2017-2018学年八年级数学下册第18章平行四边形18.2.1矩形（第2课时）课时提升作业（含解析）（新版）新人教版

矩形
(第2课时)
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2017·矿区期中)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,可添加的条件是　
(　　)
A.OA=OC,OB=OD
B.AC=BD
C.AB=BC
D.AC⊥BD
【解析】选B.A.对角线互相平分的四边形是平行四边形但不一定是矩形知本选项错误;
B.根据对角线相等的平行四边形是矩形知本选项正确;
C.邻边相等的平行四边形不一定是矩形,故本选项错误;
D.对角线互相垂直的平行四边形不一定是矩形,故本选项错误.
2.在?ABCD中,AB=3,BC=4,当?ABCD的面积最大时,下列结论正确的有　(　　)
①AC=5; ②∠A+∠C=180°; ③AC⊥BD;
④AC=BD.
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
【解析】选B.根据题意得:当?ABCD的面积最大时,四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AC=BD,
∴AC==5,
①正确,②正确,④正确;③不正确.
3.在四边形ABCD中,∠A=60°,∠ABC=∠ADC=90°,BC=2,CD=11,过D作DH⊥AB于H,则DH的长是　(　　)
A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5
【解析】选A.过C作DH的垂线CE交DH于E,
∵DH⊥AB,CB⊥AB,∴CB∥DH,又CE⊥DH,
∴四边形BCEH是矩形.
∴HE=BC=2,在Rt△AHD中,∠A=60°,
∴∠ADH=30°,又∵∠ADC=90°,
∴∠CDE=60°,∴∠DCE=30°,
∴在Rt△CED中,DE=CD=5.5,
∴DH=2+5.5=7.5.
【变式训练】如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AB∥DC,AB,BC,CD分别为2,2,2+2,则∠BAD的度数等于　(　　)
A.120° B.135°
C.150° D.以上都不对
【解析】选C.过A作AE⊥CD于E,
∵AB⊥BC,AB∥DC,
∴∠B=∠C=∠AED=∠AEC=90°,
∴四边形ABCE是矩形,
∴AB=CE=2,AE=BC=2,
∠BAE=90°,
∵CD=2+2,∴DE=2,
由勾股定理得:AD=4=2AE,∴∠DAE=60°,
∵∠BAE=90°,∴∠BAD=90°+60°=150°.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2017·广州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC的中点,AE是∠BAC外角的平分线,DE∥AB,交AE于E,则四边形ADCE的形状是________.
【解析】∵AB=AC,点D为BC中点,
∴∠B=∠ACB,AD⊥BC,
∵AE是∠BAC的外角平分线,∴∠FAE=∠EAC,
∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC,
∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC,∴AE∥CD,
又∵DE∥AB,∴四边形AEDB是平行四边形,
∴AE平行且等于BD,
又∵BD=DC,∴AE平行且等于DC,
故四边形ADCE是平行四边形,
又∵∠ADC=90°,∴平行四边形ADCE是矩形.
即四边形ADCE是矩形.
答案:矩形
5.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC >AB,点D在BC上,以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的最小值是________.
【解析】∵四边形ADCE是平行四边形,∴BC∥AE,
∴当DE⊥BC时,DE最短,∵∠B=90°,
∴AB⊥BC,DE∥AB,
∴四边形ABDE是平行四边形,∵∠B=90°,
∴四边形ABDE是矩形,∴DE=AB=4,
∴DE的最小值为4.
答案:4
6.如图,四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F,G,H分别是各边的中点,若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积是__________.
【解析】∵E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,
∴EH∥BD且EH=BD,FG∥BD且FG=BD,
∴EH∥FG,EH=FG,
同理EF∥HG,EF=HG,
又∵AC⊥BD,∴四边形EFGH是矩形,
∴四边形EFGH的面积=EF×EH=AC×BD=×8××6=12.
答案:12
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:D是BC的中点.
(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
【解析】(1)∵点E是AD的中点,∴AE=DE.
∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.
∴△EAF≌△EDC.∴AF=DC.
∵AF=BD,∴BD=DC,即D是BC的中点.
(2)四边形AFBD是矩形.证明如下:
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵AB=AC,又由(1)可知D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∴四边形AFBD是矩形.
【变式训练】已知在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,四边形ADBE是平行四边形.
(1)求证:四边形ADBE是矩形.
(2)求矩形ADBE的面积.
【解析】(1)∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
∵四边形ADBE是平行四边形,
∴平行四边形ADBE是矩形.
(2)∵AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线,
∴BD=DC=6×=3,
在Rt△ACD中,∵AC=5,DC=3,
∴AD===4,
∴S矩形ADBE=BD·AD=3×4=12.
8.(8分)(2017·永城期中)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,AC=BC=4,点P是AB上的一个动点(点P与点A,B不重合),过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,连接EF.
(1)求证:四边形PECF是矩形.
(2)根据矩形的性质,直接写出线段EF的最小值:________.
【解析】(1)如图,连接CP.
∵∠ACB=90°,AC=BC=4,
∴AB=4,
∵PE⊥BC,PF⊥AC,∠ACB=90°,
∴四边形PECF是矩形.
(2)∵四边形PECF是矩形,
∴EF=CP,
由垂线段最短可得CP⊥AB时,线段EF的值最小,
此时,S△ABC=BC·AC=AB·CP,
即×4×4=×4·CP,
解得CP=2.
答案:2
【培优训练】9.(10分)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的邻补角的平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
【解题指南】解答本题的两个关键:
1.证OA=OC,OE=OF,得四边形AECF是平行四边形.
2.证∠ECF是直角或AC=EF.
【解析】当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
证明:∵CE平分∠BCA,
∴∠1=∠2.
又∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2,
∴EO=CO.
同理,FO=CO.∴EO=FO.
又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
方法一:又∵∠1=∠2,∠4=∠5,
∴∠1+∠5=∠2+∠4.
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°.
∴平行四边形AECF是矩形.
方法二:∵EO=CO,FO=CO,OA=CO,
∴EO=CO=FO=OA,
即AC=EF.∴平行四边形AECF是矩形.