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3.3 公式法(1)
数学湘教版 八年级下
导入新知
1、平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
从左边到右边的这个过程叫___________。
整式乘法
2、反过来，a2-b2=__________ .
(a+b)(a-b)
从左边到右边的这个过程叫___________。
分解因式
因此，a2-b2= (a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式。
动脑筋
新知讲解
如何把x2-25进行因式分解？
平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2，
把这个乘法公式从右到左地使用，得a2-b2=(a+b)(a-b)
因此 x2-25
= x2-52
= (x+5)(x-5) .
a2-b2
= (a+b)(a-b)
说说平方差公式的特点
①左边
两个数的平方差；只有两项
②右边
两数的和与差相乘
相同项
相反项
形象地表示为
新知讲解
新知讲解
把乘法公式从右到左地使用，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做公式法
公式法
新知讲解
分析 可以用平方差公式吗？
例1、把因式分解 .
=
解：
=(5x+2y)(5x-2y)
因为25x2 可以写成(5x)2,4y2可以写成(2y)2，所以能用平方差公式分解。
新知讲解
例2、把因式分解.
把(x+y)看成a，(x-y)看成b，所以能用平方差公式分解.
解：
=(x+y+x-y)(x+y-x+y)
=2x·2y
=4xy
平方差公式中的a与b既可以是单项式，也可以是多项式
(1)a2-25 (2)9(x-y)2-4(2x+y)2
因式分解
学以致用
解：
(1)a2-25
=a2-52
=(a+5)(a-5)
解：
(2)9(x-y)2-4(2x+y)2
=[3(x-y)]2-[2(2x+y)]2
=[3(x-y)+2(2x+y)][3(x-y)-2(2x+y)]
=(7x-y)(-x-5y)=-(7x-y)(x+5y)
新知讲解
例3、把因式分解.
分析 可以用平方差公式吗？
因为，所以能用平方差公式分解.
解：
=
=()(x+y)(x-y)
注意：因式分解中必须进行到每个因式都不能分解为止.
新知讲解
例5 把x3y2-x5 因式分解.
解：x3y2-x5
= x3(y2-x2)
= x3(y+x)(y-x)
分析 : x3y2-x5有公因式x3，应先提出公因式，再用公式进行因式分解.
能直接用公式分解因式吗？
学以致用
分解因式
(1)a4b4-81
解：(1)a4b4-81
=(a2b2)2-92
=(a2b2+9)(a2b2-9)
=(a2b2+9)(ab+3)(ab-3).
(2)mx2-my2
解：(2)mx2-my2
=m(x2-y2)
=m(x+y)(x-y).
新知讲解
(1)优先考虑提取公因式法
(2)看是否能用公式法
(3)务必检查是否分解到底了
(4)答案要写成最简形式。
总结：
分解因式的步骤：
巩固提升
1.下列各式中,能用平方差公式因式分解的是( )
A.x2+4y2 B.x2-y C.-x2+4y2 D.-x2-4y2
2. 因式分解a3-a的结果是( )
A.a(a2-1) B.a(a-1)2 C.a(a+1)(a-1) D.(a2+a)(a-1)
C
C
巩固提升
3.因式分解:x2-9y2= .
(x+3y)(x-3y)
328cm2
4.在边长为18.2cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为0.9cm的正方形,则余下的纸片的面积为 .
巩固提升
5、因式分解
(1)-4ax2+16ay2
解：-4ax2+16ay2
= -4a(x2-4y2)
=-4a(x+2y)(x-2y)
(2)16(a-2b)2-(a+b)2
解：16(a-2b)2-(a+b)2
=[4(a-2b)]2-(a+b)2
=(4a-8b+a+b)(4a-8b-a-b)
=(5a-7b)(3a-9b)
=3(5a-7b)(a-3b).
巩固提升
6.若a为整数,试说明(2a+1)2-1能被4整除.
解：(2a+1)2-1=(2a+1+1)(2a+1-1)
=(2a+2)·2
=4a(a+1).
因为a为整数, 所以a+1也为整数.
所以4a(a+1)能被4整除.
所以(2a+1)2-1能被4整除.
课堂小结
公式法
1.运用平方差公式因式分解的特征：
(1)多项式是二项式或可以成二项式；
(2)两项符号相反；
(3)每项都可以写成某数或某式的平方形式
2.分解因式的步骤：
(1)优先考虑提取公因式法
(2)看是否能用公式法
(3)务必检查是否分解到底了
(4)答案要写成最简形式。
谢谢
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湘教版数学七年级下册3.3公式法(1)课时教学设计
课题 3.3公式法(1) 单元 3 学科 数学 年级 七
学习目标 情感态度和价值观目标 在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯.
能力目标 通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想.
知识目标 理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解.
重点 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式。
难点 使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 在前面我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，将多项式化成几个因式乘积的形式. 如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？ 我们一起来回顾：1、平方差公式，整式乘法；2、反过来，a2-b2=__________ .只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本学时我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法 学生：积极思考回顾以前的知识. 通过知识的回顾，让学生感受数学的联系，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 动脑筋 如何把x2-25进行因式分解？回想平方差公式的特点，所以利用平方差公式即可分解。因此x2-25== x2-52=(x+5)(x-5)讨论一下，平方差公式具有什么特点？什么是公式法？学生思考：当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？例1、把因式分解 .提问：怎么化成平方差公式的形式？例2、把因式分解.把(x+y)看成a，(x-y)看成b，所以能用平方差公式分解.所以平方差公式中的a与b既可以是单项式，也可以是多项式练一练：因式分解(1)a2-25 (2)9(x-y)2-4(2x+y)2例3、把因式分解.提问：能用平方差公式分解吗？学生：因为，所以能用平方差公式分解.注意：因式分解中必须进行到每个因式都不能分解为止.例5 把x3y2-x5 因式分解. 提问：能直接用公式分解因式吗？学生：x3y2-x5有公因式x3，应先提出公因式，再用公式进行因式分解.练习：分解因式(1)a4b4-81(2)mx2-my2总结：分解因式的步骤：(1)优先考虑提取公因式法 (2)看是否能用公式法 (3)务必检查是否分解到底了(4)答案要写成最简形式。 小组讨论，教师深入小组，倾听学生的交流后，引导学生从项数、次数、符号等方面观察归纳出多项式的特点1．学生独立思考2．将自己的结论在小组内交流。3．师生共同结，达成共识。引导学生经历探究、猜想和验证，直至解决问题的过程．归纳出因式分解的步骤，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用，以及分解要彻底地思想． 让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，探究出将乘法公式逆用就能解决问题，再来归纳出分解因式的平方差公式使学生体验发现问题，解决问题的猜想和验证，直至解决问题的过程．从中体验成功地感受，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用以及分解因式应进行到每一个多项式因式不能再分解为止的原则
巩固提升 1.下列各式中,能用平方差公式因式分解的( )A.x2+4y2 B.x2-y C.-x2+4y2 D.-x2-4y2答案：C2. 因式分解a3-a的结果是( )A.a(a2-1) B.a(a-1)2 C.a(a+1)(a-1) D.(a2+a)(a-1)答案：C3、因式分解:x2-9y2= .答案：(x+3y)(x-3y)4.在边长为18.2cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为0.9cm的正方形,则余下的纸片的面积为 .答案：328cm25.因式分解(1)-4ax2+16ay2(2)16(a-2b)2-(a+b)2答案：解：(1)-4ax2+16ay2= -4a(x2-4y2)=-4a(x+2y)(x-2y)(2)16(a-2b)2-(a+b)2=[4(a-2b)]2-(a+b)2=(4a-8b+a+b)(4a-8b-a-b)=(5a-7b)(3a-9b)=3(5a-7b)(a-3b).6.若a为整数,试说明(2a+1)2-1能被4整除.答案：解：(2a+1)2-1=(2a+1+1)(2a+1-1) =(2a+2)·22 =4a(a+1).因为a为整数, 所以a+1也为整数.所以4a(a+1)能被4整除.所以(2a+1)2-1能被4整除. 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？1.运用平方差公式因式分解的特征：(1)多项式是二项式或可以成二项式；(2)两项符号相反；(3)每项都可以写成某数或某式的平方形式2.分解因式的步骤： 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 3.3公式法（1）平方差公式： (a+b)(a-b)= a2-b2
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3.3公式法(1)练习题
一、选择题
1.下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是( )
A.x2-y2 B.-x2-y2 C.4x2-y2 D.-4+y2
2.因式分解x2-16的结果为( )
A.(x+8)(x-2) B.(x+4)(x-4) C.(x+2)(x-8) D.(x+1)(x-16)
3.下列各式应用平方差公式进行因式分解:
①32-y2=9-y2;②a2-9b2=(a+9b)(a-9b); ③4x4-1=(2x2+1)(2x2-1);21世纪教育网版权所有
④m2n2-=; ⑤-a2-b2=(-a+b)(-a-b).21教育网
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.因式分解(x-1)2-9的结果是( )
A.(x+8)(x+1) B.(x+2)(x-4) C.(x-2)(x+4) D.(x-10)(x+8)
5.若16-xn=(2+x)(2-x)(4+x2),则n的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
6.已知多项式4x2-(y-z)2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是( )
A.2x-y-z B.2x-y+z C.2x+y+z D.2x+y-z
二、填空题
7.因式分解：
(1)2x2-8=__________;
(2)x2y4-x4y2=__________;
(3)4-(3-x)2=__________;
(4)16(a+b)2-9(a-b)2=__________.
8.已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=__________.
9. 若a－b＝1，则代数式a2－b2－2b的值为________．
10.在一边长为22.75的正方形中,剪去一边长为17.25的小正方形,则剩下的面积是 .
11.观察下列各式:32-12=8=8×1;52-32=16=8×2;72-52=24=8×3…把你发现的规律用含n的等式表示出来 .21cnjy.com
三、解答题
12. 因式分解：
(1)2x3-8x.
(2)(x-y+1)2-(x+y-3)2.
13. 如果在一个半径为a的圆内，挖去一个半径为b(b
(1)写出剩余部分面积的代数表达式，并因式分解它;
(2)当a=15.5 cm，b=5.5 cm，π取3时，求剩下部分面积.
答案：
1、B. 2、B. 3、B. 4、B. 5. C 6.D
7. (1)2(x+2)(x-2)
(2)-x2y2(x+y)(x-y)
(3)(5-x)(x-1)
(4)(7a+b)(a+7b)
8. 12
9.1
10. 220
11. (2n+1)2-(2n-1)2=8n
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