2017-2018学年八年级数学下册第18章平行四边形18.2.1矩形（第2课时）一课一练基础闯关（含解析）（新版）新人教版

矩形
一课一练·基础闯关
题组矩形的判定
1.如图,四边形ABCD的对角线为AC,BD,且AC=BD,则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是　(　　)
A.BA=BC B.AC,BD互相平分
C.AC⊥BD D.AB∥CD
【解析】选B.若AC,BD互相平分,则四边形ABCD是平行四边形,又AC=BD,故是矩形.
2.(2017·上海中考)已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判断这个平行四边形为矩形的是　(　　)
A.∠BAC=∠DCA B.∠BAC=∠DAC
C.∠BAC=∠ABD D.∠BAC=∠ADB
【解析】选C.A.∠BAC=∠DCA,不能判断四边形ABCD是矩形;B.∠BAC=∠DAC,能判定四边形ABCD是菱形;不能判断四边形ABCD是矩形;C.∠BAC=∠ABD,能得出对角线相等,能判断四边形ABCD是矩形;D.∠BAC=∠ADB,不能判断四边形ABCD是矩形.
3.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你添加一个条件____________,使四边形DBCE是矩形.
【解题指南】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形,结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可.
【解析】添加EB=DC.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴DE∥BC,
又∵DE=AD,∴DE=BC,
∴四边形DBCE为平行四边形.
又∵EB=DC,∴四边形DBCE是矩形.
答案:EB=DC(答案不唯一)
【变式训练】如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC.在不添加任何辅助线的前提下,要使该四边形成为矩形,只需再加上的一个条件是__________.(填上你认为正确的一个答案即可)
【解析】添加的条件是∠A=90°,
理由是:∵AB∥DC,AB=DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.
答案:∠A=90°(答案不唯一)
4.(教材变形题·P60习题18.2T1)如图,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD交于点O,∠1=∠2.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若∠BOC=120°,AB=4cm,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,AC,BD交于点O,∴OA=OC,OB=OD.
又∵∠1=∠2,∴OB=OC,
∴OA=OB=OC=OD,∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,∠BOC=120°,AB=4,
∴∠1=∠2=30°,BC=4,
∴S四边形ABCD=AB·BC=16(cm2).
5.(2017·安顺中考)如图,DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点.
(1)求证:BC=DE.
(2)连接AD,BE,若要使四边形DBEA是矩形,则给△ABC添加什么条件,为什么?
【解题指南】(1)先根据中点→DB=EC→利用“一组对边平行且相等”判定四边形DBCE是平行四边形,得BC=DE.
(2)先假设四边形DBEA是矩形→
→AB=BC.然后利用倒推法加以推理证明.
【解析】(1)∵E是AC的中点,
∴EC=AC.
∵DB=AC,
∴DB=EC.
又∵DB∥EC,
∴四边形DBCE是平行四边形.
∴BC=DE.
(2)添加AB=BC.
理由:∵DBAE,
∴四边形DBEA是平行四边形.
∵BC=DE,AB=BC,
∴AB=DE.
∴四边形ADBE是矩形.
6.(2017·呼和浩特一模)如图,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,连接CD,AF.
若AC=BC,判断四边形ADCF的形状.
【解析】四边形ADCF是矩形.∵DE是△ABC的中位线,
∴E为AC中点,∴AE=EC,
∵CF∥BD,∴∠ADE=∠CFE,
在△ADE和△CFE中,∵
∴△ADE≌△CFE(AAS),∴DE=FE.
∵AE=EC,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵AD=BD,∴BD=CF,
∴四边形DBCF为平行四边形,∴BC=DF,
∵AC=BC,∴AC=DF,∴四边形ADCF是矩形.
题组矩形的性质与判定的综合应用
1.下列关于矩形的说法,正确的是　(　　)
A.对角线相等的四边形是矩形
B.矩形的对角线相等且互相平分
C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.矩形的对角线互相垂直且平分
【解析】选B.A.因为对角线相等的平行四边形是矩形,所以本选项错误;B.因为矩形的对角线相等且互相平分,所以本选项正确;C.因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形,所以本选项错误;D.因为矩形的对角线相等且互相平分,所以本选项错误.
2.(2017·宜兴市月考)如图,已知在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,连接AC,BD,AC与BD交于点O,若AO=BO,AD=3,AB=2,则四边形ABCD的面积为　(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选C.∵AB=DC,AD=BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=OC,BO=DO,
∵AO=BO,∴AC=BD,
∴四边形ABCD为矩形,
∵AD=3,AB=2,
∴四边形ABCD的面积为AD·AB=3×2=6.
3.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快__________s后,四边形ABPQ成为矩形.
【解析】设最快xs,四边形ABPQ成为矩形,由BP=AQ得3x=20-2x,解得x=4.
答案:4
4.(2017·海淀区一模)如图,在?ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC到F点使CF=BE,连接AF,DE,DF.
(1)求证:四边形AEFD是矩形.
(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.
【解题指南】(1)先证明四边形AEFD是平行四边形,再证明∠AEF=90°即可.
(2)证明△ABF是直角三角形,由三角形的面积即可得出AE的长.
【解析】(1)∵CF=BE,∴CF+EC=BE+EC,即EF=BC.∵在?ABCD中,AD∥BC且AD=BC,
∴AD∥EF且AD=EF.
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,∴四边形AEFD是矩形.
(2)∵四边形AEFD是矩形,DE=8,
∴AF=DE=8.∵AB=6,BF=10,
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2,∴∠BAF=90°.
∵AE⊥BF,∴△ABF的面积=AB·AF=BF·AE.
∴AE===.
【变式训练】(2017·徐州一模)在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD上,CF=AE,连接BF,AF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形.
(2)若AF平分∠BAD,且AE=3,DE=4,求矩形BFDE的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴DF∥BE,
∵CF=AE,∴DF=BE,
∴四边形BFDE是平行四边形,
∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,
∴四边形BFDE是矩形.
(2)∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD,
∵AF平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF,∴∠DAF=∠AFD,∴AD=DF,
在Rt△ADE中,∵AE=3,DE=4,
∴AD==5,∴矩形BFDE的面积为20.
如图,在△ABC中,AB=BC,BD平分∠ABC.四边形ABED是平行四边形,DE交BC于点F,连接CE.
求证:四边形BECD是矩形.　导学号42684074
【证明】∵AB=BC,BD平分∠ABC,
∴BD⊥AC,AD=DC,
∵四边形ABED是平行四边形,∴BE∥AC,BE=AD,
又AD=DC,∴DC=BE,
∴四边形BECD是平行四边形,
又BD⊥AC,∴平行四边形BECD是矩形.
【母题变式】如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形.求证:四边形ADCE是矩形.
【证明】∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BC,AB=DE,AE=BD.
∵D为BC中点,
∴CD=BD.
∴CD∥AE,CD=AE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,D为BC中点,
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,
∴平行四边形ADCE是矩形.
[变式一]如图,在△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点,以AB,BD为邻边作?ABDE,连接AD,EC.
(1)求证:△ADC≌△ECD.
(2)若BD=CD,求证:四边形ADCE是矩形.
【证明】(1)∵四边形ABDE是平行四边形(已知),
∴AB∥DE,AB=DE(平行四边形的对边平行且相等);
∴∠B=∠EDC(两直线平行,同位角相等);
又∵AB=AC(已知),
∴AC=DE(等量代换),
∠B=∠ACB(等边对等角),
∴∠EDC=∠ACD(等量代换),
∵在△ADC和△ECD中,
.
∴△ADC≌△ECD(SAS).
(2)∵四边形ABDE是平行四边形(已知),
∴BD∥AE,BD=AE(平行四边形的对边平行且相等),
∴AE∥CD.
又∵BD=CD,
∴AE=CD(等量代换),
∴四边形ADCE是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形).
在△ABC中,AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC(等腰三角形的“三合一”性质),
∴∠ADC=90°,∴?ADCE是矩形.
[变式二]如图,在△ABC中,AB=AC,点D(不与点B重合)在BC上,点E是AB的中点,过点A作AF∥BC交DE延长线于点F,连接AD,BF.
(1)求证:△AEF≌△BED.
(2)若BD=CD,求证:四边形AFBD是矩形.
【证明】(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠EDB,
∵E为AB的中点,∴EA=EB,
在△AEF和△BED中,
∴△AEF≌△BED(AAS).
(2)∵△AEF≌△BED,∴AF=BD,
∵AF∥BD,∴四边形AFBD是平行四边形,
∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BD,∴四边形AFBD是矩形.
[变式三]如图,在△ABC中,AB=AC,AD,AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线,BE⊥AE.
(1)求证:DA⊥AE.
(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论.
【解析】(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠BAC,
又∵AE平分∠BAF,∴∠BAE=∠BAF,
∵∠BAC+∠BAF=180°,
∴∠BAD+∠BAE=(∠BAC+∠BAF)
=×180°=90°,即∠DAE=90°,故DA⊥AE.
(2)AB=DE.理由是:
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,故∠ADB=90°,
∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°,又∵∠DAE=90°,
∴四边形AEBD是矩形,∴AB=DE.