOD的度数.
(2)如图②，若∠BOC=60°，求∠AOD的度数.
(3)根据(1)(2)结果猜想∠AOD与∠BOC有怎样的关系？并根据图①说明理由.
(4)如图②，若∠BOC∶∠AOD=7∶29，求∠COB和∠AOD的度数.
【解析】(1)由OA⊥OB，OC⊥OD，得
∠AOB=∠COD=90°.
所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-50°=40°，
由角的和差，得
∠AOD=∠AOC+∠COD=40°+90°=130°.
(2)由OA⊥OB，OC⊥OD，得∠AOB=∠COD=90°.
由角的和差，得
∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-90°-60°-90°=120°.
(3)∠AOD+∠BOC=180°，∠AOD+∠BOC=130°+50°=180°.
(4)由角的和差，得∠AOD+∠BOC=360°-∠AOB-∠COD=180°，
按比例分配，得∠BOC=180°×=35°，∠AOD=180°×=145°.