2017-2018学年八年级数学下册第18章平行四边形18.2.2菱形（第1课时）一课一练基础闯关（含解析）（新版）新人教版

菱形
一课一练·基础闯关
题组菱形的性质
1.(2017·巴中模拟)菱形具有而平行四边形不具有的性质是　(　　)
A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
【解析】选D.菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质,而对角线互相垂直是菱形特有的.
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2,∠ABC=60°,则BD的长为　(　　)
A.2 B.3 C. D.2
【解析】选D.由菱形ABCD,∠ABC=60°得△ABC是等边三角形,AC=AB=2,
∴OA=AC=1,
∴OB==,∴BD=2BO=2.
3.菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若EF=,BD=2,则菱形ABCD的面积为 (　　)
A.2 B. C.6 D.8
【解题指南】根据中位线定理可得对角线AC的长,再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案.
【解析】选A.∵E,F分别是AD,CD边上的中点,EF=,
∴AC=2EF=2,又∵BD=2,∴菱形ABCD的面积S=×AC×BD=×2×2=2.
【知识归纳】计算菱形面积的方法
1.一边长乘以这条边上的高.
2.两对角线乘积的一半.
4.如图,菱形ABCD的周长是8cm,AB的长是________cm.
【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA,
∵AB+BC+CD+DA=8cm,∴AB=2cm,
∴AB的长为2cm.
答案:2
5.(2017·十堰中考)如图,在菱形ABCD中,AC交BD于O,DE⊥BC于点E,连接OE,若∠ABC=140°,则∠OED=________.　
【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以BD平分∠ABC,OD=OB,所以∠DBC=
∠ABC=70°,因为DE⊥BC于点E,O为BD中点,所以OE=OB,所以∠OEB=∠OBE=
70°,所以∠OED=90°-70°=20°.
答案:20°
【变式训练】1.(2017·莱芜模拟)如图,菱形中,对角线AC,BD交于点O,E为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OE的长等于____________.
【解析】∵菱形ABCD的周长为28,∴AB=28÷4=7,
∵OB=OD,E为AD边中点,∴OE是△ABD的中位线,
∴OE=AB=×7=3.5.
答案:3.5
2.(2017·自贡中考)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边DC,DA上,且CE=AF.求证:∠ABF=∠CBE.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,∴∠A=∠C,AB=BC.
又∵AF=CE,∴△ABF≌△CBE(SAS),∴∠ABF=∠CBE.
6.(2017·沈阳中考)如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥BC于点F,连接EF,
求证:(1)△ADE≌△CDF.
(2)∠BEF=∠BFE.
【证明】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD,∠A=∠C.
∵DE⊥AB,DF⊥CB,∴∠AED=∠CFD=90°,∴△ADE≌△CDF.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CB.
∵△ADE≌△CDF,∴AE=CF,∴AB-AE=CB-CF,
∴BE=BF,∴∠BEF=∠BFE.
【变式训练】(2016·济南中考)如图,在菱形ABCD中,CE=CF,求证:AE=AF.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,CB=CD,∠B=∠D,
又∵CE=CF,∴BE=DF,
在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF.
题组菱形性质的实际应用
1.如图,已知某菱形花坛ABCD的周长是24m,∠BAD=120°,则花坛对角线AC的长是　(　　)
A.6m B.6 m
C.3m D.3 m
【解析】选B.易知△ABC为等边三角形,
所以AC=AB=6m.
【方法技巧】菱形中的两类特殊图形
1.等腰三角形和直角三角形
(1)因四条边相等,由边、对角线构成4个等腰三角形.
(2)因对角线互相垂直平分,则存在4个全等的直角三角形.
2.等边三角形和直角三角形(一内角为120°时,连接对角线)
(1)4个含30°角的直角三角形.
(2)两个等边三角形.
【变式训练】如图,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,∠BAD=60°,则花坛对角线AC的长等于　(　　)
A.6米　　 B.6米　　 C.3米　 　D.3米
【解析】选A.∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24÷4=6(米),
∵∠BAD=60°,∴△ABD为等边三角形,
∴BD=AB=6(米),OD=OB=3(米),
在Rt△AOB中,根据勾股定理得:
OA==3(米),
则AC=2OA=6米.
2.如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架.已知其中每个菱形的边长为20cm,∠1=60°,则墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A,B之间的距离等于　
(　　)
A.10 cm B.10cm
C.20 cm D.20cm
【解析】选D.如图,连接AB,过点D作DE⊥AB于点E,易得AD=20,∠EAD=30°,所以AE=10,
所以AB=20.
【变式训练】如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为16cm,若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,则∠1等于　(　　)
A.100°　　B.110°　　C.120°　　D.130°
【解析】选C.由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形,则∠1=120°.
3.如图,菱形花坛ABCD的边长为6m,∠A=120°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为(　　)
A.12m B.20m C.22m D.24m
【解析】选B.连接AC,已知∠A=120°,四边形ABCD为菱形,则∠B=60°,从而得出△ABC为正三角形,△ABC的顶点所在的小三角形也是正三角形,所以正六边形的边长是△ABC边长的,则种花部分图形共有10条边,所以它的周长为×6×10=20m.
4.如图所示,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,∠ABC=60°,则四边形ABCD的面积等于______________cm2.
【解析】∵将两张长方形纸条交叉,∴AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵两张长方形纸条等宽,即平行四边形的两条高相等,∴相邻两条边相等,
∴四边形ABCD是菱形,过点A作高,由勾股定理可求出高为3cm,则四边形ABCD的面积等于18cm2.
答案:18
5.已知,如图,菱形花坛ABCD周长是80m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,相交于O点.
(1)求两条小路的长AC,BD.(结果可用根号表示)
(2)求花坛的面积.(结果可用根号表示)
【解析】(1)∵菱形花坛ABCD周长是80m,∠ABC=60°,
∴AB=BC=DC=AD=20m,∠ABD=30°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=20m,∴AO=10m,
∴BO==10(m),
则BD=20m,AC=20m.
(2)由(1)得:花坛的面积为:×20×20=200(m2).
答:花坛的面积为200m2.
如图1,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,则菱形的边长AB等于
　(　　)
图1
A.10 B. C.6 D.5
【解析】选D.∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=AC,OB=BD,AC⊥BD,
∵AC=8,BD=6,
∴OA=4,OB=3,
∴AB==5,
即菱形ABCD的边长是5.
【母题变式】
[变式一](2017·海南中考)如图2,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则△ABC的周长是　(　　)
图2
A.14 B.16 C.18 D.20
【解析】选C.∵在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,
∴AB=BC,∠AOB=90°,AO=4,BO=3,
∴BC=AB==5,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18.
[变式二](2017·宜宾中考)如图3,在菱形ABCD中,若AC=8,BD=6,则菱形ABCD的面积是________.
图3
【解析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半,由AC=8,BD=6,得S菱形ABCD=24.
答案:24
[变式三]如图,已知菱形ABCD的周长为16cm,∠ABC=60°,对角线AC和BD相交于点O,求AC和BD的长.
【解析】∵菱形ABCD的周长为16cm,∠ABC=60°,
∴AB=BC=4cm,△ABC是等边三角形,
∴AC=4cm,
∵AC,BD互相垂直平分,∴OA=2cm,
∴OB==2cm.
∴BD=4cm.