2017-2018学年八年级数学下册第18章平行四边形18.2.2菱形（第1课时）课时提升作业（含解析）（新版）新人教版

菱形
(第1课时)
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2017·河北中考)求证:菱形的两条对角线互相垂直.已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.求证:AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程:①又BO=DO,②∴AO⊥BD,即AC⊥BD.③∵四边形ABCD是菱形,④∴AB=AD.
证明步骤正确的顺序是　(　　)
A.③→②→①→④ B.③→④→①→②
C.①→②→④→③ D.①→④→③→②
【解析】选B.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.
又∵BO=DO,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.
2.(2017·苏州中考)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AD=8,F是AB的中点.过点F作FE⊥AD,垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移,得到△A'E'F'.设P,P'分别是EF,E'F'的中点,当点A'与点B重合时,四边形PP'CD的面积为　(　　)
A.28 B.24 C.32 D.32-8
【解析】选A.作DH⊥AB,PK⊥AB,EL⊥AB,
在菱形ABCD中,∠A=60°,AD=8,F是AB的中点,
∴AF=4,EF=2,∴EL=,
∵P是EF的中点,∴PK=,
∵DH=4,
∴?PP'CD高为4-=,
∴S=×8=28.
3.如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D的坐标为　(　　)
A.(1,-1) B.(-1,-1)
C.(,0) D.(0,-)
【解析】选B.菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),得D点坐标为(1,1).每秒旋转45°,则第60秒时,得45°×60=2700°,2700°÷360°=7.5周,OD旋转了7周半,菱形的对角线交点D的坐标为(-1,-1).
【变式训练】如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C的坐标为________.
【解析】连接AC,BD交于点E,如图所示:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AE=CE=AC,BE=DE=BD,
∵点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),
∴OD=2,BD=8,∴AE=OD=2,DE=4,
∴AC=4.
∴点C的坐标为:(4,4).
答案:(4,4)
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=________.
【解析】∵菱形的对角线互相垂直平分,
∴OB=3,OC=4,∠BOC=90°.
∴BC==5.
∵S△OBC=OB·OC,又S△OBC=BC·OE,
∴OB·OC=BC·OE,即3×4=5OE.
∴OE=.
答案:
5.(2017·哈尔滨中考)四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=,则CE的长为________.
【解析】如图,∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=6,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,
∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB=6,∴OB=BD=3,
∴OC=OA==3,∴AC=2OA=6,
∵点E在AC上,OE=,
∴CE=OC+或CE=OC-,
∴CE=4或CE=2.
答案:4或2
6.(2017·怀化中考)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为________cm.
【解析】连接BD,在菱形ABCD中,
∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10cm,
∴∠A=∠C=60°,
∴△ABD,△BCD都是等边三角形,
①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10;
②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP最小,最小值为10-10;
③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;
综上所述,PD的最小值为10-10(cm).
答案:10-10
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴OD=OB,∠COD=90°,
∵DH⊥AB,∴OH=OB,∴∠OHB=∠OBH,
又∵AB∥CD,∴∠OBH=∠ODC,
在Rt△COD中,∠ODC+∠DCO=90°,
在Rt△DHB中,∠DHO+∠OHB=90°,
∴∠DHO=∠DCO.
【变式训练】如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延长线于点E.求证:DE=BE.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=BC=CD=DA.
又∵∠ABC=60°,
∴BC=AC=AD.
∵DE∥AC,
∴ACED为平行四边形.
∴CE=AD=BC,DE=AC.
∴DE=CE=BC,
∴DE=BE.
8.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.　导学号42684246
(1)证明:四边形ACDE是平行四边形.
(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.
【解题指南】(1)根据菱形的性质及DE⊥BD可以证明四边形ACDE的对边平行,从而证明四边形ACDE是平行四边形.(2)根据菱形的性质可以求出菱形边长AD=CD=5,再根据平行四边形ACDE的性质求出DE和AE的长,从而求出△ADE的周长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AC⊥BD,
∴AE∥CD,∠AOB=90°,
∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,
∴∠AOB=∠EDB,
∴DE∥AC,
∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AO=4,DO=3,AD=CD=5,
∵四边形ACDE是平行四边形,
∴AE=CD=5,DE=AC=8,
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
【培优训练】
9.(10分)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即A,C之间的距离).若AB=40cm,当∠ADC从60°变为120°时,千斤顶升高了多少?(≈1.414,≈1.732,结果保留整数)　【解析】连接AC,与BD相交于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠ADB=∠CDB,AC=2AO.
当∠ADC=60°时,△ADC是等边三角形.
∴AC=AD=AB=40cm.
当∠ADC=120°时,∠ADO=60°,∠OAD=30°,
又AD=40cm,
∴OD=20cm.
∴AO===20(cm),
∴AC=40cm.
因此增加的高度为40-40=40(-1)≈29(cm).