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湘教版数学七年级下册3.3公式法(2)教学设计
课题 3.3公式法(2) 单元 3 学科 数学 年级 七
学习目标 情感态度和价值观目标 在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时培养学生团队合作、互帮互助的精神
能力目标 通过学生自主合作探索完全平方公式的特点，培养学生的观察能力，分析、思考问题能力
知识目标 通过学生自主合作探索完全平方公式的特点，培养学生的观察能力，分析、思考问题能力.
重点 运用完全平方公式法进行因式分解。
难点 判断是否符合完全平方公式的条件和综合运用分解因式的方法
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.完全平方公式是什么样子？2.因式分解我们学了哪些方法？ 学生：积极思考回顾以前的知识. 通过知识的回顾，让学生感受数学的联系，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 动脑筋 你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？从项数看：都是有3项从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.从符号看：平方项符号相同完全平方公式在整式乘法与因式分解的关系？问：符合哪个公式特征学生：符合上述特征（完全平方式）的多项式，可用完全平方公式进行因式分解。（公式法）例1、把因式分解例2、 把因式分解注意：改变各项的符号练一练：因式分解(1)x2y2+10xy+25. (2)(a+b)2-4(a+b)+4.总结：用完全平方公式分解因式的要点：1、先找平方项；平方项同号，确定a，b两数2、再看中间项是否是2ab例3、把因式分解例4、把因式分解 .注意：因式分解中必须进行到每个因式都不能再分解为止. 练习：分解因式a4x2-2a2x2y2+x2y4 总结：因式分解的三步法： 小组讨论，教师深入小组，倾听学生的交流后，引导学生从项数、次数、符号等方面观察归纳出多项式的特点1．学生独立思考2．将自己的结论在小组内交流。3．师生共同结，达成共识。引导学生经历探究、猜想和验证，直至解决问题的过程．归纳出因式分解的步骤，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用，以及分解要彻底地思想． 让学生充分经历观察、类比、归纳、概括的过程，探究出将乘法公式逆用就能解决问题，再来归纳出分解因式的平方差公式使学生体验发现问题，解决问题的猜想和验证，直至解决问题的过程．从中体验成功地感受，再一次加深对多种方法（提公因式法、平方差公式）分解因式的综合运用以及分解因式应进行到每一个多项式因式不能再分解为止的原则
巩固提升 1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4答案：D2.把x2y-2y2x+y3因式分解正确的是( )A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y) C.y(x-y)2 D.y(x+y)2答案：C3.因式分解:mn2+6mn+9m= .答案： m(n+3)24.已知正方形的面积是9x2+6xy+y2(x>0,y>0),利用因式分解,写出表示该正方形的边长的代数式 .答案： 3x+y5、如图所示在一个边长为a的正方形木板上,锯掉边长为b的四个小正方形,计算当a=18dm,b=6dm时剩余部分的面积.答案：解：边长为a的正方形的面积是a2,边长为b的4个小正方形的面积是4b2,所以剩余部分的面积S=a2-4b2=(a+2b)(a-2b).当a=18dm,b=6dm时,S=(18+2×6)(18-2×6)=180(dm2).答:剩余部分的面积为180dm2. 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？2.分解因式的要求：(1)提公因式时不要漏项，掌握公因式的结构,全部提出来(2)套用公式时，根据公式特征选择。(3)务必检查是否分解彻底了，结果写成最简形式。 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 3.3公式法(2)
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3.3公式法(2)
数学湘教版 七年级下
导入新知
1.完全平方公式是什么样子？
2.因式分解我们学了哪些方法
提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)
运用平方差公式法： a2-b2=(a+b)(a-b)
动脑筋
新知讲解
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因式吗？这两个多项式有什么特点？
1.从项数看：都是有3项
2.从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
3.从符号看：平方项符号相同
新知讲解
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
a2+2ab+b2 =(a+b)2
a2- 2ab+b2 =(a-b)2
完全平方公式
整式乘法
因式分解
完全平方式
符合上述特征（完全平方式）的多项式，可用完全平方公式进行因式分解。（公式法）
符合哪个公式特征
新知讲解
例1、把因式分解
解：
=
=
分析：9x=, =，3=2·3·
解：
新知讲解
例2、 把因式分解
两项同号
注意改变各项的符号
=-()
=-[]
=-
学以致用
ab
ab
a2
因式分解
(1)x2y2+10xy+25. (2)(a+b)2-4(a+b)+4.
解：x2y2+10xy+25
=(xy)2+2·xy·5+52
=(xy+5)2
解：(a+b)2-4(a+b)+4
=(a+b)2-2(a+b)×2+22
=(a+b-2)2.
用完全平方公式分解因式的要点：
1、先找平方项；平方项同号，确定a，b两数
2、再看中间项是否是2ab
新知讲解
例3、把因式分解
解：
=
=
新知讲解
例4、把因式分解 .
解
因式分解中必须进行到每个因式都不能再分解为止.
a4x2-2a2x2y2+x2y4
学以致用
解： a4x2-2a2x2y2+x2y4
=
=
=
分解因式
新知讲解
总结提升：
因式分解的三步法
提
看
查
有公因式的先提公因式
看提公因式后的式子是否符合平方差或完全平方公式
检查每个因式是否分解彻底
巩固提升
1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+1 B.x2+2x-1 C.x2+x+1 D.x2+4x+4
D
2.把x2y-2y2x+y3因式分解正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y) C.y(x-y)2 D.y(x+y)2
C
巩固提升
3.因式分解:mn2+6mn+9m= .
m(n+3)2
4.已知正方形的面积是9x2+6xy+y2(x>0,y>0),利用因式分解,写出表示该正方形的边长的代数式 .
3x+y
巩固提升
5、如图所示在一个边长为a的正方形木板上,锯掉边长为b的四个小正方形,计算当a=18dm,b=6dm时剩余部分的面积.
巩固提升
解：边长为a的正方形的面积是a2,边长为b的4个小正方形的面积是4b2,所以剩余部分的面积S=a2-4b2=(a+2b)(a-2b).
当a=18dm,b=6dm时,S=(18+2×6)(18-2×6)=180(dm2).
答:剩余部分的面积为180dm2.
课堂小结
公式法
(3)务必检查是否分解彻底了，结果写成最简形式。
1.分解因式的步骤：一提二套
(1)优先考虑提取公因式法
(2)其次看是否能用公式法（如平方差公式，完全平方公式）
2.分解因式的要求：
(1)提公因式时不要漏项，掌握公因式的结构,全部提出来。
(2)套用公式时，根据公式特征选择。
谢谢
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3.3公式法(2)练习题
一、选择题
1.下列因式分解正确的是( )
A.x2-xy+x=x(x-y) B.a3-2a2b+ab2=a(a-b)2
C.x2-2x+4=(x-1)2+3 D.ax2-9=a(x+3)(x-3)
2. 把x2y-2y2x+y3因式分解正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y) C.y(x-y)2 D.y(x+y)2
3.多项式①16x3-4x;②(x-1)2-4(x-1)+4;③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x因式分解后,结果中含有相同因式的是( )21世纪教育网版权所有
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
4. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A. B. C. D.
5. 把a3-2a2+a因式分解的结果是( )
A.a2(a-2)+a B.a(a2-2a) C.a(a+1)(a-1) D.a(a-1)2
6. 下列各式能用公式法进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7.因式分解：
(1)x2+2x+1=__________；
(2)x2-4(x-1)＝__________.
8. 将多项式m2n-2mn+n因式分解的结果是__________.
9. 用因式分解法计算:782+156×22+222=( )2= .
10. 若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是__________.
三、解答题
11. 因式分解:
(1)(a+b)2+6(a+b)+9.
(2)-2xy-x2-y2.
(3)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4.
12. 若|m+4|与n2-2n+1互为相反数,把多项式x2+4y2-mxy-n因式分解.
13．观察“探究性学习”小组的甲、乙两位同学进行的因式分解如下:
(1)x2-xy+4x-4y
=(x2-xy)+(4x-4y)(分成两组)
=x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式)
=(x-y)(x+4).
(2)a2-b2-c2+2bc
=a2-(b2+c2-2bc)(分成两组)
=a2-(b-c)2
=(a+b-c)(a-b+c).(直接运用公式)
你能在他们的启发下,对下面的式子进行因式分解吗
(1)ab-ac+bc-b2.
(2)x2-y2-6x+9.
答案：
1、B. 2、C. 3、C. 4、C. 5. D 6.A
7. (1)(x+1)2
(2)(x-2)2
8. n(m-1)2；
9. 78+22 10000
10. 1
11. (1)(a+b)2+6(a+b)+9
=(a+b+3)2.
(2)-2xy-x2-y2
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2.
(3)(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4
=(x2-2xy+y2)2
=(x-y)4.
12. 由题意可得|m+4|+（n-1）2=0,
所以解得
所以，原式=x2+4y2+4xy-1=（x+2y）2-1=（x+2y+1）（x+2y-1）.
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