10 三角函数的简单应用
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5cm
C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大
D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零
答案：B
解析：由图像可知振幅为5cm.
2．单位圆上有两个动点M、N，同时从P(1,0)点出发，沿圆周转动，M点按逆时针方向转，速度为rad/s，N点按顺时针方向转，速度为rad/s，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为( )21教育网
A．π，2π B．π，4π
C．2π，4π D．4π，8π
答案：C
解析：设M、N两点走过的弧长分别为l1和l2，自出发至第三次相遇，经过t秒，则l1＝t，l2＝t.2·1·c·n·j·y
∴t＋t＝6π，∴t＝12，∴l1＝2π，l2＝4π.
3.
如图所示为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )21·世纪*教育网
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
答案：B
解析：∵水轮每分钟转4圈，即每秒钟旋转πrad，
∴ω＝π.可知水轮上最高点离水面的距离为(r＋2)＝5(m)．
即ymax＝A＋2＝5，∴A＝3.
4．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，按逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1秒内转过的角度为θ(0＜θ＜π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A处，则θ的值为( )www-2-1-cnjy-com
A.π B.π
C.π或π D.π或π
答案：C
解析：因为0＜θ＜π，且2kπ＋π＜2θ＜2kπ＋(k∈Z)，所以＜θ＜.又14θ＝2nπ(n∈Z)，所以θ＝.又因为＜＜，所以＜n＜，故n＝4或5，所以θ＝π或.21*cnjy*com
5．2012年伦敦奥运会的帆船比赛将在奥林匹克帆船中心举行，为了确保比赛顺利进行，对该中心进行必要的数据测试．已知比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b，下表是某日各时的浪高数据：【来源：21cnj*y.co*m】
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝cosx＋1
B．y＝cosx＋
C．y＝2cosx＋
D．y＝cos6πx＋
答案：B
解析：由周期T＝12，得ω＝，A＝＝，b＝＝.
6．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的距离s(cm)满足s＝2sin(t＋)，有如下三种说法：①小球开始在平衡位置上方cm处；②小球下降到最低点是离开平衡位置向下2 cm处；③经过2πs小球重复振动一次，其中正确的说法是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
答案：D
解析：当t＝0时，s＝2sin(0＋)＝，故①正确；smin＝－2，故②正确；T＝2π，故③正确．www.21-cn-jy.com
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．电流I(mA)随时间t(s)变化的函数关系是I＝3sin(100πt＋)，则电流I变化的最小正周期、频率和振幅分别为______，______，______.【来源：21·世纪·教育·网】
答案： 50 3
解析：最小正周期T＝＝；频率f＝＝50；振幅A＝3.
8．如图，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是______．【出处：21教育名师】
答案：y＝2sin(x＋)
解析：由图知：A＝2cm，T＝2(0.5－0.1)＝0.8(s)．
ω＝＝＝.
设解析式为y＝2sin(x＋α)．
又由图像知最高点(0.1,2)，则2sin(×0.1＋α)＝2，
即＋α＝，
∴α＝.∴y＝2sin(x＋)．
9．如图所示，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ωrad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系为：________.21世纪教育网版权所有
答案：y＝rsin(ω t＋φ)
解析：当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ω t．则∠POx＝ω t＋φ.由任意角的三角函数定义得点P的纵坐标为：21·cn·jy·com
y＝rsin(ω t＋φ)．此即所求的函数关系式．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ).
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图像如图所示，试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；2-1-c-n-j-y
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？【版权所有：21教育】
答案：(1)由图，可知A＝300.
设t0＝－，t1＝，t2＝.
∵T＝t2－t0＝－＝，
∴ω＝＝100π，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝，
∴I＝300sin.
(2)由题意，知≤，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
11．如图，一个摩天轮的半径为10 m，轮子的最低处距离地面2 m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P(点P与摩天轮中心O的高度相同)时开始计时．21cnjy.com
(1)求此人相对于地面的高度h(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m?
解：(1)当t＝0时，此人相对于地面的高度h＝12.
在时间t时此人转过的角为t＝t，
此时此人相对于地面的高度h＝10sint＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，不妨令0≤t≤30，
则≤t≤，即≤t≤.
故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17 m的时间为－＝10 s.
12．已知某港口落潮时水的深度为8.4 m，涨潮时水的深度为16 m，相邻两次涨潮发生的时间间隔为12 h．若水的深度d(m)随时间t(h)的变化曲线近似满足函数关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h，且10月10日4：00该港口发生一次涨潮．
(1)从10月10日0：00开始计算时间，求该港口的水深d(m)关于时间t(h)的函数关系式．
(2)10月10日17：00该港口的水深约为多少？(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深不超过10.3 m?
解：(1)依题意，知T＝＝12，故ω＝，
又h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，所以φ＝－，
所以该港口的水深d关于时间t的函数关系式为d＝3.8sin＋12.2.
(2)当t＝17时，
d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2
＝3.8×＋12.2
≈15.5.
所以10月10日17：00该港口的水深约为15.5 m.
(3)令3.8sin＋12.2≤10.3，有sin≤－，
因此2kπ＋≤t－≤2kπ＋，k∈Z，
所以12k＋8≤t≤12k＋12，k∈Z.
因为t∈[0,24]，所以k可以取0,1.
令k＝0，得t∈[8,12]；令k＝1，得t∈[20,24]．
故10月10日这一天该港口共有8小时水深不超过10.3 m.
11 单元测试卷一
时间：90分钟 满分：150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21cnjy.com
1．函数y＝sin(－4x＋1)的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
答案：A
解析：利用三角函数的周期公式T＝＝＝.
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：由题意，可得cosθ＝，所以cos(π－θ)＝－cosθ＝－.
3．已知f(x)＝，则f(2016)＝( )
A. B．－
C. D．－
答案：C
解析：f(2016)＝f(2012)＝sinπ＝sin＝sinπ＝.
4．若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图像关于原点中心对称，则φ＝( )
A．－ B．2kπ－(k∈Z)
C．kπ(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案：D
解析：若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图像关于原点中心对称，则f(0)＝cosφ＝0，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．21世纪教育网版权所有
5．下列不等式中，正确的是( )
A．tan＜tan
B．sin＞cos
C．sin(π－1)＜sin1°
D．cos＜cos
答案：D
解析：由三角函数的单调性知D正确．
6．电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图像如图所示，则当t＝ s时，电流强度是( )21·世纪*教育网
A．－5 A B．5 A
C．5 A D．10 A
答案：A
解析：由图像知A＝10，＝－＝，∴T＝，∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．又在图像上，∴100π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<，∴φ＝.∴I＝10sin，当t＝ s时，l＝－5 A，故选A.
7．下列四个命题：①函数y＝tanx在定义域内是增函数；②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tanx的图像关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tanx的图像关于点成中心对称．其中正确命题的个数是( )www-2-1-cnjy-com
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：对于①，函数y＝tanx仅在区间(k∈Z)内递增，如＜，但tan＝tan，所以①不正确；对于②，其最小正周期是，所以②也不正确；观察正切曲线可知命题③④都正确．2-1-c-n-j-y
8．要得到函数y＝sin2x的图像，只需将函数y＝cos(2x－)的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
答案：B
解析：将函数y＝cos(2x－)向右平移个单位，得到y＝cos＝cos＝sin2x，故选B.21*cnjy*com
9．在△ABC中，若sinAsinBcosC＜0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角或钝角三角形
答案：C
解析：正弦函数在区间(0，π)的函数值都为正，故cosC＜0，角C为钝角．
10．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝cosx，如果关于x的方程f(x)＝a有解，记所有解的和为S，则S不可能为( )
A.π B.π
C.π D．3π
答案：A
解析：当a＝－1时，方程两解关于直线x＝对称，两解之和为π，当－1＜a＜－时，方程有四解，对应关于直线x＝对称，四解之和为3π，当a＝－时，方程有三解，它们关于直线x＝对称，三解之和为π，当－＜a＜0时，方程有两解，它们关于直线x＝对称，其和为π.【来源：21cnj*y.co*m】
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．已知圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.
答案：
解析：∵15°＝ ∴扇形的面积为S＝r2α＝×62×＝.
12．已知在△ABC中，sinA＝，则cosA＝________.
答案：或－
依题意可知A∈(0，π)，又sinA＝，所以A＝或，所以cosA＝或－.
13．已知0<α<，sinα＝，则tanα＝________________________________________________________________________；
＝________.
答案： 4
解析：由0<α<，sinα＝，得cosα＝，则tanα＝；＝＝4.
14．函数y＝tan的图像与直线y＝－a(a∈R)的交点中距离的最小值为________．
答案：
解析：y＝tan的最小正周期T＝，故y＝tan与y＝－a的交点中距离的最小值为.
15．给出下列命题：
(1)函数y＝sin|x|不是周期函数；
(2)函数y＝tanx在定义域内为增函数；
(3)函数y＝的最小正周期为；
(4)函数y＝4sin，x∈R的一个对称中心为.
其中正确命题的序号是________．
答案：(1)(4)
解析：(1)由于函数y＝sin|x|是偶函数，作出y轴右侧的图像，再关于y轴对称即得左侧图像(图略)，观察图像可知没有周期性出现，即y＝sin|x|不是周期函数，命题(1)正确；(2)正切函数在定义域内不单调，命题(2)错误；(3)令f(x)＝，因为f＝≠f(x)，所以不是函数y＝的周期，命题(3)错误；(4)由于f＝0，故是函数y＝4sin的一个对称中心，命题(4)正确．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知函数f(x)＝sin＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
解：(1)∵f(x)＝sin＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是，
∴＝，所以ω＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋2.
当4x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)时，sin取得最大值1，
所以函数f(x)的最大值是2＋，此时x的集合为{x|x＝＋，k∈Z}．
17．(12分)角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
解：∵P(a，－b)，∴sinα＝，cosα＝，tanα＝－.
∵Q(b，a)，∴sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝.
∴＋＋＝－1－＋＝0.
18．(12分)已知函数f(x)＝asin＋＋b的最小正周期为π，函数f(x)的最大值是，最小值是.21教育网
(1)求ω，a，b的值；
(2)求出f(x)的单调递增区间．
解：(1)由函数f(x)的最小正周期为π，得ω＝1.
又f(x)的最大值是，最小值是，
则，
解得a＝，b＝1.
(2)由(1)，知f(x)＝sin＋，
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增，
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
19．(12分)对任意的θ∈R，不等式sin2θ＋2mcosθ－2m－2<0恒成立，求实数m的取值范围．www.21-cn-jy.com
解：对任意的θ∈R，
不等式sin2θ＋2mcosθ－2m－2<0恒成立，
即1－cos2θ＋2mcosθ－2m－2<0恒成立，得cos2θ－2mcosθ＋2m＋1>0恒成立．
由θ∈R，得－1≤cosθ≤1.
设t＝cosθ，则－1≤t≤1.
令g(t)＝t2－2mt＋2m＋1，－1≤t≤1，则g(t)的图像关于直线t＝m对称．
①当m≤－1时，g(t)在t∈[－1,1]上为增函数，
则g(t)min＝g(－1)＝4m＋2>0，得m>－，与m≤－1矛盾；
②当－1
0，得1－③当m≥1时，g(t)在t∈[－1,1]上为减函数，则g(t)min＝g(1)＝2>0.
综上，实数m的取值范围为(1－，＋∞)．
20．(13分)已知函数y＝sin(ωx＋φ)，在同一个周期内，当x＝时，y取最大值1，当x＝时，y取最小值－1.2·1·c·n·j·y
(1)求函数的解析式y＝f(x)．
(2)函数y＝sinx的图像经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图像？
(3)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0解：(1)∵T＝2×＝，
∴ω＝＝3.
又sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<，
∴φ＝－，
∴y＝f(x)＝sin.
(2)y＝sinx的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin的图像，
再将y＝sin的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，
纵坐标不变，得到y＝sin的图像．
(3)∵f(x)＝sin的最小正周期为，
∴f(x)＝sin在[0,2π]内恰有3个周期，
∴sin＝a(0x3＋x4＝×2＝，x5＋x6＝×2＝，
故所有实数根之和为＋＋＝.
21．(14分)据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
解：(1)由题可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝＝.
又，∴.
即f(x)＝2sin＋7.(*)
又f(x)过点(3,9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，
∴sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
(2)令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴＋2kπ可得＋8k又1≤x≤12，x∈N*，
∴x＝2,3,4,10,11,12，
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．
12 从位移、速度、力到向量；从位移的合成到向量的加法
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．给出下列四个命题：①时间、速度、距离都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上．其中正确的命题有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
答案：D
解析：时间、距离不是向量；向量的模可以是0；单位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共线向量，可以不在同一直线上．所以四个命题都不正确．
2．设O是△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
答案：B
解析：∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心，∴点O到三个顶点A，B，C的距离相等，∴，，是模相等的向量．21世纪教育网版权所有
3．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B.
C. D.
答案：D
解析：＋＋＝＋＋＝＋＝，所以选D.
4．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
答案：A
解析：∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
6．设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为( )
A．[0,1] B．[0,2]
C．[0,3] D．[1,2]
答案：C
解析：因为，，是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.21cnjy.com
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么：
(1)在图中与共线的向量有________；
(2)在图中与相等的向量有________；
(3)在图中与模相等的向量有________；
(4)在图中与相等的向量有________．
答案：(1)，，，，，，；(2)，；(3)，，，，，，，，；(4)
解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与共线的向量有，，，，，，.21教育网
(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与相等的向量有，.
(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与模相等的向量有，，，，，，，，.21·cn·jy·com
(4)与相等的向量只有.
8．若a＝“向东走8公里”，b＝“向北走8公里”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．2·1·c·n·j·y
答案：8 北偏东45°(或东北方向)
解析：由题意知，|a|＝|b|＝8，且a⊥b，所以|a＋b|是以a，b为邻边的正方形的对角线长，所以|a＋b|＝8，a＋b与b的夹角为45°，所以a＋b的方向是北偏东45°.
9．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
答案：2
解析：由题意，知a＋b＋c＝2c，而|c|＝，故|a＋b＋c|＝2.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．试求：(1)与向量相等的向量；(2)与共线的向量．www.21-cn-jy.com
解：(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，有＝，＝，所以与相等的向量为，；
(2)由图形不难得到，与共线的向量有，，，，，，.
11．在如下图的方格纸上，每个小正方形的边长都是1，已知向量a.
(1)试以点B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么图形？
解：画一个向量，必须先确定所画向量的方向和大小，另外还需根据实际情况确定起点和终点．
(1)如图所示，向量即为所求向量b；
(2)向量即为一个所求向量c，向量c终点的轨迹是一个以点A为圆心，以为半径的圆．
12．已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解：由|a－b|≤|a|＋|b|可得|－|≤||＋||＝6＋9＝15(当且仅当、共线反向时成立)，当、共线同向时，|－|＝||－||＝3，∴3≤|－|≤15.
13 数乘向量
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
答案：C
解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A．－＋ B．－－
C.－ D.＋
答案：A
解析：＝＋＝－＋.
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，AD＝b，则＝( )21cnjy.com
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
答案：A
解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
4．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )21·cn·jy·com
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝AB＋＝a＋b，∴x＝，y＝.21教育网
5．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案：A
解析：因为＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以与向量共线，又因为与有共点B，所以A、B、D三点共线．2·1·c·n·j·y
6．已知向量a、b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是( )
①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；
②存在相异实数λ，μ，使λ a＋μb＝0；
③x a＋y b＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD中，AB∥CD，＝a，＝b.
A．①②④ B．①③
C．②③④ D．③④
答案：A
解析：关键是对共线向量的理解．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点A、B、C三点共线，且点O是平面ABC内任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：1
8．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.21世纪教育网版权所有
答案：
解析：由已知得，解得x＝y＝.
9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.21·世纪*教育网
答案：
解析：由条件＋＝0，知＝－＝，所以点P是边AC的中点．又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以||＝||，故λ＝。www-2-1-cnjy-com
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．
求证：(1)A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．
证明：(1)∵＝＋＝5e1＋5e2＝5，
∴∥，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴，∴k2＝1，∴k＝±1.www.21-cn-jy.com
11．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.
12．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，若＝t，则t等于多少？2-1-c-n-j-y
解析：∵A，M，Q三点共线，∴＝α＋β(α＋β＝1)，
∴＝＝＋＝＋.
又∵＝＋，∴α＝，β＝，
∴α＋β＝＋＝1，∴t＝.
14 平面向量的基本定理
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设a，b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为( )21世纪教育网版权所有
A．1 B．2
C．－2 D．－1
答案：D
解析：＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共线，∴，∴p＝－1.21cnjy.com
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2) B.(e1－e2)
C.(2e2－e1) D.(e2－e1)
答案：A
解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.www-2-1-cnjy-com
3．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
答案：A
解析：使平面向量a，b有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等，可得向量－a与－b的夹角也是60°.
4．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是( )
A．a＋b与a－b B．a＋2b与2a＋b
C．a＋b与－a－b D．a与－b
答案：C
解析：由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．www.21-cn-jy.com
5．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y，且＝3，则( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
答案：D
解析：由已知＝3，得－＝3(－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝.
6．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )2·1·c·n·j·y
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：对于①，若向量a、b确定，因为a－b是确定的，故总存在向量c，满足c＝a－b，即a＝b＋c故正确；21·世纪*教育网
对于②，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数λ、μ，满足a＝λb＋μc，故正确；2-1-c-n-j-y
对于③，如果a＝λb＋μc，则以|a|、|λb|、|μc|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数μ确定，则一定存在单位向量c和实数λ满足a＝λb＋μc，故正确；
对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a|，|λb|、|μc|为三边长可构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误．故选C.21*cnjy*com
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．设G是△ABC的重心(即三条中线的交点)，＝a，＝b，试用a，b表示＝________.
答案：a＋b.
解析：延长AG交BC于D.
∵＝＝(＋)＝(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.
8．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.【出处：21教育名师】
答案：－2或
解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.
9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.21教育网
答案：
解析：由题意，知＝＋，＝＋，＝＋.又＝λ＋μ，所以＝＋，故，所以λ＋μ＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，试用a，b表示.
解析：由＝3，知N为AC的四等分点.＝＋＝－＝－(＋)＝－＋＝－a＋b.21·cn·jy·com
11．已知＝λ(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．
(1)试以，为基底表示；
(2)当λ＝时，试确定点P的位置．
解析：(1)∵＝－，＝－，由＝λ得(－)＝λ(－)，
∴＝λ＋(1－λ).
(2)当λ＝时，由(1)可知＝＋＝(＋)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．【来源：21·世纪·教育·网】
12．如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：设＝a，＝b，则＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a.
因为A、E、F与B、D、E分别共线，所以存在实数λ，μ∈R，使＝λ，＝μ.
于是＝a＋λb，＝μb－μa.
由＋＝得，(1－μ)a＋μb＝a＋λb.
因为a，b不共线，由平面向量基本定理，得1－μ＝且μ＝λ.
解得λ＝μ＝，∴＝.
即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点．
15 平面向量的坐标
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
答案：D
解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4) B．(3,5)
C．(1,1) D．(－1，－1)
答案：C
解析：＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
3．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为( )
A．－ B.
C. D．－
答案：C
解析：根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c可用a，b表示为( )
A．－a＋b B.a－b
C.a－b D．－a＋b
答案：B
解析：设c＝x a＋y b，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，
∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．
∴解得故选B.
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
答案：A
解析：设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故，解得，即点D，故选A.21教育网
6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为( )21·cn·jy·com
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由sinB＝1，得B＝，所以在△ABC中，cosC＝.又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q，得2a－b＝0，a＝，故cosC＝，所以C＝.www.21-cn-jy.com
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若向量a＝(1,2)，b＝(－1,0)，则2a－b＝________.
答案：(3,4)
解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)．
8．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
答案：1
解析：a－2b＝(，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝×，解得k＝1.
9.
如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．2·1·c·n·j·y
答案：(2－sin2,1－cos2)
解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos(2－)＝2－sin2，y＝1＋1×sin(2－)＝1－cos2，
∴的坐标为(2－sin2,1－cos2)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||.21·世纪*教育网
求点E的坐标．
解析：设C(x，y)，由＝，得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4)．
即解得即C(－5，－2)．又E在DC的延长线上，∴＝，设E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3) 解得a＝－8，b＝－.∴E(－8，－)．【来源：21·世纪·教育·网】
11．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．
(1)若＝，求点D的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解：(1)设D(x，y)．
由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，
即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，
所以，解得.
所以点D的坐标为(5，－6)．
(2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，
b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．
由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，所以k＝－.
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t.
(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析：＝(1,2)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；若P在第二象限，则有，解得－(2)＝－＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有＝，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形．
16 从力做的功到向量的数量积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
2．下列命题正确的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若a·b＝0，则a∥b
C．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2
D．a2＞|a|2
答案：C
解析：a·b＝0时，可能为a⊥b的情况；|a|2＝a2，故选C.
3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.21世纪教育网版权所有
4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
答案：B
解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.21教育网
5．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．以上都不对
答案：C
解析：∵a＋b＋c＝＋＋＝0，∴a＋b＝－c.
又∵a·c＝b·c，即(a－b)·c＝0，
∴－(a－b)·(a＋b)＝0，即|a|＝|b|.
同理，|a|＝|c|，|b|＝|c|，故|a|＝|b|＝|c|.
6．在边长为的正三角形ABC中，设＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－3 B．0
C．1 D．2
答案：A
解析：a·b＋b·c＋c·a＝b·(a＋c)＋c·a＝b·(－b)＋c·a＝－b2＋c·a＝－2＋··cos＝－3.21cnjy.com
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知|a|＝4，a与b的夹角θ为30°，则a在b方向上的投影为________．
答案：2
解析：a在b方向上的投影为|a|·cosθ＝4×cos30°＝2.
8．向量a与b满足|a|＝2，|a＋b|＝3，|a－b|＝3，则|b|＝________.
答案：
解析：|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝9，∴2a·b＝9－|a|2－|b|2＝5－|b|2.①
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝9.
∴2a·b＝|a|2＋|b|2－9＝|b|2－5.②
∴|b|＝.
9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是__________．21·cn·jy·com
答案：22
解析：由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.www.21-cn-jy.com
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．2·1·c·n·j·y
解析：因为|e1|＝|e2|＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，【来源：21·世纪·教育·网】
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e1·e2＝7，故|b|＝，且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，21·世纪*教育网
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以a与b的夹角为120°.
11．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，(a＋b)⊥(a＋tb)，求实数t的值．
解析：由题意，得(a＋b)·(a＋tb)＝0，
∴a2＋(t＋1)a·b＋tb2＝0，
即4＋(t＋1)×(－2)＋4t＝0，
得t＝－1.
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.
(1)求(2a－b)·(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．
解析：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×＝2.
∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.
(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，
∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，
∴λ＝12.
17 平面向量数量积的坐标表示
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
答案：D
2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝1 B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥b D．a∥b
答案：C
解析：a·b＝2，选项A错误；|a|＝2，|b|＝，选项B错误；(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，选项C正确，故选C.21教育网
3．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A. B．3
C．－ D．－3
答案：D
解析：向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不等边三角形
答案：C
解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，
∴＝(1,1)，＝(－4,3)，
cosA＝＝＝－＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角形．
5．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·等于( )
A．－2 B．2
C．－2或2 D．0
答案：B
解析：n·(＋)＝n·＋n·＝7，所以n·＝7－n·＝7－(6－1)＝2.
6．与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量是( )
A．(，－)
B．(，－)或(－，)
C．(，－)
D．(，－)或(－，)
答案：B
解析：设与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量为e＝(x，y)，则
，解得或故选B.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则·＝________.
答案：
解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，∴，即，解得，∴·＝4x＝.
8．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
答案：
解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，∴cosθ＝＝，∴θ＝.21cnjy.com
9．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b<0的实数x的取值集合为________．21·cn·jy·com
答案：
解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2<0?(log2x＋1)(log2x－2)<0，所以－1三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量＝(x,3)．
(1)若∥，求实数x的值；
(2)若⊥，求实数x的值．
解析：(1)依题意，＝(3,8)－(1,2)＝(2,6)．
∵∥，＝(x,3)，
∴2×3－6x＝0，∴x＝1.
(2)∵⊥，＝(x,3)，
∴2x＋6×3＝0，∴x＝－9.
11．已知：a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b.按照下列条件求λ的值：
(1)m与n的夹角为钝角；
(2)|m|＝|n|.
解析：(1)因为m与n的夹角为钝角，所以m·n＜0，且m与n不共线．
因为m＝a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，n＝2a＋b＝(7,8)．
所以.
解得λ＞.
(2)因为|m|＝|n|，所以＝.整理可得5λ2－4λ－88＝0.解之得λ＝.
12．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－<α<.
(1)若a⊥b，求α；
(2)求|a＋b|的最大值．
解析：(1)由已知，得a·b＝0，
即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.
∵－<α<，∴α＝－.
(2)由已知得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝sin2α＋1＋cos2α＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋2sin.21世纪教育网版权所有
∵－<α<，
∴－<α＋<，∴－即1<|a＋b|2≤3＋2，∴1<|a＋b|≤1＋，
即|a＋b|的最大值为1＋.
18 平面向量数量积习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
答案：A
解析：a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与a垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，∴λ＝－1，故选A.
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a·b〉＝.
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是( )
A．(8，＋∞)
B.
C.
D.∪(8，＋∞)
答案：D
解析：由题意，得a·b>0，即18＋4t>0，解得t>－.又当t＝8时，两向量同向，应去掉，故选D.21教育网
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在的区间为( )www.21-cn-jy.com
A．(2,3) B．(3,4)
C．(4,5) D．(5,6)
答案：C
解析：由向量的性质，知＝＋＋，其中与的夹角为60°，与的夹角为30°，与的夹角为90°，于是||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0＝17＋2∈(16,25)，所以AD∈(4,5)．21cnjy.com
5．在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则·的值等于( )
A．0 B．4
C．8 D．－4
答案：B
解析：因为∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，所以∠BAD＝60°，AD＝2，则·＝·(－)＝·－·＝－2×4×cos120°＝4，所以选B.
6．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )2·1·c·n·j·y
A．1 B．2
C. D.
答案：C
解析：由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.21世纪教育网版权所有
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知向量a，b满足b＝(1，)，b·(a－b)＝－3，则向量a在b方向上的投影为__________．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：
解析：＝＝2且由b·(a－b)＝－3，解得a·b＝1，所以a在b方向上的投影为：cos＝＝.21·世纪*教育网
8．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为www-2-1-cnjy-com
__________.
答案：3
解析：∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1.∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.
9．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为2-1-c-n-j-y
__________.
答案：
解析：设c＝(x，y)，则由题意得(2－x)·(－3－x)＋(2－y)·(3－y)＝0，即(x＋)2＋(y－)2＝，所以|c|的最大值为直径.21*cnjy*com
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形ABCD的形状．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：在四边形ABCD中，，，，四个向量顺次首尾相接，则其和向量为零向量，故有a＋b＋c＋d＝0，【出处：21教育名师】
∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＝|d|2.
又a·b＝c·d，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①
同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2，②
由①②可得|a|＝|c|，|b|＝|d|，即此四边形两组对边分别相等．
故四边形ABCD为平行四边形．
另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，由平行四边形ABCD得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0，故有a⊥b，即AB⊥BC.【版权所有：21教育】
综上，四边形ABCD是矩形．
11．已知在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求实数k的值．
解析：(1)若∠BAC＝90°，即AC⊥AB，即·＝0，
从而2＋3k＝0，解得k＝－；
(2)若∠BCA＝90°，即AC⊥BC，即·＝0，
而＝－＝(－1，k－3)，
故－1＋k(k－3)＝0，解得k＝；
(3)若∠ABC＝90°，即AB⊥BC，即·＝0，
而＝(－1，k－3)，
故－2＋3(k－3)＝0，解得k＝.
综合可知，k＝－或k＝或k＝.
12．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b满足|ka＋b|＝|a－kb|，其中k>0.21·cn·jy·com
(1)用k表示a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a，b的夹角．
解析：(1)将|ka＋b|＝|a－kb|两边平方，得|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，
k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，
∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，
a·b＝.
∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a2＝1，b2＝1，
∴a·b＝＝.
(2)∵k2＋1≥2k(当且仅当k＝1时等号成立)，即≥＝，
∴a·b的最小值为.
设a，b的夹角为γ，则a·b＝|a||b|cosγ.
又|a|＝|b|＝1，
∴＝1×1×cosγ，
∴γ＝60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60°.
19 向量应用举例
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )2·1·c·n·j·y
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
答案：C
解析：按照共线向量及坐标运算法则代入可求．
2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
答案：C
解析：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的向量为(A，B)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的向量为(－B，A)．21世纪教育网版权所有
3．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形的形状为( )
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．平行四边形
答案：B
解析：∵＋＝0，＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又·＝0，∴⊥，∴对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．21教育网
4．在△ABC中，·＝0，且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形
D．等边三角形
答案：D
解析：由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.又·＝cos〈，〉＝，〈，〉∈(0°，180°)，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形，选D.21·世纪*教育网
5．一条河的宽度为d，一艘船从河岸的A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，船到达B处所用的时间t为( )www-2-1-cnjy-com
A. B.
C. D.
答案：C
解析：如图所示，知|v合|2＝|v1|2－|v2|2.
∴|v合|＝，∴t＝＝，选C.
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．8 B．4
C．2 D．1
答案：B
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝4，故选B.2-1-c-n-j-y
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的射影为________．【来源：21cnj*y.co*m】
答案：
解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.
∴va在vb上的射影为|va|cosθ＝5×＝.
8．已知直线l经过点A(1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2,3)，则点B(2,3)到直线l的距离是________．【出处：21教育名师】
答案：
解析：由题意，知直线l的斜率k＝－.又直线l过点A(1，－2)，所以直线l的方程为2x＋3y＋4＝0，所以点B(2,3)到直线l的距离d＝＝.
9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．【版权所有：21教育】
答案：30
解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.www.21-cn-jy.com
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是边BC的中点，E是边AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.21*cnjy*com
解：解法一(基向量法)
·＝·
＝·
＝·
＝2－·－2.
∵BC⊥CA，∴·＝0.
又BC＝CA，
∴||＝||，
∴·＝(||2－||2)＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
解法二(坐标法)
以CA，CB所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设||＝||＝a，
∴C(0,0)，A(a,0)，B(0，a)，E，D，
∴＝，＝，
∴·＝－＋×＝－＋＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
11．如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．21cnjy.com
解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a.
由于与共线，因此存在实数m，使得＝m(a＋b)．
又与共线，因此存在实数n，使得＝n＝n.
由＝＋＝＋n，得m(a＋b)＝a＋n，
整理得(m＋n－1)a＋b＝0.
由于向量a，b不共线，所以有，
解得，
所以＝.
同理＝，
所以＝，所以AR＝RT＝TC，
所以R，T为AC的三等分点．
12．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.21·cn·jy·com
(1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，
|F2|＝|G|tanθ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cosθ≥.
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°，
即角θ的取值范围为[0°，60°]．
1 周期现象、角的概念的推广
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，给出下列四个命题：
①A＝B＝C；②AC；③CA；④A∩C＝B.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．2
C．3 D．4
答案：A
解析：由题可知BA，BC，因为－30°∈C，－30°?A,370°∈A,370°?C，所以①②③均不正确．对于④，－350°∈A∩C，但－350°?B，所以④错误．故选A.
2．与1303°角的终边相同的角是( )
A．763° B．493°
C．－137° D．－47°
答案：C
解析：因为1303°＝4×360°－137°，所以与1303°角的终边相同的角是－137°.
3．如果角α的终边上有一个点P(0，－3)，那么α( )
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．是第三或第四象限角
D．不是任何象限角
答案：D
解析：因为点P落在y轴的非正半轴上，即α的终边落在y轴的非正半轴上，因此α不是任何象限角．
4．角α与β的终边关于y轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°(k∈Z)
C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)
D．α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)
答案：D
解析：因为α、β关于y轴对称，由象限角可知α＝360°·k＋180°－β.所以α＋β＝360°·k＋180°(k∈Z)．21世纪教育网版权所有
5．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
答案：C
解析：∵角2α的终边在x轴上方，∴k·360°<2α6．探索规律：根据图中箭头指向的规律，判断从2014到2015再到2016，箭头的指向是( )
答案：B
解析：由图易得周期为4，由2014＝503×4＋2，知箭头的指向如选项B中的图所示．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
答案：－960°
解析：分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×2＝－960°.
8.与－496°终边相同的角是________；它们是第________象限的角；它们中最小正角是________；最大负角是________．21·cn·jy·com
答案：k·360°－496°(k∈Z)；三；224°；－136°.
解析：－496°＝－360°－136°＝－720°＋224°.
9．终边在第一或第三象限角平分线上的角的集合为________，终边在第二或第四象限角平分线上的角的集合为________．2·1·c·n·j·y
答案：{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z} {α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}
解析：根据终边在第一象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，而终边在第三象限角平分线上的角的集合为{x|x＝k·360°＋225°，k∈Z}，可知终边在第一或第三象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，同理可得，终边在第二或第四象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图是一个单摆的振动图像，根据图像，回答下面问题：
(1)单摆的振动是周期现象吗？
(2)若是周期现象，其振动的周期是多少？
(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？
解：由题图可知：(1)单摆的振动是周期现象．
(2)其振动周期是0.8 s.
(3)单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.
11．已知α是第三象限角，则是第几象限角？
解：∵α是第三象限角，
∴180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
∴60°＋k·120°<<90°＋k·120°(k∈Z)．
当k＝3n(n∈Z)时，60°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
∴是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<<210°＋n·360°(n∈Z)，∴是第三象限角；21cnjy.com
当k＝3n＋2(n∈Z)时，300°＋n·360°<<330°＋n·360°(n∈Z)，∴是第四象限角．www.21-cn-jy.com
∴是第一或第三或第四象限角．
12．如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题图，可知终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．【来源：21·世纪·教育·网】
20 单元测试卷二
时间：90分钟 满分150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21教育网
1．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：＝(2,2)，＝(－1,3)，||＝，·＝－2＋6＝4，向量在向量上的投影为＝＝，故选B.www.21-cn-jy.com
2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A．5 B．25
C. D.
答案：A
解析：因为|a＋b|＝5，所以a2＋2a·b＋b2＝50，即5＋2×10＋b2＝50，所以|b|＝5.2·1·c·n·j·y
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，－2)，则c＝( )
A．－a－b B．－a＋b
C.a－b D．－a＋b
答案：D
4．若非零向量a，b满足|a－b|＝|b|，则( )
A．|2b|＞|a－2b| B．|2b|＜|a－2b|
C．|2a|＞|2a－b| D．|2a|＜|2a－b|
答案：A
5．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若－4＋3＝0，则＝( )
A. B.
C．2 D．3
答案：D
解析：∵－4＋3＝0，
∴(－)－3＋3＝0，即－＝3(－)，
∴＝3，
∴＝3.
6．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
7．已知a＝(3,4)，b＝(－1,2m)，c＝(m，－4)，满足c⊥(a＋b)，则m＝( )
A．－ B.
C. D．－
答案：A
解析：a＋b＝(2,4＋2m)，c⊥(a＋b)?c·(a＋b)＝(m，－4)·(2,4＋2m)＝2m－4(4＋2m)＝0，解得m＝－.21cnjy.com
8．已知平面向量a＝(1，)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是( )
A．[0,1] B．[1,3]
C．[2,4] D．[3,4]
答案：B
解析：由于＝1，所以向量b对应的点在以(1，)为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以的取值范围是[1,3]．【来源：21·世纪·教育·网】
9．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上的一点P使·取得最小值，则点P的坐标为( )2-1-c-n-j-y
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(2,0) D．(4,0)
答案：A
解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时，·取得最小值，此时P(3,0)．
10．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足·＋||2＝·＋||2，则O点( )
A．在过点C且垂直于AB的直线上
B．在∠C平分线所在的直线上
C．在AB边中线所在的直线上
D．是△ABC的外心
答案：A
解析：由题意有·＋·＋2－2＝0.
即·＋·＋(－)·(＋)
＝·(＋－－－－)＝－2·＝0，
所以⊥.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
答案：2
解析：因为||2＝|－|2＝||2＋||2－2·＝10＋10－0＝20，所以||＝＝2.21·cn·jy·com
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是________．www-2-1-cnjy-com
答案：
解析：因为|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2－|a＋b|2＝2＋6－4＝4，故|a－b|＝2，因为cos〈a－b，a＋b〉＝＝＝－，故所求夹角是.21*cnjy*com
13．已知在△ABC中，向量与的夹角为，||＝2，则||的取值范围是________．
答案：(0,4]
解析：∵||＝|＋|＝，∴||2＋||2－||||＝4，把||看作未知量，得到一个一元二次方程||2－||||＋(|AB|2－4)＝0，这个方程的判别式Δ＝(－||)2－4(||2－4)＝16－||2≥0，∴－4≤||≤4，根据实际意义，知0<||≤4.【出处：21教育名师】
14．已经△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝__________.【版权所有：21教育】
答案：
解析：·＝·cos＝2，＝－＝(1－λ)－，
同理＝λ－，则·＝(1－λ)λ·－(1－λ)2－λ2＋·
＝2λ(1－λ)－4(1－λ)－4λ＋2＝－2λ2＋2λ－2＝－，解得λ＝.
15．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值为__________．21教育名师原创作品
答案：6
解析：以AB，AD所在的直线为坐标轴建立坐标系，则M(2,1)，A(0,0)，设N(x，y)，则0≤x≤2,0≤y≤2，因此·＝2x＋y，因此，当x＝2，y＝2时，有最大值6.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知A、B、C三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0,1)，且＝3，＝2，求点P、Q和向量的坐标．21·世纪*教育网
解：因为A、B、C三点的坐标分别为(－2,1)、(2，－1)、(0,1)，所以＝(－2,0)，＝(2，－2)，所以＝3＝(－6,0)，＝2＝(4，－4)，设P(x，y)，则有＝(x，y－1)，所以解得即P点的坐标为(－6,1)，同理可得Q(4，－3)，因此向量＝(10，－4)．21*cnjy*com
17．(12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)求a·b及|a＋b|的值；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝－16，
|a＋b|＝
＝
＝4.
(2)由题意，知(a＋2b)·(ka－b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.
18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
解析：(1)若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
(2)若＝3，则＝＋，
·＝·(－)
＝－2－·＋2
＝－×42－×4×2×cos60°＋×22
＝－3.
19．(12分)△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝0.
(1)求数量积·，·，·；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)∵3＋4＋5＝0.
∴3＋4＝0－5，即(3＋4)2＝(0－5)2.
可得92＋24·＋162＝252.
又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.∴2＝2＝2＝1，∴·＝0.
同理·＝－，·＝－.
(2)S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝||·||·sin∠AOB＋||·||sin∠BOC＋||·||·sin∠AOC.【来源：21cnj*y.co*m】
又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.
∴S△ABC＝(sin∠AOB＋sin∠BOC＋sin∠AOC)．
由(1)·＝||·||·cos∠AOB＝cos∠AOB＝0，得sin∠AOB＝1.
·＝||·||·cos∠BOC＝cos∠BOC＝－，
∴sin∠BOC＝，同理sin∠AOC＝.∴S△ABC＝.
20．(13分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x轴的正方向指向东，y轴的正方向指向北．一个单位长度表示实际路程100 m，一人步行从广场入口处A(2,0)出发，始终沿一个方向匀速前进，6 min时路过少年宫C,10 min后到达科技馆B(－3,5)．
(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度v(用坐标表示)；
(2)求少年宫C点相对于广场中心所在的位置．(参考数据：tan18°26′＝)．
解析：(1)依题意知＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，
||＝＝5，∠xAB＝135°.
∴此人沿北偏西45°方向走了500 m.
∵当t＝ h时，此人所走的实际距离s＝||×100＝500(m)，
∴|v|＝＝3000 m/h
∴vx＝|v|cos135°＝－3000(m/h)，vy＝|v|sin135°＝3000(m/h)，
又一个单位长度表示实际路程100 m，
∴v＝(－30,30)．
(2)∵＝＝，
＝＋＝(2,0)＋(－5,5)＝(－1,3)，
∴||＝，又tan∠COy＝，∴∠COy＝18°26′.
即少年宫C位于距离广场中心100 m，且在北偏西18°26′处．
21．(14分)在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．21世纪教育网版权所有
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
解析：(1)由题意得＝(t－4,2)，＝(2，t)，＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；
若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2；
若∠C＝90°，则·＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴满足条件的t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴，即D(10－t，t－2)，
∴||＝＝，
∴当t＝6时，||取得最小值4.
21 同角三角函数的基本关系
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知cosα＝－，且α为第三象限角，求tanα( )
A. B．－
C. D．－
答案：C
解析：因为cosα＝－，所以sinα＝±＝±，
又因为α为第三象限角，所以sinα＜0，
所以sinα＝－.
所以tanα＝＝.
2．化简 的结果是( )
A．cos B．－cos
C．±cos D．cos
答案：B
解析：∵＜＜π，∴cos＜0.
∴ ＝ ＝|cos|＝－cos.
3．已知sinθ＋cosθ＝1，则sinθ－cosθ的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
答案：C
解析：将sinθ＋cosθ＝1两边平方得sinθcosθ＝0.
即或，故sinθ－cosθ＝±1.
4．已知α、β均为锐角，2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值是( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题目所给的两个方程消去β，转化为tanα的方程，求tanα后，再求sinα.
解得tanα＝3.∴＝3，
又sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝.故选C.
5．如果sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1，
∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时，
sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1才能成立．
sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角．
6．已知＝－，则的值是( )
A. B．－
C．2 D．－2
答案：A
解析：∵÷＝＝－1，
∴＝－＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β的结果为________．
答案：1
解析：原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝1.21教育网
8．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.
答案：2
解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，则sinα＝2cosα，故tanα＝2.21cnjy.com
9．若tanα＋＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋＝________.
答案： 7
解析：∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sinαcosα＝.tan2α＋＝2－2tanα＝9－2＝7.21·cn·jy·com
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．化简下列各式：
(1)＋，θ∈；
(2)·.
解析：(1)原式＝＋
＝＋
＝
＝.
(2)原式＝·
＝·
＝·
＝
＝
(k∈Z)．
11．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2).
解析：(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0.
原式的分子、分母同除以cosα，得
原式＝＝＝.
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－.
12．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sinθ和cosθ，θ∈.
(1)求＋的值；
(2)求实数m的值；
(3)求sinθ，cosθ及θ的值．
解析：(1)由题意，得，
所以＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝.
(2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝，
将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，
所以sinθcosθ＝，
由(1)，知＝，所以＝.
(3)由(2)可知原方程为2x2－(＋1)x＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以或.
又θ∈，所以θ＝或.
22 两角和与差的正弦余弦函数1
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．化简cos(x－y)cosy－sin(x－y)siny可得( )
A．1 B．sinx
C．sinxcos2y D．cosx
答案：D
解析：原式＝cos[(x－y)＋y]＝cosx.
2．设α∈，若sinα＝，则cos＝( )
A. B.
C．－ D．－
答案：B
解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，
又cos＝＝cosα－sinα＝.
3．若sinx－cosx＝2sin(x＋θ)，θ∈(－π，π)，则θ的值( )
A．－ B.
C. D．－
答案：A
解析：sinx－cosx＝2[sinx－cosx]＝2[sinxcos－cosxsin]＝2sin(x－)，故θ的值为－.21世纪教育网版权所有
4．若sin(α－β)＝，sinα＝，且α、β为锐角，则cosβ的值为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为α、β为锐角，所以α－β∈(－，)，又因为sin(α－β)＝，sinα＝，得cos(α－β)＝，cosα＝，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.21教育网
5．设A、B、C∈(0，)，且sinA－sinC＝sinB，cosA－cosC＝cosB，则B－A等于( )21cnjy.com
A．－ B.
C．－ D．－或
答案：A
解析：条件中的两式可变为sinA－sinB＝sinC，cosA－cosB＝cosC，所得两式两边平方相加得cos(B－A)＝，又因为A，B，C∈(0，)，sinA－sinB＝sinC>0，故可得A>B，故B－A＝－.21·cn·jy·com
6．已知三角形ABC中，有关系式tanA＝成立，则三角形ABC一定为( )
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形
D．不能确定
答案：C
解析：“切化弦”后可得cos(A－C)＝cos(B－C)，∴A－C＝A－B或A－C＝－(A－B)，即B＝C或2A＝B＋C，即B＝C或A＝60°.www.21-cn-jy.com
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝__________.
答案：
解析：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，②
①×3－②得：2cosαcosβ＝4sinαsinβ
即tanαtanβ＝.
8．sin70°cos25°－sin380°cos295°＝________.
答案：
解析：原式＝sin70°cos25°－sin20°cos65°＝cos20°cos25°－sin20°sin25°＝cos45°＝.2·1·c·n·j·y
9．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
答案：－
解析：∵α，β∈，
∴α＋β∈，β－∈.
∵sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝.
∵sin＝，∴cos＝－，
∴cos＝cos＝·＋·＝－.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．化简：(tan10°－).
解析：原式＝(－)＝()＝·＝－2.
11．设cos＝－，sin＝且＜α＜π，0＜β＜，求cos.
解析：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜，
又∵cos＝－，sin＝，
∴sin＝ ＝，cos＝ ＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin ＝.
12．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
解析：(1)f ＝2sin
＝2sin＝2×＝.
(2)f ＝2sin
＝2sinα＝，∴sinα＝.
f(3β＋2π)＝2sin＝2sin
＝2cosβ＝，
∴cosβ＝.
∵α，β∈，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
23 两角和与差的正弦余弦函数2
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知a＝sin10°＋cos10°，b＝sin20°＋cos20°，c＝，则a、b、c的大小关系为( )21教育网
A．aC．c答案：A
解析：a＝sin55°sin60°＝.
2．已知sinα＋sinβ＋sin1＝0，cosα＋cosβ＋cos1＝0，则cos(α－β)＝( )
A．－1 B．1
C．－ D.
答案：C
解析：原式变为
sinα＋sinβ＝－sin1 ①
cosα＋cosβ＝－cos1 ②
①②平方相加得cos(α－β)＝－.
3．设函数f(x)＝sin＋cos，则( )
A．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
答案：D
解析：f(x)＝sin＋cos＝sin＝cos2x.
则函数在单调递减，其图像关于x＝对称．
4．已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案：A
解析：∵α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.21·cn·jy·com
5．若sinα＋sinβ＝，则cosα＋cosβ的取值范围是( )
A. B.
C．[－2,2] D.
答案：D
解析：设cosα＋cosβ＝x，
则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝＋x2，
即2＋2cos(α－β)＝＋x2，
∴x2＝＋2cos(α－β)．
显然，当cos(α－β)取得最大值时，x2有最大值．
∴0≤x2≤即－≤x≤.
6．设α，β∈，sinα＝，sinβ＝，α＋β的大小为( )
A．－135° B．45°
C．135° D．45°或135°
答案：B
解析：cos(α＋β)＝，∵α＋β∈(0°，180°)，∴α＋β＝45°.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.
答案：cos1°
解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°
＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°
＝cos(40°－39°)
＝cos1°.
8．已知α是第二象限角，sin＝－，则cosα＝________.
答案：－
解析：因为α是第二象限角，sin＝－<0，所以α＋是第三象限角，所以cos＝－，所以cosα＝cos＝cos＋sin＝－.21cnjy.com
9.＝__________.
答案：
解析：原式＝＝＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z，求证：tan(α＋β)＝2tanα.21世纪教育网版权所有
证明：由3sinβ＝sin(2α＋β)，得
3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．
3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
整理，得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.
∴α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
将上式两边同除以cosα·cos(α＋β)，得
tan(α＋β)＝2tanα.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.求cos(α－β)的值．
解析：依题意，得cosα＝，cosβ＝.
因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
12．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)若α∈，β＝，且a·b＝，求sinα.
解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
即(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由已知a·b＝cosαcos＋sinαsin＝cos且a·b＝，
∴cos＝.
由－＜α＜，得－＜α－＜0.
∴sin＝－＝－.
∴sinα＝sin
＝sincos＋cossin＝－.
24 两角和与差的正切函数
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设tanα＝，tanβ＝，且α、β角为锐角，则α＋β的值是( )
A. B.或
C. D.
答案：C
解析：由tanα＝，tanβ＝，得tan(α＋β)＝＝＝1.又α、β均是锐角，
∴α＋β＝.
2.的值是( )
A. B．－
C. D．－
答案：B
解析：＝＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－tan60°＝－.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为α＋＝(α＋β)－，所以tan＝tan＝＝，故选C.
4．已知tanα＝，则的值是( )
A．2 B.
C．－1 D．－3
答案：B
解析：解法一：因为tanα＝，所以tan＝＝＝3，所以＝＝.故选B.
解法二：＝＝tan＝tanα＝.故选B.
5．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
答案：A
解析：由tanAtanB>1得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sinAsinB>cosAcosB，即cos(A＋B)<0，∴cos(π－C)<0，∴－cosC<0，∴cosC>0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.21世纪教育网版权所有
6．设tanα和tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )21教育网
A. B.
C．－ D．不确定
答案：C
解析：∵tanα和tanβ是mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，
∴
∴m≤，且m≠0.tan(α＋β)＝＝＝＝－m＋.
∴当m＝时，tan(α＋β)的最小值为－.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝________.
答案：－
解析：∵α为第三象限的角，则2kπ＋π≤α≤2kπ＋，∴4kπ＋2π≤2α≤4kπ＋3π(k∈Z)，又cos2α＝－，21cnjy.com
∴sin2α＝，tan2α＝－，∴tan(＋2α)＝＝－.
8．tan＋tan＋tan·tan的值为________．
答案：
解析：tan＋tan＋tan·tan
＝tan＋tan·tan
＝＋tan·tan＝.
9．若a，b是非零实数，且＝tan，则＝________.
答案：
解析：∵＝＝tan＝tan(＋)＝，∴＝tan＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.21·cn·jy·com
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求的值．
解析：(1)由题意，得cosα＝，cosβ＝.
因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，
因为tanα＝2，tanβ＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－.
(2)
＝×
＝×tan[(α＋β)－α]
＝×tanβ
＝×
＝.
11．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值．
解析：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，
所以tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，
tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝－，
所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan2α＋tan2β＝－1－＝－.
12．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1))，且a，b共线，其中θ∈.
(1)求tan的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0<φ<，求φ的值．
解析：(1)∵a，b共线，∴sinθ－2cosθ＝0，即tanθ＝2.
∴tan＝＝＝－3.
(2)由(1)，知tanθ＝2，又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.
∵5cos(θ－φ)＝3cosφ，
∴5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝3cosφ，即cosφ＋2sinφ＝3cosφ，
∴cosφ＝sinφ.
又0<φ<，∴tanφ＝1，∴φ＝.
25 两角和与差的三角函数习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知α为任意角，则下列等式
①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
③cos(＋α)＝－sinα
④tan(－α)＝cotα
⑤tan(α－β)＝
其中恒成立的等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：B
解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝0时，④中的tan(－0)无意义，当α＝β＋时，⑤式中的tan(α－β)无意义．21教育网
2．函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D．4π
答案：B
解析：∵y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin，∴周期T＝π.
3．若sinα＋cosα＝－，则cos(－α)等于( )
A. B. C．－ D．－
答案：C
解析：sinα＋cosα＝2sin(α＋)＝－.
cos(－α)＝cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝－.
4．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B.
C.或 D.或
答案：A
解析：因为α∈，所以2α∈.又sin2α＝，故2α∈，所以α∈，所以cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，且α＋β∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，故α＋β＝.21cnjy.com
5．已知sin＝sinα＝－，－<α<0，则cos等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：因为sin＋sinα＝－，所以sin＋sin＝－，
所以sin＋sincos－cossin＝－，所以sin－cos＝－，
所以－＝－，
－cos＝－，cos＝，
所以cos＝cos＝，故选D.
6．在△ABC中，若tanC＝，且sinAcosB＝cos(－B)sinB，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．等腰但非直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
答案：D
解析：由tanC＝可知，C＝.所以A＋B＝，故cos＝cosA.由条件可知，sin(A－B)＝0，又因为角A、B是三角形的内角，可得A＝B，故三角形为等边三角形．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．化简sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)＝__________.
答案：0
解析：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－cos120°cosx－sin120°sinxwww.21-cn-jy.com
＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0.
8．函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为________．
答案：[－5,1]
解析：y＝2sin2x＋2cos2x－3＝4sin－3.又x∈，所以2x＋∈，sin∈，所以－2≤4sin≤4，所以－5≤4sin－3≤1.所以函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为[－5,1]．
9．已知tan2α＝，tan(β－α)＝，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为________．2·1·c·n·j·y
答案：－
解析：依题意，知tanα＝，tan(β－α)＝，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝－.21·cn·jy·com
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知tanα＝2，证明：sin2α＋sinαcosα＝－－.
解析：因为tanα＝2，
所以左边＝＝＝＝，
右边＝－－＝－－＝－－tan＝－－tan＝，
所以左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝sin－cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
解析：(1)∵f(x)＝sin－cos，x∈R，
∴f(x)＝2sin，x∈R. f＝2sin＝2sin＝.
(2)f＝2sinα＝，∴sinα＝，∵α∈，∴cosα＝.
f(3β＋2π)＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝，∵β∈，∴sinβ＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
12．已知sinαcosβ＝，求 sinβcosα的取值范围．
解析：sin(β＋α)＝sinβcosα＋cosβsinα＝sinβcosα＋，
sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝sinβcosα－.因为－1≤sin(β±α)≤1
所以所以－≤sinβcosα≤.
即当α＋β＝2kπ＋(k∈Z)时，cosα，sinβ同号，右边等号成立；当β－α＝2kπ－(k∈Z)时，cosα，sinβ异号，左边等号成立．21世纪教育网版权所有
26 二倍角的三角函数1
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝.
2．设sin＝，则sin2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案：A
解析：sin＝，∴sinθ＋cosθ＝，两边平方得1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－.21世纪教育网版权所有
3．当cos2α＝时，sin4α＋cos4α的值为( )
A. B.
C. D．1
答案：B
解析：由cos2α＝?(cos2α－sin2α)2＝?sin4α＋cos4α＝＋2sin2αcos2α＝＋sin22α21cnjy.com
＝＋＝.
4．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为( )
A．－3,1 B．－2,2
C．－3， D．－2，
答案：C
解析：f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，
∴sinx＝时，f(x)max＝，sinx＝－1时，f(x)min＝－3，故选C.
5．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于( )
A．30°或270° B．45°
C．60° D．30°
答案：D
解析：因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝，所以α＝30°.故选D.
6．锐角三角形的内角A、B满足tanA－＝tanB，则有( )
A．sin2A－cosB＝0
B．sin2A＋cosB＝0
C．sin2A－sinB＝0
D．sin2A＋sinB＝0
答案：A
解析：∵△ABC为锐角三角形，∴sin2A＋cosB＞0，sin2A＋sinB＞0，∴B、D都错．
又A＋B＞，A＞－B，∴cosA＜sinB.
∴2sinAcosA＜sinB，即sin2A＜sinB，∴C错，选A.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．sin22.5°cos202.5°＝________.
答案：－
解析：sin22.5°cos202.5°＝sin22.5°·(－cos22.5°)＝－sin45°＝－.
8．coscosπ的值是__________．
答案：
解析：原式＝·2sincoscos＝·2sincosπ＝sinπ＝.
9.的值是__________．
答案：
解析：原式＝＝＝＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值．
解析：(1)由sin－2cos＝0，?tan＝2，
∴tanx＝＝＝－.
(2)原式＝＝，由(1)知cosx－sinx≠0，
所以上式＝＝cotx＋1＝＋1＝.
11．设T＝.
(1)已知sin(π－θ)＝，θ为钝角，求T的值 ；
(2)已知cos(π－θ)＝m，且<θ≤，求T的值 .
解析：(1)由sin(π－θ)＝，得sinθ＝，∵θ为钝角，∴cosθ＝－，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－，T＝＝.21教育网
(2)由cos(π－θ)＝m得sinθ＝m，∵θ为钝角，∴cosθ＝－，T＝＝|sinθ＋cosθ|，21·cn·jy·com
∵<θ≤时，sinθ＋cosθ>0，
∴T＝sinθ＋cosθ＝m－.
12．若＜α＜2π(α∈)且cosα＝.求的值．
解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.
又∵cosα＝，∴cos＝－＝－，
∴ ＝
＝
＝－cos＝.
27 二倍角的三角函数2
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列各式中，值为的是( )
A．sin15°cos15° B．2cos2－1
C. D.
答案：D
解析：＝tan45°＝.
2．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为( )
A．1＋ B.－1
C. D．2
答案：A
解析：∵y＝2sin2x＋sin2x＝1－cos2x＋sin2x＝1＋sin，
∴ymax＝1＋.故选A.
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
A．－ B．－
C. D.
答案：B
解析：依题意：tanθ＝2，∴cosθ＝±，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－或cos2θ＝＝＝－，故选B.21·cn·jy·com
4．设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝，d＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为( )
A．a＞b＞d＞c B．b＞a＞d＞c
C．d＞a＞b＞c D．c＞a＞d＞b
答案：B
解析：∵a＝·sin(56°－45°)＝sin11°，
b＝－sin40°·sin38°＋cos40°·cos38°
＝cos78°＝sin12°，
c＝cos81°＝sin9°，
d＝(cos80°－cos100°)＝cos80°＝sin10°，故b＞a＞d＞c.
5．已知2π<θ<3π，cosθ＝m，则sin＝( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
解析：因为2π<θ<3π，所以π<<.又cosθ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.
6．已知函数f(x)＝，则( )
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
答案：D
解析：因为f(x)＝＝＝＝－tanx,0二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知sinx＝，且＜x＜π，则sin＝__________.
答案：
解析：∵＜x＜π，∴cosx＝－＝－，
∴sin＝ ＝ ＝ ＝ ＝.
8．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan2θ＝________.
答案：－
解析：由sin＝，得(sinθ－cosθ)＝?sinθ－cosθ＝.解方程组，得或.因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以不合题意，舍去，所以tanθ＝，所以tan2θ＝＝＝－.21cnjy.com
9．化简cos2A＋cos2＋cos2＝
__________.
答案：
解析：原式＝＋＋
＝＋＋
＝＋cos2A＋2coscos2A
＝＋＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知tanα＝，tanβ＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解析：tan2β＝＝，
tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tanα＝<1，tanβ＝<1，
所以α，β∈，所以α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
11．已知函数f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解析：(1)f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx
＝2cos2x＋2sinxcosx
＝cos2x＋1＋sin2x
＝2sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的值域为[0,3]．
12．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解析：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝2cos＝－2sinα＝，所以sinα＝－.
又α∈，故cosα＝＝＝，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，
cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos2αcos＋2sin2αsin＝2××＋2××＝.21世纪教育网版权所有
28 二倍角习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若π<α<2π，则化简的结果是( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
答案：C
解析：∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，原式＝＝＝－cos.故选C.
2．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－ B．－
C. D.
答案：C
解析：方法一：原式左边＝
＝
＝－2cos
＝－(sinα＋cosα)
＝－
∴sinα＋cosα＝，故选C.
方法二：原式＝
＝
＝－(sinα＋cosα)
＝－
∴cosα＋sinα＝，故选C.
3．若θ∈，sin2θ＝，则sin(5π－θ)＝( )
A. B.
C.或 D．－
答案：A
解析：解法一：因为θ∈，所以2θ∈.又sin2θ＝，所以cos2θ＝－＝－＝－，所以sin(5π－θ)＝sinθ＝＝＝.故选A.21世纪教育网版权所有
解法二：因为sin2θ＝，所以2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝，即sin4θ－sin2θ＋＝0，解得sin2θ＝或sin2θ＝.又θ∈，所以≤sinθ≤1，所以sinθ＝.所以sin(5π－θ)＝sinθ＝，故选A.21教育网
4．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )
A．－ B.
C．－a D．a
答案：C
解析：方法一：sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.
方法二：原式＝－(cos2α－cos2β)
＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－a.
5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
答案：B
解析：∵sinBsinC＝cos2，∴sinBsinC＝，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，21·cn·jy·com
即cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.
6．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是( )
A．[－1,1] B.
C. D.
答案：C
解析：cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，
∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ的值为________．
答案：－
解析：因为θ∈，所以2θ∈，cos2θ<0，所以cos2θ＝－＝－.又sinθ＝－＝－＝－.
8.－的值为__________．
答案：4
解析：原式＝－＝＝＝4.
9．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝__________.
答案：1
解析：tanβ＝＝＝tan，
∵－α，β∈且y＝tanx在上是单调增函数，
∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．证明：cos＋cos＋cos＝－2sincos.
解析：左边＝·
＝
＝
＝－，
右边＝－sin＝－，因为左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求f(β)．
解析：(1)f(x)＝sinxcos＋cosxsin＋cosxcos＋sinxsin＝sinx－cosx＝2sin，21cnjy.com
所以最小正周期T＝2π，f(x)min＝－2.
(2)cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝， ①
cos(β＋α)＝cosβcosα－sinβsinα＝－. ②
①＋②，得cosαcosβ＝0，
于是由0<α<β≤，得cosβ＝0，β＝.
故f(β)＝2sin＝.
12．已知向量a＝(1，－)，b＝(sinx,2cos2－1)，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解析：(1)∵a＝(1，－)，b＝，
∴f(x)＝a·b＝sinx－＝sinx－cosx.
∵f(θ)＝0，即sinθ－cosθ＝0，
∴tanθ＝，
∴＝＝＝＝－2＋.
(2)f(x)＝sinx－cosx＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
29 单元测试卷三
时间：90分钟 满分：150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2·1·c·n·j·y
1．sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于( )
A．0 B. C. D．1
答案：D
解析：原式＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.
2．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )
A. B. C．0 D．－1
答案：C
解析：因为a⊥b，所以1×(－1)＋cosθ×(2cosθ)＝0，得2cos2θ－1＝0，即cos2θ＝0.【出处：21教育名师】
3．已知ω>0，函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)在上单调递减，则实数ω的取值范围是( )21*cnjy*com
A. B.
C. D．(0,2]
答案：A
解析：因为f(x)＝(sinωx＋cosωx)，所以f(x)＝sin.
4．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝( )www-2-1-cnjy-com
A. B．－
C．－ D.
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－.又β是第三象限角，∴cosβ＝－，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2××＝－.【来源：21·世纪·教育·网】
5．函数f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是( )
A．[2,3] B.
C．[1,4] D．[2,4]
答案：A
解析：因为f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故选A.
6．在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，则此三角形必是( )
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案：A
解析：因为A＋B＋C＝π，所以C＝π－(A＋B)．
∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.
由条件知：sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又∵A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，故选A.
7．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，则cos2α等于( )
A. B．± C．－ D.
答案：A
解析：(cosα＋sinα)2＝，sinαcosα＝－，从而sinα＞0，cosα＜0，
cosα－sinα＝－＝－，
cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)
＝－× ＝.
8．若sinα＋cosα＝tanα，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：因为sinα＋cosα＝sin(α＋)∈(1，)，所以tanα∈(1，)，又因为0<α<，所以<α<，故选 C.www.21-cn-jy.com
9．已知f(x)＝sin2(x＋)，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg)，则( )
A．a＋b＝0 B．a－b＝0
C．a＋b＝1 D．a－b＝1
答案：C
解析：f(x)＝＝，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝1
又因为lg5＋lg＝0，∴a＋b＝1.
10．若偶函数f(x)在区间[－1,0]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是( )21·世纪*教育网
A．f(cosα)＞f(cosβ) B．f(sinα)＞f(cosβ)
C．f(sinα)＞f(sinβ) D．f(cosα)＞f(sinβ)
答案：D
解析：已知α，β是锐角三角形的两个内角，所以α＋β＞，即β＞－α且β，－α∈.因为y＝sinx在上为增函数，所以sinβ＞sin＝cosα，sinβ，cosα∈[0,1]，已知函数f(x)在[－1,0]上为增函数且为偶函数，则f(x)在[0,1]上为减函数，所以f(cosα)＞f(sinβ)．2-1-c-n-j-y
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．已知sin＝，则sin2x＝________.
答案：－
解析：∵sin＝，∴sinx＋cosx＝，两边平方，得1＋sin2x＝，∴sin2x＝－.21*cnjy*com
12．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且0＜α，β＜，则cosβ＝__________.
答案：
解析：因为0＜α，β＜，cosα＝，cos(α＋β)＝－，所以sinα＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.
13．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－2，则＝________.
答案：3＋2
解析：∵tan2θ＝＝－2，∴tanθ＝－或tanθ＝.∵＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴tanθ<0，∴tanθ＝－，＝＝＝＝＝3＋2.【版权所有：21教育】
14．已知函数f(x)＝cos2x－2acosx－2a的最小值为－，则实数a的值为________．
答案：－2＋
解析：f(x)＝cos2x－2acosx－2a＝2cos2x－2acosx－2a－1.令t＝cosx，则－1≤t≤1，函数f(x)可化为y＝2t2－2at－2a－1＝22－－2a－1(－1≤t≤1)．当>1，即a>2时，当t＝1时，ymin＝2－2a－2a－1＝－，解得a＝，不符合a>2，舍去；当<－1，即a<－2时，当t＝－1时，ymin＝2＋2a－2a－1＝1，不符合题意，舍去；当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当t＝时，ymin＝－－2a－1＝－，解得a＝－2±，由于－2≤a≤2，故a＝－2＋.
15．给出下列命题：
①存在x∈，使sinx＋cosx＝；
②存在区间(a，b)，使y＝cosx为减函数而sinx＜0；
③y＝cos2x＋sin既有最大值和最小值，又是偶函数；
④y＝sin的最小正周期为π.
其中错误的命题为__________．(把所有符合要求的命题序号都填上)
答案：①②④
解析：对于①，sinx＋cosx＝sin，因为x∈，所以x＋∈，sinx＋cosx＝sin∈[1，]，故①错误；对于②，函数y＝cosx的单调减区间为(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z，此时y＝sinx＞0，故②错误；③正确；对于④，函数y＝sin的最小正周期为，故错误．21·cn·jy·com
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
解析：(1)因为函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x，
所以f(x)＝1＋2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝sin＋2，
所以f＝sin＋2＝＋2＝＋＋2＝.
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
17．(12分)已知tanθ＝，求：
(1)的值；
(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ的值．
解析：(1)＝＝＝＝－3－2 .
(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ
＝ ＝ ＝ ＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x.
(1)若tanθ＝2，求f(θ)的值；
(2)若函数y＝g(x)的图像是由函数y＝f(x)的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的，且g(x)在区间(0，m)上是单调函数，求实数m的最大值．21教育网
解：解法一：(1)因为tanθ＝2，
所以f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ
＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)
＝sinθcosθ＋cos2θ－
＝－
＝－
＝.
(2)由已知，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin.
依题意，得g(x)＝sin，
即g(x)＝sin.
因为当x∈(0，m)时，2x－∈，
又g(x)在区间(0，m)上是单调函数，
所以2m－≤，即m≤，
故实数m的最大值为.
解法二：(1)f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ
＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)
＝sinθcosθ＋cos2θ－
＝－.
因为tanθ＝2，所以sinθ＝2cosθ，
所以f(θ)＝－＝.
(2)由已知，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin.
依题意，得g(x)＝sin，
即g(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数g(x)在上单调递增．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数g(x)在上单调递减．
因为函数g(x)在区间(0，m)上是单调函数，所以(0，m)?，
故实数m的最大值为.
19．(12分)已知函数f(x)＝1－cos2x＋2sinxcosx＋t(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈，是否存在实数t，使函数f(x)的值域恰为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．21世纪教育网版权所有
解：(1)∵f(x)＝1－cos2x＋sin2x＋t＝2sin＋t＋1，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)假设存在实数t符合题意，∵x∈，
∴－≤2x－≤，则sin∈，
∴f(x)＝2sin＋t＋1∈[t,3＋t]．
又f(x)∈，∴t＝，
∴存在实数t＝，使函数f(x)的值域恰为.
20．(13分)已知向量m＝(sinx,1－cosx)，n＝(1－sinx，cosx)，函数f(x)＝m·n＋.21cnjy.com
(1)求函数f(x)的零点；
(2)若f(α)＝，且α∈，求cosα的值．
解：(1)f(x)＝m·n＋＝sinx－sin2x＋cosx－cos2x＋＝sinx＋cosx＝2sin.【来源：21cnj*y.co*m】
由2sin＝0，得x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ－(k∈Z)，所以函数f(x)的零点为x＝kπ－(k∈Z)．21教育名师原创作品
(2)由(1)，知f(α)＝2sin＝，所以sin＝，
因为α∈，所以<α＋<，则cos＝－，所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
21．(14分)已知函数f(x)＝2sin2－cos2x，x∈.
(1)求f(x)的最大值和最小值；
(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝－cos2x
＝1＋sin2x－cos2x
＝1＋2sin.
又∵x∈，∴≤2x－≤，
∴2≤1＋2sin≤3，
∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.
(2)∵|f(x)－m|＜2?f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈，
∴m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．
2 弧度制
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1.化为角度是( )
A．110° B．160°
C．108° D．218°
答案：C
解析：＝×180°＝108°.
2．若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：S扇形＝lR＝(αR)·R＝αR2，由题中条件可知S扇形＝，R＝1，从而α＝＝＝，故选B.21cnjy.com
3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π
C.π D．－π
答案：B
解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
4．终边在第一、四象限的角的集合可表示为( )
A．(－，)
B．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
C．(0，)∪(，2π)
D．(2kπ－，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)
答案：D
解析：将象限角用弧度制来表示．另外，要特别注意，终边在坐标轴上的角不在任何象限上．
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B为( )
A．?
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π}
答案：D
解析：求出集合A在[－4,4]附近区域内的x的数值，k＝0时，0≤x≤π；k＝1时，x≥2π≥4；在k＝－1时，－2π＜x＜－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A∩B.
6．圆弧长度等于其内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A. B.π
C. D．2
答案：C
解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，∴θ＝＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．把－1125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是________．
答案：－8π＋
8．若角α的终边在如图所示的阴影部分，则角α的取值范围是________．
答案：{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z}
解析：该阴影部分在(0,2π)内对应的取值范围为[π，π]，所以该阴影部分的取值范围是{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋，k∈Z}．21世纪教育网版权所有
9．半径为4 cm的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的长，则这个扇形的面积是______cm2.
答案：8π－16
解析：设扇形的圆心角的弧度数为α.
∵R＝4，扇形周长等于弧所在的半圆周的长．
∴2×4＋4α＝4π，∴α＝π－2.
∴S扇形＝|α|R2＝(π－2)×42＝8π－16(cm2)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知角α＝2010°.
(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2010°＝2010×＝＝5×2π＋.
又π<<，角α与角的终边相同，故α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写为r＝＋2kπ(k∈Z)．
又－5π≤r<0，
∴k＝－3，－2，－1.
当k＝－3时，r＝－；
当k＝－2时，r＝－；
当k＝－1时，r＝－.
11．已知扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求该扇形的圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长度．
解：(1)设该扇形AOB的半径为r，圆心角为θ，面积为S，弧长为l.
由题意，得，解得或.
∴圆心角θ＝＝＝6或θ＝＝，
∴该扇形的圆心角的大小为 rad或6 rad.
(2)θ＝，
∴S＝·r2·＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，
∴当r＝2，即θ＝＝2时，Smax＝4 cm2.
此时弦长AB＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．
∴扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad，弦AB的长度为4sin 1 cm.
12．单位圆上两个动点M，N同时从点P(1,0)出发，沿圆周运动，点M按 rad/s的速度逆时针方向旋转，点N按 rad/s的速度顺时针方向旋转，试求它们出发后第一次相遇时各自转过的弧度．21教育网
解：设从点P出发后，t s时M，N第一次相遇，
则有t＋t＝2π，解得t＝4，
故点M转过的弧度为×4＝π，
点N转过的弧度为－＝－π.
3 正余弦函数的定义与单位圆
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若sinα<0，cosα>0，则角α的终边位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
解析：因为sinα<0，cosα>0，所以角α的终边位于第四象限．
2．已知点P(－，y)为角β终边上一点，且sinβ＝，则y的值为( )
A．± B.
C．－ D．±2
答案：B
解析：∵|OP|＝，sinβ＝＝，∴y＝±，∵sinβ＞0，∴y＞0，故y＝.
3．角α为第二象限角，且＝－cos，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
4．y＝＋的值域为( )
A．{2,0} B．{－2,0}
C．{2，－2} D．{2，－2,0}
答案：D
5．若角α是第一象限角，且sinα＝，则α＝( )
A. B.
C．2kπ＋(k∈Z) D．2kπ＋(k∈Z)
答案：C
解析：当0<α<且sinα＝时，α＝，所以当角α是第一象限角时，此角终边与角的终边相同，故α＝＋2kπ，k∈Z .21教育网
6．若角α的终边在直线y＝3x上，sinα<0，且P(m，n)是角α终边上一点，|OP|＝(O为坐标原点)，则m－n＝( )21·cn·jy·com
A．2 B．－2
C．4 D．－4
答案：A
解析：因为点P在直线y＝3x上，所以n＝3m<0.又|OP|2＝m2＋n2＝10，所以m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2.www.21-cn-jy.com
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知角α终边上一点P(6，－8)，则sinα＝__________.cosα＝__________.
答案：－
8．点(sin5，cos5)所在的象限为第__________象限．
答案：二
解析：因为<5<2π，∴sin5<0，cos5>0，∴(sin5，cos5)在第二象限．
9．已知△ABC中，|cosA|＝－cosA，则角A的取值范围是________．
答案：
解析：由题意，知cosA≤0，又角A为△ABC的内角，所以≤A<π.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．判断下列各式的符号．
(1)cos(－345°)；
(2)sin175°cos248°.
解析：(1)∵－345°＝－360°＋15°是第一象限角，∴cos(－345°)>0.
(2)∵175°是第二象限角，248°是第三象限角，
∴sin175°>0，cos248°<0，
∴sin175°cos248°<0.
11．已知角α的终边在直线y＝－x上，求cosα－的值．
解析：设O为坐标原点．
①若角α为第四象限角，在角α的终边上取一点P1(4，－3)，
则r1＝|OP1|＝＝＝5，
∴sinα＝＝－，cosα＝＝，
∴cosα－＝.
②若角α为第二象限角，在角α的终边上取一点P2(－4,3)，
则r2＝|OP2|＝＝＝5，
∴sinα＝＝，cosα＝＝－，
∴cosα－＝－.
综上，cosα－的值为或－.
12．利用单位圆，求适合下列条件的0到2π的角的集合．
(1)sinα≥；
(2)cosα＜.
解析：
(1)作直线y＝交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，则OP1与OP2围成的区域(如图所示阴影部分)即为角α终边的范围．由sin＝sinπ＝知，适合条件的角α的集合为{α|≤α≤}．21世纪教育网版权所有
(2)作直线x＝交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，则OP1与OP2围成的区域(如图阴影部分，不含边界)即为角α终边的范围．由cos＝cos＝知，适合条件的角α的集合为{α|＜α＜}．21cnjy.com
4 单位圆与诱导公式
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．sin585°的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
2．如果△ABC的三角内角为A、B、C，则sin＝( )
A．－cos B．sin
C．－sin D．cos
答案：D
3．sin(π－2)－cos化简的结果为( )
A．0 B．－1
C．2sin2 D．－2sin2
答案：A
解析：原式＝sin2－sin2＝0，所以选A.
4．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
5．已知f(sinx)＝cos3x，则f(cos10°)的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
答案：A
解析：f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－.
6．若sin(π＋α)＋cos(＋α)＝－m，则cos(－α)＋2sin(2π－α)＝( )
A．－m B.m
C．－m D.m
答案：C
解析：因为sin(π＋α)＋cos(＋α)＝－sinα－sinα＝－m，所以sinα＝，所以cos(－α)＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若sin＝，则sin＝________.
答案：－
8.的值是________．
答案：
9．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a，b，α，β为非零常数．若f(2014)＝1，则f(2015)＝________.21世纪教育网版权所有
答案：3
解析：f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)＋2＝asinα＋bcosβ＋2＝1，∴asinα＋bcosβ＝－1.∴f(2015)＝asin(2015π＋α)＋bcos(2015π＋β)＋2＝－asinα－bcosβ＋2＝3.21教育网
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列三角函数值．
(1)cos945°；
(2)sinπ；
(3)cos；
(4)sin.
解析：(1)cos945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－.21cnjy.com
(2)sinπ＝sin＝－sin＝－.
(3)cos＝cos＝－cos＝－＝.
(4)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝.
11．已知α是第四象限角，且f(α)＝.
(1)若cos(α－)＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
解析：f(α)＝
＝＝.
(1)因为cos(α－)＝，所以cos(α－＋2π)＝，所以cos(＋α)＝，所以sinα＝－21·cn·jy·com
所以f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1 860°时， f(α)＝＝＝ ＝＝＝－.
12．设f(n)＝cos(n∈N*)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)的值．
解：∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝cos＋cos＋cos＋cos
＝－sin－cos＋sin＋cos
＝0.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)
＝503[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]
＝0.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)
＝f(2013)＋f(2014)＋f(2015)
＝cos＋cos＋cos
＝cos＋cos＋cos
＝－sin－cos－cosπ
＝－－＋＝－.
5 正弦函数的图像与性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝sinx的值域是( )
A．[－1,1] B.
C. D.
答案：B
解析：画出y＝sinx的图像，知其值域为.
2．函数y＝2＋sinx，当x∈[－π，π]时( )
A．在[－π，0]上是递增的，在[0，π]上是递减的
B．在[－，]上是递增的，在[－π，－]和[，π]上是递减的
C．在[0，π]上是递增的，在[－π，0]上是递减的
D．在[，π]和[－π，]上是递增的，在[－，]上是递减的
答案：B
3．若函数y＝sin(x＋φ)的图像过点，则φ的值可以为( )
A. B.
C．－ D．－
答案：C
解析：将点代入y＝sin(x＋φ)，可得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，只有选项C满足．21教育网
4．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2的交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
解析：由y＝1＋sinx在[0,2π]上的图像，可知只有1个交点．
5．使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ的值可以是( )
A. B.
C．π D.
答案：C
解析：由函数f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)，故选C.21世纪教育网版权所有
6．在[0,2π)内，方程|sinx|＝根的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
解析：y＝|sinx|＝(k∈Z)．其图像如图所示：
由图，在[0,2π)内y＝这条直线与它有4个交点．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数y＝的定义域是________．
答案：{x|2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z}
解析：∵－2sinx≥0，∴sinx≤0，∴2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z.
8．sin(－)________sin(－)(选项“>”“<”或“＝”)．
答案：>
解析：因为－>－，且y＝sinx在(－，)内为增函数，所以sin(－)>sin(－)．
9．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
答案：2
解析：f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)．又g(x)的定义域为R，
∴g(x)是奇函数，由奇函数图像的对称性，知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.21cnjy.com
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列函数的值域：
(1)y＝3－2sinx；
(2)y＝sin2x－sinx＋1，x∈.
解：(1)∵－1≤sinx≤1，∴－2≤－2sinx≤2，
∴1≤3－2sinx≤5.
∴函数的值域为[1,5]．
(2)y＝sin2x－sinx＋1＝2＋.
设t＝sinx，∵x∈，
∴由正弦函数的图像知≤t≤1.
而函数y＝2＋在上单调递增，
∴当t＝，即x＝时，ymin＝，
当t＝1，即x＝时，ymax＝1.
∴函数的值域是.
11．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解：∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5，
由，解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5，
由，解得.
12．已知f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤对任意的实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围．21·cn·jy·com
解：令t＝sinx，t∈[－1,1]，则y＝－sin2x＋sinx＋a＝－t2＋t＋a＝－(t－)2＋a＋.www.21-cn-jy.com
当t＝时，f(x)有最大值a＋，当t＝－1时，f(x)有最小值a－2.
故对于一切x∈R，函数f(x)的值域为[a－2，a＋]，从而?3≤a≤4.
6 余弦函数的图像与性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝1＋cosx的图像( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线x＝对称
答案：B
解析：y＝1＋cosx是偶函数，其图像关于y轴对称．
2．若函数f(x)＝2cosx，x∈[0，]，则函数f(x)的最小值是( )
A．－ B．－1
C．－2 D．－
答案：C
解析：函数f(x)＝2cosx，∵x∈[0，]，∴cosx∈[－1,1]，∴2cosx∈[－2,2]，∴函数f(x)的最小值为－2.21教育网
3．使cosx＝1－m有意义的m的值为( )
A．m≥0 B．m≤0
C．0≤m≤2 D．－2≤m≤0
答案：C
解析：由于－1≤cosx≤1，即－1≤1－m≤1，即0≤m≤2.
4．函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成的封闭图形的面积是( )
A．4 B．8
C．2π D．4π
答案：D
解析：函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像与直线y＝2围成的封闭图形如右图中阴影部分所示．
利用图像的对称性可知该封闭图形的面积等于矩形OABC的面积．
又OA＝2，OC＝2π，∴S封闭图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
5．函数y＝1＋cosx(x∈[0,2π])的图像与直线y＝的交点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
解析：由函数y＝1＋cosx(x∈[0,2π])的图像，可知直线y＝与函数y＝1＋cosx的图像有2个交点，故选C.21cnjy.com
6．函数y＝－xcosx的图像大致是图中的( )
答案：D
解析：令f(x)＝－xcosx，则f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以A、C排除，又当x∈时，f(x)＜0，故选D.www.21-cn-jy.com
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．三个数cos110°，cos80°，－cos50°的大小关系为__________．
答案：cos80°＞cos110°＞－cos50°
解析：－cos50°＝cos(180°－50°)＝cos130°，
∵函数y＝cosx在[0，π]上为减函数，∴cos80°＞cos110°＞cos130°，即cos80°＞cos110°＞－cos50°.21·cn·jy·com
8．设0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围为________．
答案：
解析：由题意，知sinx－cosx≥0，即cosx≤sinx，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，如图所示：21·世纪*教育网
观察图像，可知x∈.
9．函数y＝log(1＋λcosx)的最小值是－2，则λ的值是________．
答案：±3
解析：由题意，知1＋λcosx的最大值为4，当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3；当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3.∴λ＝±3.【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．画出函数y＝cosx＋|cosx|的图像，并根据图像讨论其性质 .
解：y＝cosx＋|cosx|＝，利用五点法画出其图像，如图：
由图像可知函数具有以下性质：定义域：R；值域：[0,1]; 奇偶性：偶函数；周期性：最小正周期为2π的周期函数；单调性：在区间[2kπ，2kπ＋](k∈Z)上是递减的；在区间[2kπ－，2kπ](k∈Z)上是递增的．21世纪教育网版权所有
11．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－.
(2)∵f＝2cos＝－2sinα＝，
∴sinα＝－
∵α∈＝，
∴cosα＝＝
∴f(2α)＝2cos＝cos2α＋sin2α＝(2cos2α－1)＋2sinαcosα＝(2×－1)＋2××＝.2·1·c·n·j·y
12．(1)求函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈的值域；
(2)已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
解：(1)y＝3cos2x－4cosx＋1＝32－.
∵x∈，∴cosx∈.
从而当cosx＝－，即x＝时，ymax＝；
当cosx＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈的值域为.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤cos≤.
若a>0，则当cos＝时，y取得最大值a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2.
若a<0，则当cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1.
综上，实数a的值为2或－1.
7 正切函数
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知P(x,3)是角θ终边上一点，且tanθ＝－，则x的值为( )
A. B．5
C．－ D．－5
答案：D
解析：本题考查正切函数的定义：tanθ＝，(x，y)为角θ终边上异于坐标原点的任一点．由＝－?x＝－5，故选D.21教育网
2．tan(－)的值为( )
A．1 B．－1
C. D．－
答案：B
解析：练习公式tan(－α)＝－tanα，tan(－)＝－tan()＝－tan(3π＋)＝－tan＝－1.故选B.21·cn·jy·com
3．直线y＝a与y＝tanx的图像的相邻两个交点的距离是( )
A.
B．π
C．2π
D．与a的值的大小有关
答案：B
解析：所求距离即y＝tanx的周期．
4．函数y＝tan在一个周期内的图像是( )
答案：A
解析：令x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z，故可排除选项B，C，D.
5．下列不等式中，正确的是( )
A．tan>tan
B．tanC．tanD．tan>tan
答案：D
解析：tan＝tan，∴tan>tan，∴tan>tan，故C不正确；tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝tan＝－tan.又tan>tan，∴tan6．下列函数中，同时满足①在(0，)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是( )
A．y＝tanx B．y＝－cosx
C．y＝tan|x| D．y＝sin|x|
答案：A
解析：分别作出各函数的图像，观察图像易知，只有函数y＝tanx符合条件．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知f(x)＝asinx＋btanx＋1.满足f(5)＝7，则f(－5)＝__________.
答案：－5
8．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
答案：二
解析：∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0，α在第二、四象限①，∵cosα＜0，∴α在第二、三象限②，2·1·c·n·j·y
由于①与②同时成立，∴α为第二象限．
9．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω>0)相交，则两相邻交点间的距离为________．21世纪教育网版权所有
答案：
解析：∵ω>0，∴函数y＝tanωx的最小正周期为，且在每一个开区间(k∈Z)上都是单调递增的，∴两相邻交点间的距离为.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在直线y＝－2x上，x≥0，求tanα－sinα的值．【来源：21·世纪·教育·网】
解：取射线y＝－2x(x≥0)上一点(x，－2x)(x≥0)，可得|x|＝x所以tanα＝＝＝－2，sinα＝＝＝－.故tanα－sinα＝－2＋2＝0.
11．设tan＝a，求证：
＝.
解：左边＝
＝
＝
＝
＝右边．
所以原式得证．
12．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围．
解：(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－.
∵x∈[－1，]，
∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值，为.
(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图像的对称轴为直线x＝－tanθ.21cnjy.com
∵函数f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤－.
∵θ∈，
∴θ的取值范围是∪.
8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝3sin(x－)的振幅、周期、初相分别为( )
A．－3,4π， B．3,4π，－
C．3，π，－ D．－3，π，
答案：B
解析：振幅为3，周期为＝4π，初相为－.
2．把函数y＝sinx的图像上所有点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所对应的函数是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案：C
解析：把函数y＝sinx的图像上所有点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝sin的图像，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝sin的图像．21cnjy.com
3．函数y＝2sin(x＋)的一条对称轴为( )
A．x＝－ B．x＝0
C. D．－
答案：C
解析：因为y＝2sin(x＋)，其对称轴可由x＋＝kπ＋，(k∈Z)求得，解得x＝kπ＋，k∈Z，选项中只有C符合．www.21-cn-jy.com
4．函数y＝1－2cosx(x∈[0，])的最小值、最大值分别是( )
A．－1,3 B．－1,2
C．0,3 D．0,2
答案：B
解析：因为0≤x≤，所以－≤cosx≤1，所以得函数y＝1－2cosx的最小值、最大值分别是－1,2.21·cn·jy·com
5．函数y＝sin(2x＋)的一个增区间是( )
A．(－，) B．(－，)
C．[－，0) D．(－，)
答案：B
解析：由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，选项中只有B符合．2·1·c·n·j·y
6．如果函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于点(，0)中心对称，那么φ的值可以是( )
A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：由题意得sin(2×＋φ)＝0，φ的值可以是.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．用五点法画函数y＝2sin(3x－)的图像，这五个点可以分别是(，0)(，2)，(，0)，__________，(，0)．21教育网
答案：(，－2)
解析：由3x－＝，x＝知，应填(，－2)．
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图像如下，此函数的解析式为__________________________．21世纪教育网版权所有
答案：y＝2sin(2x＋)
解析：A＝2，T＝2(－(－))＝π，∴ω＝2.由最高点的坐标可知，2×(－)＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sin(2x＋π)．【来源：21·世纪·教育·网】
9．将函数y＝2sinx的图像向左平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)的图像，若x∈[0，]，则函数y＝f(x)的值域为________．21·世纪*教育网
答案：[－1,2]
解析：由y＝sinx→y＝2sin(x－)→y＝2sin(2x－)知，f(x)＝2sin(2x－)．由x∈[0，]得2x－∈[－，]，所以函数y＝f(x)的值域为[－1,2]．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．把函数y＝f(x)的图像上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得到图像的解析式是y＝2sin(x＋)，求f(x)的解析式．
解：y＝2sin(x＋)的图像纵坐标伸长到原来的倍，得y＝3sin(x＋)的图像，横坐标缩短到原来的倍得到y＝3sin(x＋)的图像，再向左平移个单位得到y＝3sin[(x＋)＋]＝3cosx的图像．故f(x)＝3cosx.www-2-1-cnjy-com
11．已知函数y＝sin(2x＋)，借助“五点作图法”画出函数f(x)在[0，]上的简图，并且依图写出函数f(x)在[0，]上的递增区间．2-1-c-n-j-y
解：可先画出区间[－，]的图像，再截取所需．
列表
μ＝2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0
－
0
图像略，注意f(0)＝1，由图像可知函数在区间[0，]上的单调递增区间是[0，]，[，]．
12．已知函数f(x)＝sin(2x－)－1.
(1)写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)若不等式－1解：(1)因为f(x)＝sin(2x－)－1
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得：－＋kπ ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)由－1即－1当x∈[，]时，≤2x－≤.
故当2x－＝时，即x＝时，f(x)取得最大值0；
当2x－＝时，即x＝时，f(x)取得最小值－.
故m的取值范围为(－1，)．
9 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知函数f(x)＝sinπx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的函数解析式可以为( )21·cn·jy·com
(1) (2)
A．y＝f(2x－) B．y＝f(2x－1)
C．y＝f(－1) D．y＝f(－)
答案：B
解析：因为图(2)中的图像可以看作是图(1)中的图像先向右平移一个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的二分之一倍而得到，所以图(2)所对应的函数解析式应是y＝f(2x－1)．故选B.www.21-cn-jy.com
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取得最大值，则( )
A．函数f(x－1)一定是奇函数
B．函数f(x－1)一定是偶函数
C．函数f(x＋1)一定是奇函数
D．函数f(x＋1)一定是偶函数
答案：D
解析：因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝1处取得最大值，则说明sin(ω＋φ)＝±1，解得ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，因此函数利用诱导公式，f(x＋1)必然是偶函数，选D.21·世纪*教育网
3．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )21*cnjy*com
A. B.
C. D．3
答案：C
解析：因为ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图像向右平移个单位后与原图像重合，说明至少平移一个周期，或者是周期的整倍数，因此＝nT＝n· ∴当n＝1，ω＝.
4．函数f(x)＝3sin(3x＋φ)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－2, f(b)＝2，则g(x)＝2cos(2x＋φ)在[a，b]上( )【出处：21教育名师】
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值
D．可以取得最小值
答案：C
解析：由f(x)在[a，b]上为增函数及f(a)＝－2, f(b)＝2知，g(x)在[a，b]上先增后减，可以取到最大值．【来源：21·世纪·教育·网】
5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图像不可能是( )
答案：D
解析：当a＝0时，f(x)＝1，选项C符合；当0<|a|<1时，T>2π，且f(x)的最小值为正数，选项A符合；当|a|>1时，T<2π，且f(x)的最小值为负数，选项B符合；在选项D中，由振幅得|a|>1，则T<2π，而由图像知T>2π矛盾，故选D.【版权所有：21教育】
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
答案：A
解析：由T＝6π，得ω＝＝.当x＝时，sin＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z.而－π<φ≤π，可得φ＝.故f(x)＝2sin，结合其图像可知选A.2·1·c·n·j·y
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω＝________.
答案：
解析：由图，知＝－＝，∴T＝.又T＝＝，∴ω＝.
8．已知函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位长度后与函数g(x)＝sin的图像重合，则正数ω的最小值为________．21教育名师原创作品
答案：
解析：函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位长度后，得到的图像所对应的函数是y＝sin，其图像与函数g(x)＝sin的图像重合，∴ω＋＝＋2kπ，k∈Z.又ω>0，∴当k＝1时，ω取得最小值为.21*cnjy*com
9．关于f(x)＝3sin(2x＋)有以下命题：
①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z); ②f(x)图像与g(x)＝3cos(2x－)图像相同；③f(x)在区间[－，－]上是减函数；④f(x)图像关于点(－，0)对称．
其中正确的命题是________．
答案：①②
解析：f＝3sin＝3sin＝－3，∴①正确；由－三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知函数f(x)＝2sin＋1(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调递减区间．
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0<φ<π，
∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cosωx＋1.
又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为，
∴T＝＝2×，
∴ω＝2，
∴f(x)＝2cos2x＋1，
∴f＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到函数f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图像，
所以g(x)＝f＝2cos2＋1＝2cos＋1.
而2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．∴函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设0解：(1)观察图像，得A＝2，T＝÷＝π.
∴ω＝＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
∵函数f(x)的图像经过点，
∴2sin＝2，
即sin＝1.
又|φ|<，∴φ＝，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)∵0又0由图，可知当－2∴m的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．
当－2当112．已知f(x)＝sin2(2x－)－2t·sin(2x－)＋t2－6t＋1(x∈ [，])，其最小值为g(t)．2-1-c-n-j-y
(1)求g(t)的表达式．
(2)当－≤t≤1时，要使关于t的方程g(t)＝kt 有一个实根，求实数k的取值范围．
解：(1)因为x∈[，]，可得sin(2x－)∈[－，1]．
f(x)＝[sin(2x－)－t]2－6t＋1(x∈ [，])．
当t<－时，则当sinx＝－时， f(x)min＝t2－5t＋；
当－≤t≤1时，则当sinx＝t时，f(x)min＝－6t＋1；当t＞1时，则当sinx＝1时， f(x)min＝t2－8t＋2；21cnjy.com
故g(t)＝
(2)当－≤t≤1时，g(t)＝－6t＋1，令h(t)＝g(t)－kt.
欲使g(t)＝kt有一个实根，则只需使或即可．
解得k≤－8或k≥－5.
