2017-2018学年八年级数学下册第18章平行四边形18.2.2菱形（第2课时）一课一练基础闯关（含解析）（新版）新人教版

菱形
一课一练·基础闯关
题组菱形的判定
1.(2017·河南中考)如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有　(　　)
A.AC⊥BD B.AB=BC
C.AC=BD D.∠1=∠2
【解析】选C.选项A.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵AC⊥BD,∴?ABCD是菱形(对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形);
选项B.∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴?ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);
选项C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵AC=BD,∴?ABCD是矩形(对角线相等且平分的平行四边形是矩形);
选项D.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠1=∠ACB,∵∠1=∠2,∴
∠ACB=∠2,∴AB=BC,∴?ABCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形).
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是　(　　)
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
【解析】选B.∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,∴ACED,∴四边形ACED为平行四边形,当AC=BC时,则DE=EC,∴平行四边形ACED是菱形.
3.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件________使其成为菱形(只填一个即可).
【解析】平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加一个适当的条件为:AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形.
答案:AC⊥BD(或∠AOB=90°或AB=BC)
【变式训练】1.(2017·岳阳中考)求证:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.小红同学根据题意画出了图形,并写出了已知和求证的一部分,请你补全已知和求证,并写出证明过程.
已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.
求证:
【解析】已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,
求证:平行四边形ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.
∵AC⊥BD,∴AD=CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.
2.(2016·衢州中考)如图,已知BD是矩形ABCD的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD,BC于E,F(保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)连接BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形?请说明理由.
【解析】(1)如图所示,EF为所求直线.
(2)四边形BEDF为菱形.
∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,∠DEF=∠BEF,
∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,
∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,
∵BF=DF,∴BE=ED=DF=BF,∴四边形BEDF为菱形.
4.如图,CE是△ABC外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证:四边形ACGF是菱形.
【证明】∵AF∥CD,FG∥AC,
∴四边形ACGF是平行四边形,∠2=∠3,
∵CE平分∠ACD,∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,∴AC=AF,
∴四边形ACGF是菱形.
(教材变形题·P60习题18.2T6)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC,∠ECA是△ABC的两个外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.
求证:四边形ABCD是菱形.
【证明】∵AB=AC,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠FAC=120°,AB=AC=BC,
又AD平分∠FAC,∴∠DAC=60°,
同理可证:∠DCA=60°,
∴△ADC是等边三角形,∴AD=AC=DC,
∴AB=BC=AD=DC,
∴四边形ABCD是菱形.
【一题多解】∵AB=AC,∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠FAC=120°,AB=BC,
又AD平分∠FAC,∴∠DAF=60°,
∴∠B=∠DAF,
∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
同理可证:AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
题组菱形性质与判定的综合运用
1.如图,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,连接EG与FH交于点O,则图中共有菱形　(　　)
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【解析】选B.∵四边形ABCD是菱形,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,
∴AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE=OE=OG=OH=OF,
∴四边形AEOH,HOGD,EOFB,OFCG和ABCD均为菱形,共5个.
2.如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为　(　　)
A.52cm B.40cm C.39cm D.26cm
【解题指南】先由菱形的判定方法判定四边形ABCD为菱形,根据菱形面积公式=AC·BD求出BD的长,再用勾股定理求出菱形的边长,进而求得四边形ABCD的周长.
【解析】选A.∵四边形ABCD的四边相等,∴四边形ABCD为菱形,∵面积为120cm2,对角线AC=24cm,
∴120=×24×BD,∴BD=10(cm),∴AB==13(cm),∴四边形ABCD的周长为:4×13=52cm.
3.如图△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AE=4cm,那么四边形AEDF的周长为　(　　)
A.12 cm B.16 cm C.20 cm D.22 cm
【解析】选B.∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,∠EDA=∠FAD,
∵∠EAD=∠FAD,∴∠EAD=∠EDA,∴EA=ED,
∴平行四边形AEDF是菱形.
∴四边形AEDF的周长为4AE=16(cm).
4.如图,已知四边形ABCD的四边相等,等边△AMN的顶点M,N分别在BC,CD上,且AM=AB,则∠C为　(　　)
A.100° B.105° C.110° D.120°
【解析】选A.∵四边形ABCD的四边都相等,
∴四边形ABCD是菱形,
∴∠B=∠D,∠DAB=∠C,AD∥BC,
∴∠DAB+∠B=180°,∵△AMN是等边三角形,AM=AB,
∴∠AMN=∠ANM=60°,AM=AD=AN,
∴∠B=∠AMB,∠D=∠AND,
由三角形的内角和定理得:∠BAM=∠NAD,
设∠BAM=∠NAD=x,
则∠D=∠AND=180°-60°-2x,
∵∠NAD+∠D+∠AND=180°,
∴x+2(180°-60°-2x)=180°,解得x=20°,
∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°.
5.(2017·安徽模拟)如图,平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,给出下列判断:
①若△AEF是等边三角形,则∠B=60°,②若∠B=60°,则△AEF是等边三角形,
③若AE=AF,则平行四边形ABCD是菱形,④若平行四边形ABCD是菱形,则AE=AF,其中,结论正确的是________(只需填写正确结论的序号).
【解析】①∵△AEF是等边三角形,
∴∠EAF=60°,AE=AF,
又∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠C=120°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠B=180°-∠C=60°,故①正确;
②∵∠D=∠B=60°,∴∠BAE=∠DAF=90°-60°=30°,∠BAD=180°-∠B=120°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°,但是AE不一定等于AF,故②错误;
③若AE=AF,则BC·AE=CD·AF,∴BC=CD,
∴平行四边形ABCD是菱形,故③正确;
④若平行四边形ABCD是菱形,则BC=CD,
∴BC·AE=CD·AF,∴AE=AF,故④正确.
答案:①③④
6.(2017·临沂模拟)如图,已知点E,F分别是?ABCD的边BC,AD上的中点,且
∠BAC=90°.　导学号42684085
(1)求证:四边形AECF是菱形.
(2)若∠B=30°,BC=10,求菱形AECF的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E是BC边的中点,
∴AE=BC=CE,
同理,AF=AD=CF,
∴AE=CE=AF=CF,∴四边形AECF是菱形.
(2)连接EF交AC于点O,如图所示:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,BC=10,
∴AC=BC=5,AB=AC=5.
∵四边形AECF是菱形,
∴AC⊥EF,OA=OC,
∴OE是△ABC的中位线,∴OE=AB=,
∴EF=5,
∴菱形AECF的面积=AC·EF=×5×5=.
如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥CA,AE∥BD.
(1)求证:四边形AODE是菱形.
(2)若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”,其余条件不变,则四边形AODE是________.
【解析】(1)∵矩形ABCD的对角线交于点O,
∴AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD.
∴OA=OD.
∵DE∥CA,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形,
∴四边形AODE是菱形.
(2)∵DE∥CA,AE∥BD,
∴四边形AODE是平行四边形,
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,
∴∠AOD=90°,∴平行四边形AODE是矩形.
【母题变式】已知:如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,△AOD关于直线AD的对称图形是△AED,请判断四边形AODE的形状,并说明理由.
【解析】四边形AODE为菱形.理由如下:
△AOD关于直线AD的对称图形是△AED,由对称图形性质,可得AE=AO,DE=DO,又矩形的对角线相等且互相平分,
∴AO=DO,∴AE=AO=DE=DO,∴四边形AODE为菱形.
[变式一]已知:如图,?ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,DE∥AC,AE∥BD.求证:
(1)四边形ABCD是矩形.
(2)四边形AODE是菱形.
【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵△OAB是等边三角形,∴OA=OB,
∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵DE∥AC,AE∥BD,
∴四边形AODE是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD,
∴四边形AODE是菱形.
[变式二]如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形.
(2)若∠ACB=30°,四边形OCED的面积为2,求AC的长.
【解析】(1)∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四边形OCED是平行四边形,
∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD,
∴四边形OCED是菱形.
(2)∵四边形OCED是菱形,∴S菱形OCED=2S△OCD=S△ABC,
∵∠ACB=30°,∴AB=AC,BC=AC,
∴S菱形OCED=×AC·AC=2,解得AC=.