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3.2提公因式(2)练习题
一、选择题
1.下列各等式从左到右的变形是因式分解的是 （ ）
A.8a2b3c=2a2·2b3·2c B.x2y+xy2+xy=xy(x+y) 21世纪教育网版权所有
C.(x-y)2=x2-2xy+y2 D.3x3+27x=3x(x2+9)21教育网
2.如果一个多项式4x3y-M可以分解因式得4xy(x2-y2+xy) ，那么M等于 （ ）
A.4xy3+4x2y2 B.4xy3-4x2y2 C.-4xy3+4x2y2 D.-4xy3-4x2y221cnjy.com
3. 下列各式从左到右的变形：①(a+b)(a-b)=a2-b2 ②x2+2x-3=x(x+2)-3
③x+2=(x2+2x) ④a2-2ab+b2=(a-b)2是因式分解的有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.下列各多项式因式分解错误的是（ ）
A.( a-b) -(b-a)=（a-b)2(a-b-1) B.x(a-b-c)-y(b+c-a)=(a-b-c)(x+y)
C.P(m-n)3-Pq(n-m)3=P(m-n)3(1+q) D.(a-2b)(7a+b)-2(2b-a)2=(a-2b)(5a+5b)
5.已知多项式3x -mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)则，m,n的值分别为（ ）
A.m=1 n=－2 B.m-1 n=－2 C.m=2 n=－2 D.m=－2 n=－221·cn·jy·com
6.多项式（m+1）(m-1)+（m-1）提取公因式（m-1）后，另一个因式为（ ）
A.m+1 B.2m C.2 D.m+2
7.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
二、填空题
8.观察下列各式：①abx-adx ②2x y+6xy ③8m -4m +1
④(p+q)x y-5x (p+q)+6(p+q) ⑤(x+y)(x-y)-4b(y+x)-4ab
其中可以用提取公因式法分解的因式( ）。（填序号）
9.若xm=5 xn=6 叫xm- xm+2n= .
10.不解方程组 2x+y=6 则7y(x-3y)2-2(3y-x)3= .
x-3y=1
11. 分解因式-7m(m-n)3+21mn(n-m)2= .
12.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3）则n= .
三、解答题
13. 将下列各式分解因式：
(1)x(x－y)＋y(y－x)；
(2)(a2－ab)＋c(a－b)；
(3)4q(1－p)3＋2(p－1)2.
四、挑战自我。
14. 已知：m =n+2 n =m+2 (m≠n)求m -2mn+n3的值。
答案：
1、D. 2、B. 3、A. 4、D. 5.A 6.D 7.A
8. ①②④
9. -175
10.3
11. -7m(m-n)2(m-4n)
12.4
13. (1)原式＝x(x－y)－y(x－y)＝(x－y)(x－y)＝(x－y)2.
(2)原式＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a＋c)(a－b)．
(3)原式＝4q(1－p)3＋2(1－p)2＝2(1－p)2(2q－2pq＋1)．
14. 解
∵ m2=n+2 n2=m+2
∴ m3=mn+2m n3=mn+2n
∴ m3+n3=2mn+2（m+n）
∴ m3-2mn+n3=2(m+n)
而m2-n2=(n+2)-(m+2)=n-m
∵ m≠n ∴ m-n≠0
∴ m+n=-1
∴ m3-2mn+n3=-1×2=-2
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3.2.2提公因式法
数学湘教版 七年级下
导入新知
说说你如何理解公因式？
公共的因式。
多项式的每一项都含有的因式。
公因式是单项式，由系数，字母，字母指数组成。
公因式可以为多项式吗？
新知讲解
说一说
下列多项式中各项的公因式是什么？
(1)2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)
(2)2x(3a-b)-y(b-3a)
新知讲解
2am(x+1),4bm(x+1)与8cm(x+1)的公因式是2m(x+1)
b-3a可以看作-(3a-b)，所以2x(3a-b)与y(b-3a)的公因式是3a-b
记住:提公因式 时，公因式也可以是多项式
新知讲解
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：
(a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b-a)3;
(4) (a-b)4 =___(b-a)4;
(5) (a+b)5 =___(b+a)5;
(6) (a+b)6 =___(b+a)6.
(7) (a+b) =___(-b-a);
(8) (a+b)2 =___(-a-b)2.
+
+
+
做一做
+
+
新知讲解
(1)a-b 与b-a 互为相反数.(各项都互为相反数，则这两个多项式互为相反数）
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(2)a+b 与 -a-b互为相反数.（偶次幂相等，奇次幂互为相反数），即若(n是整数）
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
(3) a+b与b+a互为相同数.（各项都相等，则这两个多形式相等）
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
由此可知规律：
两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
新知讲解
(1)当相同字母前的符号相同时，则两个多项式相等
(2)当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数
如：a-b 和-b+a
如：a-b 和b - a
即：a-b =-b+a
即：a-b =-（ a -b）
例、把下列多项式因式分解：
新知讲解
(1) x(x-2)-3(x-2)
(2) x(x-2)-3(2-x)
解 x(x-2)-3(x-2)
=(x-2)(x-3)
解 x(x-2)-3(2-x)
=x(x-2)-3[-(x-2)]
=x(x-2)+3(x-2)
= (x-2)(x+3).
分析： 第2项中的2－x可以写成 － (x-2) ，于是x－2是各项的公因式．
学以致用
解： (1) a(m-6)+b(m-6)
把下列各式进行因式分解：
(1) a(m-6)+b(m-6) (2) 3(a-b)+a(b-a)
=(m-6)(a+b)
解： (2) 3(a-b)+a(b-a)
=3(a-b)-a(a-b)
=(a-b)(3-a)
例5、把(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2分解因式
新知讲解
解：(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2
=(a+c)(a-b)2-(a-c)(a-b)2
=(a-b)2[(a+c)-(a-c)]
=2c(a-b)2
第2项中的(b-a)2可以写成[-(a-b)]2 =(a-b)2.
于是(a-b)2是各项的公因式.
学以致用
把(x+y)(y-x)2-(x-y)3分解因式
解： (x+y)(y-x)2-(x-y)3
=(x+y)(x-y)2-(x-y)3
= (x-y)2[(x+y)-(x-y)]
= (x-y)2[x+y-x+y]
=2y(x-y)2
例6、把12xy2(x+y)-18x2y(x+y)因式分解.
新知讲解
分析 公因式的系数是多少？公因式中含哪些字母因式？它们的指数各是多少？公因式中含有什么式子？
系数是6.
含x，y，指数都是1.
含有 x +y .
因此，6xy(x+y)是各项的公因式.
解 12xy2(x+y)- 18x2y(x+y)
=6xy(x+y)(2y-3x).
新知讲解
ab
a2
b2
议一议
因式分解时，如何确定多项式各项的公因式？
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的(最大公约数)；字母取各项的(相同字母)，而且各字母的指数取最（小）次数。
巩固提升
1.因式分解2a(-a+b)2-(a-b)3，应提取的公因式是( )
A.-a+b B. a-b C.(a-b)2 D.以上都不对
2.观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m(a-b)和-a+b；③3(a+b)和-a+b；④2x2+2y2和x2+y2.其中有公因式的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
C
D
巩固提升
3.多项式(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)各项的公因式为__________.
x+y-z
4.已知a-1=b+c,则代数式a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b+c-a)
的值为__________.
1
巩固提升
5.化简求值：(3x-1)2(2x-3)-(3x -1)(2x-3)2-x(3x-1)(2x-3)，
其中x= .
解：原式=(3x-1)(2x-3)[(3x-1)-(2x-3)-x]
=(3x-1)(2x-3)×2
=2(3x-1)(2x-3).
当x=时,原式=2×(3× -1)×(2× -3)=- .
课堂小结
提公因式分解因式
提公因式分解因式，公因式可能为多项式。当公因式相同时，可以直接提取公因式，当公因式互为相反数时，应先变形，使之相同，再提取。
谢谢
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湘教版数学七年级下册3.2提公因式法（2）教学设计
课题 提公因式法（2） 单元 3 学科 数学 年级 七
学习目标 情感态度和价值观目标 通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点
能力目标 进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.
知识目标 进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.
重点 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式
难点 准确找出公因式，并能正确进行分解因式
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 提问：说说你如何理解公因式？接着提问：公因式可以为多项式吗？ 指名学生回答 复习以前的内容，同时引出这节课的内容.
讲授新课 说一说下列多项式中各项的公因式是什么？ (1)2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)(2)2x(3a-b)-y(b-3a)记住:提公因式时，公因式也可以是多项式.做一做在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：(1)(a-b) =___(b-a)； (2) (a-b)2 =___(b-a)2(3) (a-b)3 =___(b-a)3；(4) (a-b)4 =___(b-a)4;(5) (a+b)5 =___(b+a)5;(6) (a+b)6 =___(b+a)6.(7) (a+b) =___(-b-a);(8) (a+b)2 =___(-a-b)2.由此可知规律：(1)a-b 与b-a 互为相反数.(各项都互为相反数，则这两个多项式互为相反数）(a-b)n = (b-a)n (n是偶数） (a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）(2)a+b 与 -a-b互为相反数.（偶次幂相等，奇次幂互为相反数），即若(n是整数）(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）(3) a+b与b+a互为相同数.（各项都相等，则这两个多形式相等）(a+b)n = (b+a)n (n是整数） 提问：两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：(1)当相同字母前的符号相同时，则两个多项式相等(2)当相同字母前的符号均相反时，则两个多项式互为相反数例4、把下列多项式因式分解：(1) x(x-2)-3(x-2)(2) x(x-2)-3(2-x)练习：把下列各式进行因式分解：(1) a(m-6)+b(m-6) (2) 3(a-b)+a(b-a)例5、把(a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2分解因式 注意：第2项中的(b-a)2可以写成[-(a-b)]2 =(a-b)2.于是(a-b)2是各项的公因式.练习：把(x+y)(y-x)2-(x-y)3分解因式例6、把12xy2(x+y)-18x2y(x+y)因式分解. 观察这个多项式，有什么特点？议一议因式分解时，如何确定多项式各项的公因式？师生总结：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的(最大公约数)；字母取各项的(相同字母)，而且各字母的指数取最（小）次数。 学生交流，找出多项式中的公因式. 学生通过做一做，总结出规律 学生试着分解因式 学生思考，根据前面我们得出的规律，将a，b调换位置，值不变学生找出多项式的特点，然后试着分解因式. 引导学生独立思考，培养自主学习的能力探究式教学设计，让学生经历知识的形成，既能提高学生独立解决问题的能力，又能培养团结协作精神。精选几种常见类型的题目，让学生能更深层次的理解因式分解的实质。 讲练结合，开拓思维。
巩固提升 1.因式分解2a(-a+b)2-(a-b)3，应提取的公因式是( ) A.-a+b B. a-b C.(a-b)2 D.以上都不对 答案：C2.观察下列各式：①2a+b和a+b；②5m(a-b)和-a+b；③3(a+b)和-a+b；④2x2+2y2和x2+y2.其中有公因式的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④答案：D3.多项式(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)各项的公因式为__________.答案： x+y-z4.已知a-1=b+c,则代数式a(a-b-c)-b(a-b-c)+c(b+c-a)的值为__________. 答案： 15.化简求值：(3x-1)2(2x-3)-(3x -1)(2x-3)2-x(3x-1)(2x-3)，其中x= .答案：解：原式=(3x-1)(2x-3)[(3x-1)-(2x-3)-x] =(3x-1)(2x-3)×2 =2(3x-1)(2x-3).当x=时,原式=2×(3× -1)×(2× -3)=- . 学生自主解答，教师讲解答案。 鼓励学生认真思考；引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？提公因式分解因式，公因式可能为多项式。当公因式相同时，可以直接提取公因式，当公因式互为相反数时，应先变形，使之相同，再提取。 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 3.2提公因式法（2）两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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